Vidéo : Intégrales indéfinies : Fonctions trigonométriques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer les intégrales indéfinies de polynômes et de fonctions de puissance générales en utilisant la règle de puissance pour l’intégration.

14:07

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer des intégrales indéfinies de fonctions trigonométriques. Nous allons commencer par rappeler la première partie du théorème fondamental de l’analyse avant de voir en quoi cela nous aide à intégrer un certain nombre de fonctions trigonométriques et les applications de ces intégrales. Nous commençons par énoncer la première partie du théorème fondamental de l’analyse. Dans ce théorème, nous posons 𝑓 une fonction continue à valeurs réelles définie sur un intervalle fermé 𝑎 à 𝑏. Ensuite, grand 𝐹 est la fonction définie pour tout 𝑥 dans cet intervalle fermé par grand 𝐹 de 𝑥 est l’intégrale de 𝑓 de 𝑡 par rapport à 𝑡 évalué entre 𝑎 et 𝑥. Ensuite, grand 𝐹 doit être uniformément continue sur cet intervalle fermé et dérivable sur l’intervalle ouvert 𝑎 à 𝑏 tels que grand 𝐹 prime de 𝑥 est égale à 𝑓 de 𝑥 pour tout 𝑥 dans l’intervalle fermé 𝑎 à 𝑏.

Cette dernière partie dit que 𝐹 est la primitive de la fonction 𝑓. La fonction dont la dérivée est égale à la fonction d’origine. Et essentiellement, cela nous dit que l’intégration est le processus inverse de la dérivation. Alors commençons par regarder la fonction 𝑓 de 𝑥 est égal à sinus de 𝑎𝑥 pour les constantes réelles 𝑎. Et bien sûr, 𝑥 doit être une mesure en radians. Nous rappelons que la dérivée de cos de 𝑎𝑥 est moins 𝑎 sinus de 𝑎𝑥. Nous pouvons donc dire que l’intégrale indéfinie de moins 𝑎 sinus de 𝑎𝑥 évaluée par rapport à 𝑥 doit être cos de 𝑥. Et n’oubliez pas que puisque nous travaillons avec une intégrale indéfinie, nous devons ajouter cette constante d’intégration. Appelons-la 𝑐.

Ok, c’est un bon début. Mais nous cherchons en fait à déterminer l’intégrale indéfinie du sinus de 𝑎𝑥 et pas moins 𝑎 sinus de 𝑎𝑥. On a le droit, cependant, de prendre la constante moins 𝑎 en dehors de l’intégrale. Et nous voyons que moins 𝑎 fois l’intégrale indéfinie du sinus de 𝑎𝑥 est égal à cos de 𝑎𝑥 plus 𝑐. Et comme moins 𝑎 n’est qu’une constante, nous divisons les deux côtés par moins 𝑎. Et nous obtenons l’intégrale indéfinie du sinus de 𝑎𝑥 égale à moins un sur 𝑎 fois cos de 𝑎𝑥 ainsi que grand 𝐶. Et vous remarquerez peut-être que j’ai changé d’un minuscule 𝑐 à une majuscule 𝐶. Et c’est simplement parce que nous avons divisé notre constante d’origine par une autre constante. Je veux donc représenter que ce nombre a réellement changé de valeur.

Nous pouvons répéter ce processus pour la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à cos 𝑎 de 𝑥. Encore une fois, 𝑎 est une constante réelle et 𝑥 est mesurée en radians. Nous allons utiliser le fait que la dérivée du sinus de 𝑎𝑥 est égal à 𝑎 cos de 𝑎𝑥. Et nous pouvons donc dire que l’intégrale indéfinie de 𝑎 cos de 𝑎𝑥 évaluée par rapport à 𝑥 doit être sinus 𝑎𝑥 plus la constante d’intégration 𝑐. Nous prenons la constante 𝑎 en dehors de l’intégrale et la partie droite de notre équation reste inchangée. Enfin, on divise par par 𝑎. Et nous obtenons l’intégrale de cos de 𝑎𝑥 évaluée par rapport à 𝑥, être un plus 𝑎 fois le sinus de 𝑎𝑥 plus grand 𝐶.

