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Vidéo de question : Résoudre algébriquement une inéquation du second degré Mathématiques

Résolvez 𝑥² - 3𝑥 - 4 ≤ 0.

02:50

Transcription de vidéo

Résoudre 𝑥 au carré moins trois 𝑥 moins quatre est inférieur ou égal à zéro.

C’est une inégalité du second degré. Et si nous pensons aux inéquations du second degré, nous savons qu’elles ont certaines caractéristiques. Pour la forme générale 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐, lorsque 𝑎 est positif, la parabole s’ouvre vers le haut. Nous savons également que les points où la parabole croise l’axe des abscisses sont appelés les racines. Lorsque nous pensons aux inégalités du second degré, le comportement autour des racines est ce que nous voulons considérer puisque le comportement du graphique change de chaque côté des racines.

Cela signifie que pour résoudre ce problème, notre première étape sera d’essayer d’identifier les racines. Nous voulons que l’expression soit égale à zéro, car c’est là que seront les racines. Si nous résolvons en factorisant, nous cherchons des valeurs qui se multiplient pour donner moins quatre et s’ajoutent pour donner moins trois. Ce serait moins quatre et plus un. Nous posons ces deux facteurs égaux à zéro et nous constatons que 𝑥 est égal à moins un ou que 𝑥 est égal à plus quatre.

Si nous considérons notre axe 𝑥 avec des racines en moins un et en plus quatre, nous voulons vérifier le comportement de chaque côté des racines ainsi qu’entre elles. Nous savons que zéro se situe entre moins un et quatre. Donc, nous substituons zéro dans notre équation d’origine. Nous voulons savoir si zéro au carré moins trois fois zéro moins quatre est inférieur ou égal à zéro ? C’est égal à moins quatre. Et moins quatre est inférieur ou égal à zéro. Sur cette base, nous pouvons dire que les images par la fonction des nombres entre moins un et quatre seront négatives.

Nous voulons maintenant vérifier de chaque côté des racines. Nous pouvons vérifier avec plus cinq. Cinq au carré moins trois fois cinq moins quatre est inférieur ou égal à zéro. Cela nous donne six. Nous savons que six n’est pas inférieur ou égal à zéro. 𝑥 au carré moins trois 𝑥 moins quatre sera positif pour toutes les valeurs de 𝑥 supérieures à quatre. Nous allons vérifier à gauche de moins un en prenant la valeur moins deux, ce qui nous donne à nouveau plus six. Plus six n’est pas inférieur à zéro. 𝑥 au carré moins trois 𝑥 moins quatre sera positif pour toutes les valeurs inférieures à moins un.

Nous nous intéressons aux endroits où cette fonction rend des valeurs inférieures ou égales à zéro, c’est à dire aux endroits où elle rend des valeurs négatives ou égales à zéro. Et dans ce cas, cela se situera entre les racines moins un et quatre. Nous utilisons des crochets vers l’intérieur pour signifier que moins un et quatre font également partie de la solution. Et nous pouvons dire que cette inégalité du second degré est vraie entre pour moins un et quatre.

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