Vidéo : Les vecteurs, que sont-ils vraiment ?

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Les vecteurs, que sont-ils vraiment ?

09:51

Transcription de vidéo

Le bloc de construction fondamental de l’algèbre linéaire est le vecteur, il est donc intéressant de s’assurer que nous sommes tous à la même page pour définir ce qu’est exactement un vecteur. Voyez-vous, de manière générale, il existe trois idées distinctes mais liées sur les vecteurs, que j’appellerai le point de vue de l’étudiant en physique, celui de l’étudiant en informatique et celui du mathématicien. Selon l’étudiant en physique, les vecteurs sont des flèches pointant dans l’espace. Ce qui définit un vecteur donné est sa longueur et la direction vers laquelle il pointe, mais tant que ces deux faits sont identiques, vous pouvez le déplacer de manière constante et il reste le même vecteur.

Les vecteurs qui vivent dans le plan plat sont bidimensionnels et ceux dans un espace plus vaste dans lequel vous et moi vivons sont tridimensionnels. Le point de vue informatique est que les vecteurs sont des listes ordonnées de nombres. Supposons, par exemple, que vous analysez le prix des maisons et que vous ne vous préoccupiez que de la superficie et du prix. Vous pouvez modéliser chaque maison avec une paire de nombres : le premier indiquant la superficie en pieds carrés et le second indiquant le prix. Notez que l’ordre compte ici. Dans le jargon, vous seriez des maisons de modélisation en tant que vecteurs bidimensionnels, où, dans ce contexte, « vecteur » n’est quasiment qu’un mot fantaisie pour « liste », et ce qui la rend bidimensionnelle est le fait que la longueur de cette liste est deux.

Le mathématicien, quant à lui, cherche à généraliser ces deux points de vue, affirmant en gros qu’un vecteur peut être n’importe quel domaine où il existe une notion raisonnable d’ajouter deux vecteurs et de multiplier un vecteur par un nombre, opérations dont je parlerai plus loin dans cette vidéo. Les détails de cette vue sont plutôt abstraits, et je pense en fait qu’il est sain de l’ignorer jusqu’à la dernière vidéo de cette série, préférant un cadre plus concret dans l’intervalle, mais la raison pour laquelle je l’ai évoquée ici est qu’elle laisse deviner que les idées d’addition de vecteurs et de multiplication par des nombres joueront un rôle important en algèbre linéaire.

Mais avant de parler de ces opérations, arrêtons-nous simplement sur une pensée spécifique à garder à l’esprit lorsque je prononce le mot vecteur. Compte tenu de la mise au point géométrique que je tourne pour ici, chaque fois que je présente un nouveau sujet que je veux impliquant des vecteurs, vous pensez d’abord à une flèche et, en particulier, pensez à cette flèche dans un système de coordonnées, comme le plan 𝑥𝑦, avec sa queue située à l’origine. C’est un peu différent du point de vue d’un étudiant en physique, où les vecteurs peuvent s’asseoir librement n’importe où dans l’espace. En algèbre linéaire, votre vecteur sera presque toujours enraciné à l’origine. Ensuite, une fois que vous aurez compris un nouveau concept dans le contexte des flèches dans l’espace, nous le traduirons le point de vue de la liste de nombres, ce que nous pouvons faire en considérant les coordonnées du vecteur.

Bien que je sois certain que beaucoup d’entre vous connaissent déjà ce système de coordonnées, cela vaut la peine d’explorer de manière explicite, car c’est ici que se passe l’important va-et-vient entre les deux points de vue de l’algèbre linéaire. Concentrant notre attention sur deux dimensions pour le moment, vous avez une droite horizontale, appelée axe des 𝑥, et une droite verticale, appelée axe des 𝑦. L’endroit où ils se croisent est appelé l’origine, que vous devriez considérer comme le centre de l’espace et la racine de tous les vecteurs. Après avoir choisi une longueur arbitraire pour en représenter une, vous devez appliquer des graduations sur chaque axe pour représenter cette distance. Lorsque je veux transmettre l’idée de l’espace 2D dans son ensemble, ce que vous verrez souvent dans ces vidéos, je vais étendre ces repères pour créer des lignes de grille, mais pour le moment, ils vont en fait un peu gêner.

Les coordonnées d’un vecteur sont une paire de nombres qui donne en gros des instructions sur la manière de passer de l’origine de ce vecteur à sa pointe. Le premier nombre vous indique la distance parcourue le long de l’axe des 𝑥, les nombres positifs indiquant le mouvement vers la droite, les nombres négatifs indiquant le mouvement vers la gauche, et le second nombre vous indique la distance à laquelle marcher parallèlement à l’axe des 𝑦 après cela, les nombres positifs indiquant un mouvement vers le haut et les nombres négatifs indiquant un mouvement descendant. Pour distinguer les vecteurs des points, la convention est d’écrire cette paire de nombres verticalement entourée de crochets. Chaque paire de nombres vous donne un et un seul vecteur, et chaque vecteur est associé à une et une seule paire de nombres.

Qu’en est-il en trois dimensions ? Eh bien, vous ajoutez un troisième axe, appelé l’axe des 𝑧, qui est perpendiculaire à la fois à l’axes des 𝑥 et celui des 𝑦. Et dans ce cas, chaque vecteur est associé à un triplet ordonné de nombres : le premier vous indique la distance à parcourir pour aller vers l’axe des 𝑥, le second vous indique la distance à parcourir pour aller parallèlement à l’axe des 𝑦 et le troisième indique que vous pouvez ensuite vous déplacer parallèlement à ce nouvel axe des 𝑧. Chaque triplet de nombres vous donne un vecteur unique dans l’espace et chaque vecteur de l’espace vous donne exactement un triplet de nombres. Bon, revenons à l’addition de vecteur et à la multiplication par des nombres. Après tout, chaque sujet de l’algèbre linéaire va se centrer autour de ces deux opérations. Heureusement, chacun est assez simple à définir.