Rappelez-vous que le processus de dérivation des fonctions sinus et cosinus forme un cycle. Autrement dit, la dérivée du sinus 𝑥 est cos 𝑥. Et si nous nous dérivons encore, nous aurons moins sinus 𝑥. Dériver encore une fois, nous obtenons moins cos de 𝑥. Et dériver une fois de plus, nous revenons au début en obtenant le sinus de 𝑥. Nous inversons ce cycle pour l’intégration comme indiqué. Voyons maintenant quelques exemples démontrant l’intégration des fonctions sin et cos.

Déterminer l’intégrale indéfinie de moins sin de 𝑥 moins neuf cos de 𝑥 évaluée par rapport à 𝑥.

Il peut être utile de rappeler les propriétés des intégrales avant de les évaluer. Tout d’abord, nous savons que l’intégrale de la somme de deux fonctions ou plus est en réalité égale à la somme des intégrales de ces fonctions respectives. Et nous savons également que nous pouvons prendre tous les facteurs constants en dehors de l’intégrale et nous concentrer sur l’intégration de l’expression en 𝑥 elle-même. Cela signifie que nous pouvons réécrire notre intégrale comme moins l’intégrale du sinus 𝑥 évaluée par rapport à 𝑥 moins neuf fois l’intégrale de cos de 𝑥 évaluée par rapport à 𝑥. Cela signifie que nous pouvons réécrire notre intégrale comme indiqué. Et cela signifie que nous pouvons rappeler les résultats généraux pour l’intégrale des fonctions sinus et cosinus.

L’intégrale indéfinie de sin de 𝑎𝑥 est moins un sur 𝑎 cos 𝑎𝑥 ainsi que constante 𝑐. Et l’intégrale indéfinie de cos de 𝑎𝑥 est un plus 𝑎 fois le sinus de 𝑎𝑥 plus 𝑐. Donc, notre intégrale est moins moins cos de 𝑥 plus 𝐴 moins neuf fois le sinus de 𝑥 plus 𝐵. Ensuite, j’ai choisi 𝐴 et 𝐵 ici pour montrer qu’il s’agit de différentes constantes d’intégration. La distributivité des parenthèses et en combinant nos constantes en une constante, on trouve l’intégrale du sinus moins 𝑥 moins neuf cos de 𝑥 évaluée par rapport à 𝑥 égale à cos de 𝑥 moins neuf sinus de 𝑥 plus 𝑐.

Détermine l’intégrale indéfinie de moins huit sinus de huit 𝑥 moins sept cos de cinq 𝑥 évaluée par rapport à 𝑥.

Dans cette question, nous cherchons à intégrer la somme de deux fonctions 𝑥. Nous commençons par rappeler le fait que l’intégrale de la somme de deux fonctions ou plus est en réalité égale à la somme des intégrales de ces fonctions respectives. Ainsi, nous pouvons écrire notre problème comme l’intégrale de moins huit sinus de huit 𝑥 par rapport à 𝑥 ainsi que l’intégrale de moins sept cos de cinq 𝑥 d𝑥. Nous savons aussi que nous pouvons prendre tous les facteurs constants en dehors de l’intégrale et nous concentrer sur l’intégration de chaque expression de 𝑥. Donc, nous pouvons réécrire notre problème plus loin en moins huit fois l’intégrale du sinus de huit 𝑥 par rapport à 𝑥 moins sept fois l’intégrale de cos de cinq 𝑥 par rapport à 𝑥.

Ensuite, nous rappelons les résultats généraux pour l’intégrale du sinus et du cosinus. L’intégrale du sinus de 𝑎𝑥 est moins un sur 𝑎 cos de 𝑎𝑥 plus 𝑐. Et l’intégrale indéfinie de cos de 𝑎𝑥 est un sur 𝑎 sinus de 𝑎𝑥 plus 𝑐. Nous intégrons chaque fonction, respectivement, et on voit que l’intégrale du sinus de huit 𝑥 est moins un huitième cos de huit 𝑥 plus 𝐴. Et l’intégrale indéfinie de cos de cinq 𝑥 est un cinquième sinus de cinq 𝑥 plus 𝐵. Et j’ai choisi 𝐴 et 𝐵, par opposition à une seule valeur de 𝑐, pour montrer que ce sont en fait différentes constantes.

Notre dernière étape consiste à distribuer les parenthèses. Moins huit fois moins un huitième cos de huit 𝑥 est égal à cos de huit 𝑥. Moins sept fois un cinquième du sinus de cinq 𝑥 est égal à moins un sept cinquièmes sinus de cinq 𝑥. Enfin, on multiplie par moins huit 𝐴 et moins sept par 𝐵. Et nous nous retrouvons avec cette nouvelle constante 𝐶. Et nous avons constaté que l’intégrale dont nous avions besoin est cos de huit 𝑥 moins sept cinquièmes du sinus de cinq 𝑥 plus 𝐶.

