Vidéo : Intégration numérique : la méthode des trapèzes

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à approximer les intégrales définies en utilisant la méthode des trapèzes, et à estimer l’erreur à l’aide de cette méthode.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment approximer les intégrales définies en utilisant la méthode des trapèzes, et à estimer l’erreur à l’aide de cette méthode. Vous avez probablement déjà vu que l’aire exacte entre une courbe et l’axe des 𝑥 peut être déterminée en effectuant une intégrale définie de la fonction qui décrit cette courbe entre les deux points qui vous intéressent. Lors de l’approximation des intégrales et donc de l’aire, nous utilisons généralement des rectangles. Il s’agit des sommes du point au milieu et des sommes de Riemann. Dans cette vidéo, nous allons voir comment l’utilisation de trapèzes peut souvent donner une meilleure approximation que des sommes rectangulaires qui utilisent le même nombre de subdivisions. Et puis nous allons déduire une formule pour ce qui est communément connu sous le nom de la méthode des trapèzes.

Imaginons que nous voulons approximer l’aire entre la courbe représentative de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale huit moins deux 𝑥 au carré plus trois 𝑥 et l’axe des 𝑥. Délimitée par les droites d’équations 𝑥 égale zéro et 𝑥 égale deux. Pour l’instant, nous avons plusieurs méthodes différentes. Nous pouvons utiliser une somme des points du milieu, où nous divisons l’aire en rectangles. Supposons deux, et trouvons la hauteur du rectangle comme étant la valeur de la fonction au point de milieu de chaque intervalle. Eh bien, c’est une méthode. Mais observons la forme de la courbe. Ne serait-il pas logique de choisir une forme différente de celle d’un rectangle ? On peut essayer les trapèzes.

Supposons que nous voulons maintenant utiliser quatre sous-intervalles. Nos trapèzes ressembleraient à ça. Notez que cela semble en effet donner une meilleure approximation qu’avec des rectangles. Et nous pouvons utiliser la formule de l’aire du trapèze pour calculer l’aire totale entre la courbe et l’axe des 𝑥. C’est un demi fois 𝑎 plus 𝑏 fois ℎ. Où 𝑎 et 𝑏 sont les longueurs des côtés parallèles du trapèze. Et ℎ est la hauteur entre eux. Nous pouvons voir que la hauteur de chacun de nos trapèzes est égale à la largeur du sous-intervalle. Ça fait 0.5 unité.

Nous pouvons utiliser l’équation de notre courbe pour calculer les longueurs de chacun des côtés parallèles. Et il peut être utile d’inclure un tableau à ce stade. Un peu contre-intuitivement, avec quatre sous-intervalles, nous aurons cinq colonnes. Et en fait, c’est toujours le cas. Nous aurons toujours une colonne de plus que le nombre de sous-intervalles. La longueur du premier côté parallèle dans le premier trapèze est donnée par 𝑓 de zéro. Cela fait huit moins deux fois zéro au carré plus trois fois zéro, ce qui fait huit. Le deuxième côté parallèle de ce premier trapèze est de huit moins deux fois 0.5 au carré plus trois fois 0.5, soit neuf. 𝑓 de un est huit moins deux fois un au carré plus trois fois un, ce qui, malgré un graphique mal dessiné, est aussi neuf. Et de la même manière, on obtient 𝑓 de 1.5 à cette hauteur ici. Et ça fait huit. Et 𝑓 de deux pour cette hauteur ici. Et ça fait six.