Disons que nous avons deux vecteurs: un vers le haut et un peu vers la droite et l’autre vers la droite et vers le bas. Pour additionner ces deux vecteurs, déplacez le second de manière à ce que son origine se situe à l’extrémité du premier. Ensuite, si vous tracez un nouveau vecteur de l’origine du premier à l’endroit où se trouve maintenant l’extrémité du second, ce nouveau vecteur est leur somme. Cette définition de l’addition est d’ailleurs à peu près la seule fois en algèbre linéaire où nous laissons les vecteurs s’éloigner de l’origine.

Maintenant, pourquoi est-ce une chose raisonnable à faire ? Pourquoi cette définition de l’addition et pas une autre ? J’aime penser que chaque vecteur représente un certain mouvement, un pas avec une certaine distance et une certaine direction dans l’espace. Si vous faites un pas le long du premier vecteur puis faites un pas dans la direction et la distance décrites par le deuxième vecteur, l’effet global est identique à celui obtenu si vous aviez commencé par la somme de ces deux vecteurs. Vous pourriez penser à cela comme un prolongement de la façon dont nous pensons ajouter des nombres sur une droite numérique. Une façon d’enseigner aux enfants à penser à cela, par exemple avec deux plus cinq, est de penser à se déplacer de deux marches à droite, suivis de cinq marches à droite. L’effet global est le même que si vous veniez de faire sept pas à droite.

En fait, voyons à quoi ressemble l’addition vectorielle. Le premier vecteur a ici les coordonnées un, deux. Et le second a pour coordonnées trois, moins un. Lorsque vous prenez la somme vectorielle en utilisant cette méthode pointe-à-queue, vous pouvez penser à un chemin en quatre étapes allant de l’origine à l’extrémité du deuxième vecteur : avancez un à droite, puis deux en haut, puis trois à droite, puis un vers le bas. Réorganisez ces étapes pour que vous fassiez d’abord tout le mouvement vers la droite, puis tout le mouvement vertical, vous pouvez le lire ainsi : « déplacez d’abord un plus trois vers la droite, puis déplacez deux moins un vers le haut », de sorte que le nouveau vecteur a pour coordonnées un plus trois et deux plus moins un.

En général, l’addition de vecteurs dans cette conception de liste de nombres ressemble à la concordance de leurs termes et à leur addition. L’autre opération vectorielle fondamentale est la multiplication par un nombre. Maintenant, ceci est mieux compris en regardant quelques exemples. Si vous prenez le nombre deux et le multipliez par un vecteur donné, cela signifie que vous étendez ce vecteur de sorte qu’il soit deux fois plus long que lorsque vous avez commencé. Si vous multipliez ce vecteur par un tiers, par exemple, cela signifie que vous le réduisez pour qu’il atteigne le tiers de sa longueur initiale. Lorsque vous le multipliez par un nombre négatif, tel que le nombre moins 1.8, le vecteur est d’abord retourné puis étiré de 1.8. Ce processus d’étirement ou de compression, voire d’inversion de la direction d’un vecteur, est appelé mise à l’échelle. Et chaque fois que vous attrapez un nombre comme deux ou un tiers ou un nombre négatif de 1.8 agissant comme ceci, en mettant à l’échelle un vecteur, vous l’appelez un scalaire.

En fait, tout au long de l’algèbre linéaire, les nombres sont principalement des vecteurs d’échelle, il est donc courant d’utiliser le mot scalaire à peu près de façon interchangeable avec le nombre.

Numériquement, étirer un vecteur d’un facteur deux, par exemple, correspond à la multiplication de chacune de ses composantes par ce facteur, deux, ainsi dans la conception de vecteurs en tant que listes de nombres, la multiplication d’un vecteur donné par un scalaire signifie la multiplication de chacune de ces composantes par ce scalaire. Vous verrez dans les vidéos suivantes ce que je veux dire quand je dis que les sujets de l’algèbre linéaire ont tendance à tourner autour de ces deux opérations fondamentales : l’addition de vecteurs et la multiplication scalaire. Et dans la dernière vidéo, je parlerai davantage de la manière dont le mathématicien pense uniquement à ces opérations, indépendamment du type de vecteurs choisi.

En vérité, peu importe que vous considériez les vecteurs comme étant fondamentalement des flèches dans l’espace, comme je vous le suggère, qui ont une belle représentation numérique ou, fondamentalement, comme des listes de nombres ayant une belle interprétation géométrique. L’utilité de l’algèbre linéaire a moins à voir avec l’une ou l’autre de ces vues qu’avec la possibilité de faire des va-et-vient entre elles. Cela donne à l’analyste de données un moyen agréable de conceptualiser visuellement de nombreuses listes de nombres, ce qui permet de clarifier sérieusement les schémas de données et de donner une vue globale de ce que certaines opérations font. D’un autre côté, il offre aux utilisateurs, tels que les physiciens et les programmeurs en infographie, un langage pour décrire l’espace et pour le manipuler à l’aide de nombres pouvant être regroupés et exécutés sur un ordinateur.

Lorsque je fais des animations mathématiques, par exemple, je commence par réfléchir à ce qui se passe réellement dans l’espace, puis je fais en sorte que l’ordinateur représente les choses de manière numérique, déterminant ainsi où placer les pixels sur l’écran. Et cela dépend généralement de la compréhension de l’algèbre linéaire. Il y a donc vos bases sur les vecteurs, et dans la vidéo suivante, je commencerai à entrer dans quelques concepts plutôt soignés autour des vecteurs, tels que la portée, la base et la dépendance linéaire. À plus tard !

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