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Vidéo de la leçon: Simplifier des Fonctions Rationnelles

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment simplifier des fonctions rationnelles et déterminer leurs domaines.

17:59

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment simplifier des fonctions rationnelles et déterminer leurs domaines. Nous allons simplifier les fonctions rationnelles en trouvant et en éliminant les facteurs communs dans les numérateurs et les dénominateurs. Nous ferons cela en factorisant. Nous allons également déterminer le domaine d’une fonction rationnelle en considérant les valeurs de 𝑥 pour lesquelles le dénominateur est égal à zéro. Nous allons commencer par examiner quelques définitions clés.

Une fonction rationnelle est une fonction qui peut être définie par une fraction rationnelle. Dans cette vidéo, nous allons voir des fractions algébriques dans lesquelles le numérateur et le dénominateur sont des polynômes. Le domaine d’une fonction 𝑓 de 𝑥 est l’ensemble de valeurs de 𝑥 que cette fonction peut prendre. Il n’y a aucune solution réelle à une fonction lorsque son dénominateur est égal à zéro. On peut donc supposer que le dénominateur est égal à zéro pour calculer les valeurs réelles qui ne font pas partie du domaine.

Par exemple, considérons la fonction quatre 𝑥 plus sept sur 𝑥 moins trois. Cette fonction est déjà en sa forme la plus simple. Étant donné qu’il n’y a pas de restrictions évidentes, on pourrait penser que le domaine est représenté par toutes les valeurs réelles. Cependant, puisque le dénominateur ne doit pas être égal à zéro, on doit le définir comme égal à zéro pour déterminer les valeurs qui ne font pas partie du domaine. Lorsqu’on additionne trois aux deux côtés de cette équation on a 𝑥 est égal à trois. Cela signifie que lorsque 𝑥 est égal à trois, le dénominateur est égal à zéro. Cela signifie que le domaine de notre fonction est représenté par tous les nombres réels moins l’ensemble contenant le nombre trois.

Nous allons maintenant examiner quelques questions dans lesquelles nous devons simplifier les fonctions rationnelles et déterminer leur domaine.

Simplifiez la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré plus deux 𝑥 divisé par 𝑥 au carré moins quatre, et déterminez son domaine.

La première partie de la question nous demande de simplifier la fonction. Nous allons procéder en factorisant le numérateur et le dénominateur. Le numérateur a un facteur commun de 𝑥, on peut donc le factoriser. Puisque 𝑥 au carré divisé par 𝑥 est égal à 𝑥 et deux 𝑥 divisé par 𝑥 est égal à deux, le numérateur devient 𝑥 multiplié par 𝑥 plus deux. On peut vérifier cela en développant les parenthèses. Le dénominateur de notre fraction est écrit sous la forme 𝑥 au carré moins 𝑎 au carré. Cette forme est la différence de deux carrés et est égale à 𝑥 plus 𝑎 multiplié par 𝑥 moins 𝑎. 𝑥 au carré moins quatre est égal à 𝑥 plus deux multiplié par 𝑥 moins deux.

Encore une fois, on peut vérifier cela en développant les parenthèses en utilisant la double distributivité. Nous remarquons qu’il y a 𝑥 plus deux au numérateur et au dénominateur. Cela signifie que nous pouvons les simplifier. Cela nous donne une version simplifiée de 𝑓 de 𝑥 qui est 𝑥 divisé par 𝑥 moins deux.

On nous demande également de trouver le domaine de cette fonction, 𝑓 de 𝑥. Le domaine est l’ensemble des valeurs de 𝑥 que 𝑓 de 𝑥 peut prendre. Cette fonction ne contient aucune restriction apparente ; cependant, nous rappelons que le dénominateur d’une fraction ne peut être égal à zéro. Nous devons donc résoudre le dénominateur 𝑥 au carré moins quatre égal à zéro pour identifier les valeurs qui ne font pas partie du domaine de 𝑓 de 𝑥.