Nous allons maintenant calculer l’aire de chacun des trapèzes. Le premier trapèze a une aire d’un demi fois huit plus neuf fois 0.5, soit 4.25 unités carrées. Le deuxième a une aire d’un demi fois neuf plus neuf fois 0.5, soit 4.5 unités carrées. Le troisième a une aire d’un demi fois neuf plus huit fois 0.5, ce qui est encore une fois 4.25. Et notre dernier trapèze a une aire d’un demi fois huit plus six fois 0.5, soit 3.5 unités carrées. La somme de ces aires est de 16.5. Et nous savons que nous utilisons couramment l’intégration définie pour évaluer l’aire sous la courbe. On peut donc dire qu’une approximation de l’intégrale définie évaluée entre zéro et deux de huit moins deux 𝑥 au carré plus trois 𝑥 est égale à 16.5. Eh bien, tout est bon. Mais vous vous dites peut-être qu’il doit y avoir un moyen plus rapide d’effectuer ce calcul. Et vous avez de la chance ; il y en a un. Prenons une fonction générique 𝑓 de 𝑥 et découpons-la en 𝑛 sous-intervalles.

Nous dirons que la hauteur de chaque trapèze est Δ𝑥. Nous avons vu que les longueurs des côtés parallèles du premier trapèze sont déterminées en substituant avec notre première valeur de 𝑥 et notre deuxième valeur de 𝑥 dans la fonction. On peut donc dire que 𝑎 un égale un demi fois 𝑓 de 𝑥 zéro plus 𝑓 de 𝑥 un fois Δ𝑥. De même, notre deuxième trapèze aura une aire d’un demi fois 𝑓 de 𝑥 un plus 𝑓 de 𝑥 deux fois Δ𝑥. Notre troisième aura une aire d’un demi fois 𝑓 de 𝑥 deux plus 𝑓 de 𝑥 trois fois Δ𝑥. Et continuez jusqu’au trapèze 𝑛, qui aura une aire d’un demi fois 𝑓 de 𝑥 𝑛 moins un plus 𝑓 de 𝑥 𝑛 fois Δ𝑥.

L’aire totale sous la courbe et donc une estimation pour l’intégrale définie de 𝑓 de 𝑥 entre la première valeur de 𝑥 et la dernière valeur de 𝑥 est la somme de celles-ci. En calculant leur somme, on peut factoriser avec comme diviseurs communs un demi et Δ𝑥. Et nous obtenons l’aire totale des trapèzes qui sera Δ𝑥 sur deux fois 𝑓 de 𝑥 zéro plus 𝑓 de 𝑥 un plus un autre 𝑓 de 𝑥 un. Plus jusqu’à 𝑓 de 𝑥 𝑛 moins un plus un autre 𝑓 de 𝑥 𝑛 moins un plus 𝑓 de 𝑥 𝑛.

On peut maintenant simplifier un peu plus pour obtenir la formule générale de la méthode des trapèzes en utilisant 𝑛 sous-intervalles. Nous combinons tous les 𝑓 de 𝑥 un, tous les 𝑓 de 𝑥 deux, jusqu’à tous les 𝑓 de 𝑥 𝑛 moins un. La règle est Δ𝑥 sur deux fois 𝑓 de 𝑥 zéro plus 𝑓 de 𝑥 𝑛 plus deux fois tout le reste. 𝑓 de 𝑥 un plus 𝑓 de 𝑥 deux jusqu’à 𝑓 de 𝑥 𝑛 moins un. Et Δ𝑥 peut être obtenue très facilement. C’est 𝑏 moins 𝑎 divisé par 𝑛, où 𝑎 et 𝑏 sont le début et la fin de notre intervalle. Et nos valeurs pour 𝑥 indice 𝑖 sont trouvées en ajoutant 𝑖 fois Δ𝑥 à la limite inférieure de notre intervalle. C’est 𝑎 plus 𝑖Δ𝑥. Nous allons maintenant voir l’application de cette règle.

Utilisez la méthode des trapèzes pour estimer l’intégrale définie entre zéro et deux de 𝑥 au cube par rapport à 𝑥 en utilisant quatre sous-intervalles.

