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Vidéo question :: Déterminer des limites avec des fonctions trigonométriques Mathématiques • Deuxième secondaire

Calculez lim_(𝑥 → 0)((6𝑥 cot² 4𝑥)/csc 8𝑥).

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Transcription de la vidéo

Calculez la limite quand 𝑥 tend vers zéro de six 𝑥 cotangente carré de quatre 𝑥 le tout divisé par la cosécante de huit 𝑥.

La question nous demande de trouver la limite d’une combinaison de fonctions trigonométriques. Et nous voyons que si nous devions essayer d’utiliser la substitution directe, puisque notre limite est en zéro, nous devrions calculer la cotangente de quatre fois zéro qui est indéfinie. Comme cela n’est pas défini, nous ne pouvons pas utiliser la substitution directe. Donc, nous allons devoir manipuler cette expression pour pouvoir utiliser la substitution directe ou utiliser une de nos règles pour les limites de fonctions trigonométriques.

Nous allons commencer par réécrire cette expression entièrement avec des fonctions sinus et cosinus. Nous rappelons que la cotangente de 𝜃 équivaut à un divisé par la tangente de 𝜃, c’est à dire cos 𝜃 sur sinus 𝜃. Cependant, dans notre expression, nous prenons la cotangente de quatre 𝑥, nous allons donc remplacer 𝜃 par quatre 𝑥. Cela nous donne que la cotangente de quatre 𝑥 est égale à cos quatre 𝑥 sur sinus quatre 𝑥.

Ensuite, nous voulons réécrire la cosécante de huit 𝑥 avec des fonctions sinus et cosinus. Nous pouvons le faire en rappelant que la cosécante d’un angle 𝜃 est équivalente à un sur sinus 𝜃. Et comme nous voulons la cosécante de huit 𝑥, nous remplaçons 𝜃 par huit 𝑥. Cela nous donne que cosécante huit 𝑥 égale un sur sinus huit 𝑥.

Remplacer la cotangente de quatre 𝑥 par cos quatre 𝑥 sur sinus quatre 𝑥 nous donne un nouveau numérateur qui devient six 𝑥 multiplié par cos quatre 𝑥 sur sinus quatre 𝑥 au carré. Ensuite, remplacer la cosécante de huit 𝑥 par un sur sinus huit 𝑥 nous donne un nouveau dénominateur qui est un divisé sinus huit 𝑥.

Maintenant, au lieu de diviser par la fraction un sur sinus huit 𝑥, nous pouvons multiplier par son inverse. Ainsi, multiplier par l’inverse de un sur sinus huit 𝑥 et développer notre carré nous donne que notre limite est égale à la limite quand 𝑥 tend vers zéro de six 𝑥 fois cos carré quatre 𝑥 fois sinus huit 𝑥 et le tout divisé par sinus carré de quatre 𝑥.

Cependant, nous ne pouvons toujours pas utiliser la substitution directe sur cette limite. Puisque notre quand 𝑥 tend vers zéro, nous aurons au dénominateur le sinus carré de quatre fois zéro, qui vaut zéro. Et au numérateur le sinus de huit fois zéro, nous donne aussi zéro ce qui conduit à une forme indéterminée. Donc, nous devons effectuer encore quelques manipulations pour calculer cette limite.

Nous allons commencer par rappeler la formule de l’angle double du sinus, qui nous dit que le sinus de deux 𝜃 est égal à deux sin 𝜃 cos 𝜃. Nous voulons appliquer cela au sinus de huit 𝑥 de numérateur. Ainsi, nous nous retrouverons avec le sinus de quatre 𝑥 au numérateur, que nous pourrons simplifier avec l’un des sinus de quatre 𝑥 du dénominateur. Ainsi, en prenant 𝜃 égale quatre 𝑥, nous avons sinus huit 𝑥 égale deux sinus quatre 𝑥 cos quatre 𝑥.

Et, en substituant cela dans notre limite, nous obtenons une nouvelle expression. Et nous pouvons simplifier le sinus quatre 𝑥 du numérateur avec l’un des sinus quatre 𝑥 du dénominateur. En simplifiant, cela nous donne que notre limite est égale à la limite quand 𝑥 tend vers zéro de 12𝑥 cosinus de quatre 𝑥 au cube le tout divisé par le sinus de quatre 𝑥.

Mais, encore une fois, nous ne pouvons toujours pas effectuer de substitution directe sur cette limite. Puisque quand 𝑥 tend vers zéro, notre numérateur tend vers zéro. Et de même, au dénominateur, le sinus de quatre 𝑥 se tend vers sinus de quatre fois zéro, qui est zéro, ce qui nous donne une forme indéterminée. Donc, nous devons encore effectuer plus de manipulations. Nous ferons cela en utilisant l’un de nos résultats de référence sur les limites des fonctions trigonométriques.

Nous utiliserons le fait que la limite quand 𝑥 tend vers zéro du sinus 𝑥 sur 𝑥 est égale à un. C’est un résultat de référence que nous devons mémoriser. Cependant, dans notre limite, nous avons 𝑥 au numérateur et notre fonction sinus au dénominateur. Donc, nous devrons prendre l’inverse de cette limite. Nous rappelons que l’inverse d’une limite est égal à la limite de l’inverse. Ainsi, la limite quand 𝑥 tend vers zéro de 𝑥 divisé par le sinus de 𝑥 est égale à l’inverse de un, qui est juste égal à un.

Maintenant, nous voyons que nous avons le sinus de quatre 𝑥 dans notre limite. Donc, nous devons remplacer 𝑥 par quatre 𝑥. Cela nous donne que la limite quand quatre 𝑥 tend vers zéro de quatre 𝑥 divisé par le sinus de quatre 𝑥 est égale un. Et si quatre 𝑥 tend vers zéro, alors 𝑥 tend vers zéro. Donc, nous avons que la limite quand 𝑥 tend vers zéro de quatre 𝑥 divisé par le sinus de quatre 𝑥 est égal à un.

Donc, nous avons juste besoin de quatre 𝑥 au numérateur. Et nous pouvons remarquer que 12𝑥 est égal à trois fois quatre 𝑥. Cela nous donne que notre limite est égale à la limite quand 𝑥 tend vers zéro de trois fois quatre 𝑥 sur sinus quatre 𝑥 le tout multiplié par le cosinus de quatre 𝑥 au cube. Puisque trois est une constante, nous pouvons simplement la sortir de notre limite.

Ensuite, nous utiliserons la propriété qui dit que la limite d’un produit est égale au produit des limites pour diviser notre limite en le produit de deux limites. Cela nous donne trois multiplié par la limite quand 𝑥 tend vers zéro de quatre 𝑥 sur sinus quatre 𝑥 fois la limite quand 𝑥 tend vers zéro du cosinus de quatre 𝑥 au cube. Nous sommes maintenant presque prêts à calculer cette limite. Nous allons simplement remplacer la limite du cosinus de quatre 𝑥 au cube, en utilisant la règle des puissances pour les limites, en la limite du cosinus de quatre de 𝑥 le tout au cube.

Nous avons la limite quand 𝑥 tend vers zéro de quatre 𝑥 divisé par sinus quatre 𝑥 égale à un. Et nous avons la limite quand 𝑥 tend vers zéro du cosinus de 𝑥 qui est également égale à un. Donc, notre limite est égale à trois multiplié par un multiplié par un au cube, ce qui est égal à trois. Par conséquent, nous avons montré que la limite quand 𝑥 tend vers zéro de six 𝑥 multiplié par cotangente carré de quatre 𝑥 sur cosécante huit 𝑥 est égale à trois.

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