Comme nous l’avons déjà vu, on peut écrire 𝑥 au carré moins quatre comme 𝑥 plus deux multiplié par 𝑥 moins deux. Si le produit de ces parenthèses est égal à zéro, alors soit 𝑥 plus deux est égal à zéro, soit 𝑥 moins deux est égal à zéro. Cela nous donne deux solutions : 𝑥 est égal à moins deux et 𝑥 est égal à deux. Le domaine de 𝑓 de 𝑥 est représenté donc par toutes les valeurs réelles moins l’ensemble qui contient moins deux et deux.

Notre prochaine question consiste à trouver la valeur d’un inconnu dans une fonction rationnelle.

Si 𝑛 de 𝑥 égale 𝑥 au carré plus 12𝑥 plus 36 sur 𝑥 au carré moins 𝑎 quand simplifié devient 𝑛 de 𝑥 égale 𝑥 plus six sur 𝑥 moins six, quelle est la valeur de 𝑎 ?

Il existe de nombreuses façons d’aborder ce problème. Une façon serait de partir du principe que les deux expressions ou fonctions sont égales et les comparer. Cela nous donne 𝑥 au carré plus 12𝑥 plus 36 sur 𝑥 au carré moins 𝑎 est égal à 𝑥 plus six sur 𝑥 moins six. Le numérateur du côté gauche est une fonction du second degré qu’on peut factoriser en deux parenthèses. Étant donné que le terme principal a un coefficient de un, le premier terme de chacune de nos parenthèses sera 𝑥. Nous devons trouver une paire de nombres dont le produit est 36 et la somme est 12.

Il y a cinq paires de facteurs de 36 : un et 36, deux et 18, trois et 12, quatre et neuf, et six et six. La seule paire dont la somme est 12 est six et six. La forme factorisée de 𝑥 au carré plus 12𝑥 plus 36 est donc 𝑥 plus six multipliée par 𝑥 plus six. Notre prochaine étape consiste à diviser les deux côtés de l’équation par 𝑥 plus six. Cela nous donne 𝑥 plus six sur 𝑥 au carré moins 𝑎 est égal à un sur 𝑥 moins six. On peut ensuite réarranger l’expression. On peut multiplier les deux côtés de l’équation par 𝑥 au carré moins 𝑎 et 𝑥 moins six. Cela nous donne 𝑥 plus six multiplié par 𝑥 moins six sur le côté gauche et 𝑥 au carré moins 𝑎 sur le côté droit.

On peut développer le côté gauche en utilisant la double distributivité. Cela nous donne 𝑥 au carré moins six 𝑥 plus six 𝑥 moins 36. Moins six 𝑥 et plus six 𝑥 s’éliminent. Autrement, nous aurions pu remarquer que 𝑥 plus six multiplié par 𝑥 moins six est la différence de deux carrés et est donc égal à 𝑥 au carré moins 36. Nous savons que cela est égal à 𝑥 au carré moins 𝑎. Notre valeur de 𝑎 est donc égale à 36.

Notre prochaine fonction rationnelle a un dénominateur cubique.

Simplifiez la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré moins 81 sur 𝑥 au cube plus 729 et déterminez son domaine.

Afin de simplifier la fonction 𝑓 de 𝑥, on doit factoriser le numérateur et le dénominateur. Pour ce faire, on doit identifier que sur le numérateur, il y a la différence de deux carrés. Cela nous indique que toute expression du second degré de la forme 𝑥 au carré moins 𝑎 au carré est égal à 𝑥 plus 𝑎 multiplié par 𝑥 moins 𝑎. Nous savons que neuf au carré est égal à 81. Cela signifie que 𝑥 au carré moins 81 est égal à 𝑥 plus neuf multiplié par 𝑥 moins neuf. Le dénominateur 𝑥 au cube plus 729 est écrit sous la forme 𝑥 au cube plus 𝑎 au cube.

