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Vidéo question :: Déterminer le point d’intersection d’un plan et d’une droite Mathématiques • Troisième secondaire

Déterminez le point d’intersection de la droite −3𝑥 = 4𝑦 − 2 = 𝑧 + 1 avec le plan −3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 13.

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Transcription de la vidéo

Déterminez le point d’intersection de la droite moins trois 𝑥 égale quatre 𝑦 moins deux égale 𝑧 plus un avec le plan moins trois 𝑥 plus 𝑦 plus 𝑧 égale 13.

Il y a plus d’une façon d’aborder ce problème. Nous allons utiliser l’équation de la droite pour éliminer les variables 𝑥 et 𝑦 de l’équation du plan. La description qui nous est donnée de la droite dans l’espace à trois dimensions est constituée de trois expressions égales : moins trois 𝑥, quatre 𝑦 moins deux et 𝑧 plus un.

Pour commencer, nous séparons cela en deux équations : moins trois 𝑥 égale 𝑧 plus un et quatre 𝑦 moins deux égale 𝑧 plus un. Nous réorganisons ces deux équations sous la forme 𝑥 égale moins 𝑧 plus un sur trois et 𝑦 égale 𝑧 plus trois sur quatre, exprimant ainsi 𝑥 et 𝑦 en fonction de 𝑧.

Nous prenons ensuite l’équation du plan, moins trois 𝑥 plus 𝑦 plus 𝑧 égale 13, et nous y remplaçons nos expressions de 𝑥 et 𝑦 en fonction de 𝑧. Nous obtenons alors l’équation moins trois fois moins 𝑧 plus un sur trois plus 𝑧 plus trois sur quatre plus 𝑧 égale 13, qui dépend uniquement de la variable 𝑧. Ensuite, nous simplifions cette équation, d’abord en développant le premier terme, puis en multipliant l’ensemble de l’équation par quatre pour éliminer le dénominateur du deuxième terme.

Cela nous donne une équation linéaire en 𝑧 que nous pouvons résoudre. Nous trouvons que 𝑧 est égal à cinq. N’oublions pas que la première chose que nous avons faite a été d’utiliser l’équation de notre droite pour exprimer 𝑥 et 𝑦 en fonction de 𝑧. Pour déterminer 𝑥 et 𝑦, nous pouvons remplacer 𝑧 par cinq dans ces deux expressions, ce qui nous donne 𝑥 égale moins deux et 𝑦 égale deux.

Nous avons calculé que les coordonnées du point d’intersection de la droite et du plan sont moins deux, deux, cinq.

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