Vidéo question :: Dériver des fonctions impliquant des rapports trigonométriques en utilisant la règle du produit Mathématiques

Transcription de la vidéo

Sachant que 𝑦 est égal à cinq 𝑥 au carré fois la cotangente de quatre 𝑥, déterminez d𝑦 sur d𝑥.

En examinant notre fonction 𝑦, on voit qu’il s’agit d’un produit. C’est cinq 𝑥 au carré multiplié par la cotangente de quatre 𝑥. Et donc, pour déterminer la dérivée première d𝑦 sur d𝑥 de notre fonction 𝑦, on va devoir utiliser la règle de dérivation d’un produit. D’après la règle du produit, si 𝑢 et 𝑣 sont deux fonctions dérivables, alors la dérivée par rapport à 𝑥 de leur produit 𝑢𝑣 est égale à 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 plus 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥.

On peut considérer que le premier facteur de notre expression est 𝑢 et que son second facteur est 𝑣. Et on va devoir déterminer les dérivées de 𝑢 et 𝑣 séparément. La dérivée de 𝑢 par rapport à 𝑥 est facile à trouver. On peut appliquer la règle de dérivation d’une puissance pour obtenir cinq fois deux 𝑥, ce qui est égal à 10𝑥. Mais déterminer d𝑣 sur d𝑥 est un peu plus compliqué, car notre fonction 𝑣 est l’inverse d’une fonction trigonométrique. Rappelons en effet que la fonction cotangente est l’inverse de la fonction tangente. Donc 𝑣 est aussi égal à un sur la tangente de quatre 𝑥. Il nous faut trouver comment dériver cela.

Une option serait d’utiliser le fait que la tangente de quatre 𝑥 est égale au sinus de quatre 𝑥 sur le cosinus de quatre 𝑥. Et donc que l’inverse de la tangente de quatre 𝑥 est égale au cosinus de quatre 𝑥 sur le sinus de quatre 𝑥. On pourrait ensuite dériver cela en utilisant la règle du quotient ainsi que deux dérivées usuelles, la dérivée du sinus et la dérivée du cosinus. Mais on peut aussi éviter les différentes étapes décrites ci-dessus en utilisant une autre dérivée usuelle qui est que pour toute constante 𝑎, la dérivée par rapport à 𝑥 de la cotangente de 𝑎𝑥 est égale à moins 𝑎 fois la cosécante au carré de 𝑎𝑥. Par conséquent, la dérivée de la cotangente de quatre 𝑥 est égale à moins quatre fois la cosécante au carré de quatre 𝑥.

Cette formule de la dérivée de la fonction trigonométrique inverse cotangente de 𝑎𝑥 devrait être connue par cœur. Bien sûr, si on ne s’en souvient pas, on peut réécrire la cotangente de 𝑎𝑥 comme le cosinus de 𝑎𝑥 sur le sinus de 𝑎𝑥 et dériver cela en utilisant la règle du quotient, comme on l’a déjà expliqué. On est maintenant prêt à appliquer la règle du produit, ce qui nous donne d𝑦 sur d𝑥 est égal à 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥. Soit cinq 𝑥 au carré multiplié par moins quatre fois la cosécante au carré de quatre 𝑥. Plus 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥. C’est-à-dire la cotangente de quatre 𝑥 multipliée par 10𝑥. On peut ensuite simplifier le coefficient du premier terme et réarranger les facteurs du second terme pour ne pas le confondre avec la cotangente de quatre 𝑥 fois 10𝑥.

Par conséquent, en utilisant la règle du produit, la règle de dérivation d’une puissance et la dérivée usuelle de l’inverse d’une fonction trigonométrique, on a montré que d𝑦 sur d𝑥, la dérivée première de notre fonction 𝑦, est égale à moins 20 𝑥 au carré fois la cosécante au carré de quatre 𝑥, plus 10𝑥 fois la cotangente de quatre 𝑥.