Encore une fois, 𝑎 est égal à neuf puisque neuf au cube est égal à 729. 𝑥 au cube plus 𝑎 au cube est égal à 𝑥 plus 𝑎 multiplié par 𝑥 au carré moins 𝑎𝑥 plus 𝑎 au carré. Cela signifie que 𝑥 au cube plus 729 est égal à 𝑥 plus neuf multiplié par 𝑥 au carré moins neuf 𝑥 plus 81. On peut diviser le numérateur et le dénominateur par 𝑥 plus neuf, donc ces termes s’éliminent. La version simplifiée de 𝑓 de 𝑥 est donc 𝑥 moins neuf sur 𝑥 au carré moins neuf 𝑥 plus 81.

La deuxième partie de notre question nous demande de déterminer le domaine. Le domaine d’une fonction est l’ensemble des valeurs de 𝑥 que 𝑓 de 𝑥 peut prendre. Étant donné que le dénominateur d’une fraction ne peut être égal à zéro, le domaine est représenté par toutes les valeurs réelles sauf celles qui rendent le dénominateur zéro. Pour calculer ces valeurs, on suppose que 𝑥 au cube plus 729 est égal à zéro. Nous savons déjà que cela est égal à 𝑥 plus neuf multiplié par 𝑥 au carré moins neuf 𝑥 plus 81. Considérons le terme linéaire 𝑥 plus neuf en premier. Lorsque 𝑥 plus neuf est égal à zéro, 𝑥 est égal à moins neuf. Par conséquent, moins neuf ne peut pas faire partie du domaine de 𝑓 de 𝑥. L’expression de second degré 𝑥 au carré moins neuf 𝑥 plus 81 ne peut être factorisé.

Nous pouvons aller un peu plus loin, car il n’y a aucune solution réelle. Nous savons que toute expression du second degré de la forme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 n’a pas de solution réelle lorsque son discriminant, 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐, est inférieur à zéro. Dans ce cas, on a 𝑎 est égal à un, le coefficient de 𝑥 au carré, 𝑏 est égal à moins neuf, le coefficient de 𝑥 et 𝑐 est égal à 81. Nous devons évaluer moins neuf au carré moins quatre multiplié par un multiplié par 81. Cela est égal à moins 243. Puisque cela est inférieur à zéro, 𝑥 au carré moins neuf 𝑥 plus 81 est égal à zéro n’a aucune solution.

Cela signifie que la seule valeur pour laquelle 𝑥 au cube plus 729 est égal à zéro est 𝑥 égale moins neuf. Le domaine de 𝑓 de 𝑥 est représenté donc par toutes les valeurs réelles sauf moins neuf. Nous pouvons écrire ceci avec la notation des ensembles comme indiqué.

Dans la dernière question nous allons simplifier une fonction rationnelle plus compliquée.

Simplifiez la fonction 𝑛 de 𝑥 égale cinq 𝑥 au carré moins 15𝑥 sur 𝑥 puissance quatre plus deux 𝑥 au cube moins 15𝑥 au carré moins 36 moins 𝑥 au carré sur 𝑥 au carré moins 𝑥 moins 30, puis déterminez l’ensemble solution de l’équation 𝑛 de 𝑥 est égal à zéro.

On peut simplifier la fonction 𝑛 de 𝑥 en factorisant chaque partie de la fonction. Commençons par considérer cinq 𝑥 au carré moins 15𝑥. Le plus grand facteur commun de cette expression est cinq 𝑥. Lorsqu’on factorise cela, on obtient cinq 𝑥 multiplié par 𝑥 moins trois. Le dénominateur de notre premier terme semble plus compliqué car il s’agit d’une fonction du quatrième degré. Elle est de degré quatre, car le plus grand exposant est quatre. Il existe cependant un facteur commun de 𝑥 au carré. 𝑥 puissance quatre plus deux 𝑥 au cube moins 15𝑥 au carré est égal à 𝑥 au carré multiplié par 𝑥 au carré plus deux 𝑥 moins 15.