Nous allons maintenant examiner quelques dérivées alternatives. Nous rappelons que la dérivée de tan 𝑎𝑥 est 𝑎 sec carré 𝑎𝑥. Maintenant, vous pouvez mettre en pause la vidéo pour un moment et réfléchir à ce que cela nous dit au sujet de l’intégrale de sec au carré 𝑎𝑥. Eh bien, jetons un coup d’œil. Nous rappelons que la première partie du théorème fondamental de l’analyse nous dit essentiellement que l’intégration est le processus inverse de la dérivation. Et là, on voit que l’intégrale de 𝑎 sec au carré 𝑎𝑥 évaluée par rapport à 𝑥 doit être tan de 𝑎𝑥 et puisque c’est une intégrale indéfinie plus 𝑐. Nous éliminons ce facteur constant de 𝑎 puis nous divisons. Et nous voyons que l’intégrale de sec au carré de 𝑎𝑥 évaluée par rapport à 𝑥 est un sur 𝑎 tan de 𝑎𝑥 plus grand 𝐶.

Il est hors de portée de cette vidéo de passer trop de temps à regarder les autres intégrales. Mais en utilisant à peu près la même méthode, nous obtenons les intégrales suivantes relatives aux dérivées des fonctions trigonométriques réciproques. L’intégrale de csc 𝑎𝑥 cot 𝑎𝑥 est moins un sur 𝑎 csc 𝑎𝑥. L’intégrale de sec 𝑎𝑥 tan 𝑎𝑥 est un sur 𝑎 sec 𝑎𝑥. Et la dérivée de csc carré 𝑎𝑥 est moins un sur 𝑎 fois de cot 𝑎𝑥. Nous allons maintenant examiner quelques exemples de ces résultats et la fréquence à laquelle l’identité trigonométrique sera nécessaire pour nous aider à évaluer ces intégrales.

Déterminer l’intégrale indéfinie de sec négatif au carré six 𝑥 évaluée par rapport à 𝑥.

Pour répondre à cette question, il est presque assez simplement de citer le résultat général pour l’intégrale de sec au carré de 𝑎𝑥. C’est un sur 𝑎 fois la tangente de 𝑎𝑥. Toutefois, il est judicieux de prendre un facteur négatif en dehors de l’intégrale, comme indiqué. Et quand on le fait, on obtient que la solution soit moins un fois sur six 𝑥 plus 𝑐. Et tout ce qui reste à faire est de répartir les parenthèses. Moins un fois un sixième de tan six 𝑥 est égal à moins un sixième tan de six 𝑥. Et un fois moins 𝑐 nous donne cette nouvelle constante, grand 𝐶. Et nous trouvons donc que notre intégrale indéfinie est moins un sixième de tangente sur six 𝑥 plus 𝐶.

Déterminer l’intégrale indéfinie de deux cos cube trois 𝑥 plus un sur neuf cos carré trois 𝑥 évaluée par rapport à 𝑥.

Cette question semble, à première vue, assez délicate. Cependant, nous devrions remarquer que nous pouvons réellement simplifier quelque peu ce quotient. Nous avons essentiellement inversé le processus que nous aurions pris lors de l’ajout de deux fractions. Et nous voyons que nous pouvons écrire le quotient comme deux cos cube trois 𝑥 plus neuf cos carré trois 𝑥 plus un sur neuf cos carré trois 𝑥. La première fraction se simplifie en deux neuvièmes de cos de trois 𝑥. Et ensuite, pour nous aider à déterminer une solution, réécrivons la deuxième fraction un neuvième fois un sur cos carré de trois 𝑥. Ensuite, nous rappelons que l’intégrale de la somme de deux fonctions ou plus est en fait égale à la somme des intégrales de ces fonctions respectives. Et nous écrivons l’intégrale de deux neuvièmes de cos de trois 𝑥 évaluée par rapport à 𝑥 plus l’intégrale d’un neuvième fois un sur cos carré trois 𝑥, encore une fois, évaluée par rapport à 𝑥.