Rappelons que la méthode des trapèzes dit que l’on peut trouver une approximation de l’intégrale définie entre les limites 𝑎 et 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 en utilisant le calcul Δ𝑥 sur deux fois 𝑓 de 𝑥 zéro plus 𝑓 de 𝑥 𝑛 plus deux fois 𝑓 de 𝑥 un plus 𝑓 de 𝑥 deux jusqu’à 𝑓 de 𝑥 𝑛 moins un. Où Δ𝑥 égale 𝑏 moins 𝑎 sur 𝑛. Et 𝑥 indice 𝑖 égale 𝑎 plus 𝑖 fois Δ𝑥.

Décomposons cela et commençons tout d’abord par calculer la valeur de Δ𝑥. Contextuellement, Δ𝑥 est la largeur de chacun de nos sous-intervalles. Dans ce cas, nous travaillons avec quatre sous-intervalles. On peut donc dire que 𝑛 est quatre. 𝑎 est la limite inférieure de notre intégrale. Donc 𝑎 égale zéro, et 𝑏 est la limite supérieure. Et elle égale deux. Δ𝑥 est donc deux moins zéro sur quatre, soit un demi ou 0.5. Pour les valeurs de 𝑓 de 𝑥 zéro et 𝑓 de 𝑥 un et ainsi de suite, il faut faire un peu plus de travail. Mais nous pouvons rendre cela aussi simple que possible en ajoutant un tableau.

Il est utile de se rappeler qu’il sera toujours requis d’avoir 𝑛 plus une colonne dans le tableau. Donc ici, c’est quatre plus un, ce qui fait cinq. Nous avons cinq colonnes dans notre tableau. Les valeurs de 𝑥 vont de 𝑎 à 𝑏. C’est zéro à deux. Et celles qui se trouvent entre les deux sont déterminées en ajoutant à plusieurs reprises Δ𝑥, c’est-à-dire 0.5, à 𝑎, qui est zéro. Ça fait 0.5, 1 et 1.5. Et cela nous donne nos quatre bandes de largeur 0.5 unité. Nous allons alors simplement substituer chaque valeur de 𝑥 dans notre fonction. Nous commençons par 𝑓 de zéro. C’est zéro au cube, c’est-à-dire zéro. Ensuite, nous avons 𝑓 de 0.5. Ça fait 0.5 au cube, ce qui fait 0.125. 𝑓 de un est un au cube, qui est encore un. Et nous obtenons les deux dernières valeurs de la même manière. 𝑓 de 1.5 est 3.375. Et 𝑓 de deux est huit. Et nous avons terminé la partie délicate. Il ne nous reste plus qu’à substituer avec ce que nous savons dans notre formule de la méthode des trapèzes.

C’est Δ𝑥 sur deux, soit 0.5 sur deux, fois la première valeur de 𝑓 de 𝑥 plus la dernière valeur de 𝑓 de 𝑥. C’est zéro plus huit plus deux fois tout le reste. Ça fait deux fois 0.125 plus un plus 3.375. Et ça nous donne une valeur de 17 sur quatre. Ainsi, en utilisant quatre sous-intervalles, la méthode des trapèzes nous donne l’estimation de l’intégrale définie de 𝑥 au cube entre zéro et deux, soit 17 sur quatre. Où ça sera possible, cela peut être vérifié de plusieurs façons. Vous pouvez évaluer une somme de Riemann ou une somme des points au milieu, ou simplement effectuer l’intégration.

Lorsque nous intégrons 𝑥 au cube, nous obtenons 𝑥 à la puissance quatre divisée par quatre. L’évaluation entre les limites de zéro et deux nous donne deux à la puissance quatre divisée par quatre moins zéro à la puissance quatre divisée par quatre, qui est de 16 sur quatre. Et c’est très proche de la réponse que nous avons obtenue, suggérant que nous avons probablement effectué nos calculs correctement. Voyons maintenant un exemple qui porte sur l’exactitude.

Estimez l’intégrale définie entre les limites de un et deux de 𝑒 à la puissance 𝑥 sur 𝑥 d𝑥, en utilisant la méthode des trapèzes avec quatre sous-intervalles. Donnez la réponse au centième près.