On peut davantage factoriser la partie quadratique de cette expression. 𝑥 au carré plus deux 𝑥 moins 15 est égal à 𝑥 plus cinq multiplié par 𝑥 moins trois. Cela signifie que le premier terme a un numérateur de cinq 𝑥 multiplié par 𝑥 moins trois et un dénominateur de 𝑥 au carré multiplié par 𝑥 plus cinq multiplié par 𝑥 moins trois. Considérons maintenant le numérateur du deuxième terme. 36 moins 𝑥 au carré est sous la forme de la différence de deux carrés, 𝑎 au carré moins 𝑥 au carré. Cela signifie qu’on peut factoriser cela en la forme 𝑎 moins 𝑥 multiplié par 𝑎 plus 𝑥. 36 moins 𝑥 au carré est égal à six moins 𝑥 multiplié par six plus 𝑥. Enfin, le dénominateur du deuxième terme devient 𝑥 moins six multiplié par 𝑥 plus cinq.

On peut maintenant réécrire la fonction 𝑛 de 𝑥 en sa forme simplifiée. La fonction 𝑛 de 𝑥 est égale à cinq 𝑥 multiplié par 𝑥 moins trois sur 𝑥 au carré multiplié par 𝑥 plus cinq multiplié par 𝑥 moins trois moins six moins 𝑥 multiplié par six plus 𝑥 sur 𝑥 moins six multiplié par 𝑥 plus cinq. Dans le premier terme, on peut simplifier un 𝑥 et 𝑥 moins trois sur le numérateur et le dénominateur. Cela nous donne cinq sur 𝑥 multiplié par 𝑥 plus cinq. Moins six moins 𝑥 est équivalent à moins six plus 𝑥. On peut écrire cela comme 𝑥 moins six. On peut donc éliminer 𝑥 moins six au numérateur et au dénominateur du deuxième terme. Et on a six plus 𝑥 ou 𝑥 plus six sur 𝑥 plus cinq.

On peut à présent additionner les deux termes de la fonction en trouvant un dénominateur commun. On le fait en multipliant le numérateur et le dénominateur de la deuxième fraction par 𝑥. Cela nous donne 𝑥 multiplié par 𝑥 plus six sur 𝑥 multiplié par 𝑥 plus cinq. Lorsqu’on additionne les numérateurs, on a cinq plus 𝑥 multiplié par 𝑥 plus six sur 𝑥 multiplié par 𝑥 plus cinq. Notre prochaine étape consiste à développer les parenthèses sur le numérateur. Lorsqu’on réécrit cela, on a 𝑥 au carré plus six 𝑥 plus cinq. On peut aussi factoriser cela et avoir 𝑥 plus cinq multiplié par 𝑥 plus un. Lorsqu’on élimine 𝑥 plus cinq on obtient la version simplifiée de 𝑛 de 𝑥 qui est 𝑥 plus un sur 𝑥.

Nous voulons aussi l’ensemble des solutions où 𝑛 de 𝑥 est égal à zéro. Cela signifie que 𝑥 plus un sur 𝑥 est égal à zéro. Si on multiplie les deux côtés par 𝑥, on a 𝑥 plus un est égal à zéro. 𝑥 est donc égal à moins un. L’ensemble des solutions de l’équation 𝑛 de 𝑥 est égal à zéro est la valeur moins un.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. On peut simplifier une fonction sous forme de fraction algébrique en factorisant le numérateur et le dénominateur et en éliminant ensuite les termes identiques. Une fonction est indéfinie lorsque son dénominateur est égal à zéro. Les valeurs pour lesquelles le dénominateur est égal à zéro ne font pas partie du domaine. Nous avons vu dans cette vidéo qu’on peut exprimer le domaine avec la notation des ensembles comme indiqué.

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