Nous savons aussi que nous pouvons prendre tous les facteurs constants en dehors de l’intégrale et nous concentrer sur l’intégration de l’expression de 𝑥. Donc, nous écrivons cet autre comme deux neuvièmes fois l’intégrale de cos de trois 𝑥 d𝑥 plus un neuvième fois l’intégrale de un sur cos carré trois 𝑥 d𝑥. On peut citer le résultat général pour l’intégrale de cos de 𝑎𝑥. C’est un sur 𝑎 sinus de 𝑎𝑥. Et cela signifie que l’intégrale de cos de trois 𝑥 est un tiers sinus de trois 𝑥 plus une constante d’intégration. Appelons-la 𝐴. Mais que fait-on de la seconde intégrale ? Eh bien, nous savons une identité trigonométrique, un sur cos de 𝑥 est égal à sec de 𝑥. Et nous voyons que nous pouvons réécrire un sur cos carré de trois 𝑥 comme sec au carré trois 𝑥. Et puis nous avons le résultat général pour l’intégrale de sec au carré 𝑎𝑥 d𝑥. C’est un sur 𝑎 tan de 𝑎𝑥 plus une constante. Et cela signifie que nous pouvons écrire l’intégrale de sec au carré de trois 𝑥 comme un tiers tan de trois 𝑥 plus une autre constante d’intégration 𝐵.

Nous distribuons nos parenthèses et nous voyons que deux neuvièmes fois un tiers sinus de trois 𝑥 est égal à deux vingt-septièmes sin de trois 𝑥. De même, on obtient un neuvième fois un tiers de tan trois 𝑥 soit un vingt-septième de tan de trois 𝑥. Et enfin, quand on multiplie chacune de nos constantes par deux neuvièmes et un neuvième, respectivement, nous nous retrouvons avec une nouvelle constante 𝐶. Et nous constatons que notre intégrale est égale à deux vingt-septièmes du sinus de trois 𝑥 plus un vingt-septième tan de trois 𝑥 plus 𝐶.

Nous allons examiner un autre exemple nécessitant les intégrales que nous avons examinées, ainsi que des identités trigonométriques.

Déterminer l’intégrale indéfinie de trois tan au carré de huit 𝑥 fois csc carré huit 𝑥 évaluée par rapport à 𝑥. Celles-ci semblent au début assez délicates. Cependant, si nous nous souvenons de certaines de nos identités trigonométriques, cela devient un peu plus agréable. Nous savons que tan 𝑥 est égal au sinus 𝑥 sur cos de 𝑥. Et nous savons aussi que csc 𝑥 est égal à un sur sinus 𝑥. Nous pouvons donc réécrire notre intégrande comme moins trois fois sin au carré de huit 𝑥 sur cos carré huit 𝑥 fois un sur sinus carré de huit 𝑥. Et puis nous avons remarqué que le sinus au carré huit 𝑥 s’élimine. Nous pouvons prendre le facteur moins trois en dehors du sinus intégral pour faciliter l’étape suivante. Et nous avons moins trois fois l’intégrale de un sur cos au carré de huit 𝑥 d𝑥.

Mais nous savons que un sur cos de 𝑥 est égal à sec de 𝑥. Donc, notre intégrale devient moins trois fois l’intégrale de sec au carré de huit 𝑥 évaluée par rapport à 𝑥. Mais bien sûr, l’intégrale de sec au carré 𝑎𝑥, évaluée par rapport à 𝑥, est un sur 𝑎 tan de 𝑎𝑥 plus une constante d’intégration 𝑐. Nous voyons donc que l’intégrale de sec carré huit 𝑥 est un huitième tan de huit 𝑥 plus 𝑐. Nous distribuons nos parenthèses. Et nous voyons que nous nous retrouvons avec moins trois huitièmes de tan de huit 𝑥 plus une nouvelle constante puisque nous avons multiplié notre précédente par moins trois. Appelons-la grand 𝐶.

Dans cette vidéo, nous avons vu que nous pouvons utiliser le fait que l’intégration est essentiellement le processus inverse de dérivation pour évaluer les intégrales indéfinies du sinus de 𝑎𝑥, cos de 𝑎𝑥 et sec au carré de 𝑎𝑥. Nous avons également vu que rappelant certaines identités trigonométriques, comme tan 𝑥 est égal sinus 𝑥 sur cos 𝑥 ou un sur sinus 𝑥 est égal à csc de 𝑥, peut rendre plus facile l’évaluation d’intégrales.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.