Rappelez-vous, la méthode des trapèzes dit que nous pouvons trouver une estimation pour l’intégrale définie d’une certaine fonction 𝑓 de 𝑥 entre les limites de 𝑎 et 𝑏 en effectuant le calcul Δ𝑥 sur deux fois 𝑓 de 𝑥 zéro plus 𝑓 de 𝑥 𝑛 plus deux fois 𝑓 de 𝑥 un plus 𝑓 de 𝑥 deux jusqu’à 𝑓 de 𝑥 𝑛 moins un. Où Δ𝑥 est 𝑏 moins 𝑎 sur 𝑛, où 𝑛 est le nombre de sous-intervalles. Et 𝑥 𝑖 est 𝑎 plus 𝑖 fois Δ𝑥. Nous allons alors commencer par calculer Δ𝑥. Contextuellement, Δ𝑥 est la largeur de chacun de nos sous-intervalles. Nous travaillons ici avec quatre sous-intervalles. Donc 𝑛 est quatre. 𝑎 égale un. Et 𝑏 égale deux. Δ𝑥 est donc deux moins un sur quatre, soit un quart ou 0.25. C’est la hauteur perpendiculaire de chaque trapèze.

Les valeurs pour 𝑓 de 𝑥 zéro et 𝑓 de 𝑥 un et ainsi de suite exigent un peu plus de travail. Mais nous pouvons rendre cela aussi simple que possible en incluant un tableau. Nous rappelons qu’il y aura toujours pour 𝑓 de 𝑥 une valeur en plus que le nombre de sous-intervalles. Donc ici, ça va faire quatre plus un, ce qui fait cinq valeurs de 𝑓 de 𝑥. Les valeurs de 𝑥 elles-mêmes vont de 𝑎 à 𝑏. Ici, c’est de un à deux. Et celles qui se trouvent entre les deux sont déterminées en ajoutant à plusieurs reprises Δ𝑥, c’est-à-dire 0.25, à 𝑎, qui est un. Ces valeurs sont donc 1.25 ; 1.5 et 1.75. Et cela nous donne nos quatre bandes de largeur 0.25 unité. Nous allons ensuite substituer chaque valeur de 𝑥 dans notre fonction.

Ici, nous allons devoir prendre une décision sur l’exactitude. Alors que la question nous dit de donner une réponse précise au centième près, c’est seulement pour notre réponse. Une bonne règle générale est d’utiliser au moins cinq décimales. Nous commençons par 𝑓 de un. C’est 𝑒 à la puissance un sur un, qui est 2.71828, à cinq décimales près. Nous avons 𝑓 de 1.25, qui est 𝑒 à la puissance 1.25 divisé par 1.25. À cinq décimales près, 2.79227. Nous répétons ce processus pour 1.5. 𝑓 de 1.5 est 2.98779. 𝑓 de 1.75 est 3.28834. Et 𝑓 de deux est 3.69453, arrondi à cinq décimales près. Il ne nous reste plus qu’à substituer ce que nous savons dans notre formule de la méthode des trapèzes. C’est Δ𝑥 sur deux. C’est 0.25 plus deux fois 𝑓 de un. Ça fait 2.71828 plus 𝑓 de deux. C’est 3.69453 plus deux fois tout le reste. Ça fait 2.79227 ; 2.98779 et 3.28834. Cela nous donne 3.0687, ce qui, au centième près, donne 3.07.

Il est utile de se rappeler que nous pouvons vérifier si cette réponse est susceptible d’être raisonnable en utilisant la fonction d’intégration de notre calculatrice. Et quand on le fait, on obtient 3.06 au centième près. C’est très proche de la réponse que nous avons obtenue, ce qui donne à penser que nous avons probablement effectué nos calculs correctement. Et donc une approximation de l’intégrale évaluée entre un et deux de 𝑒 à la puissance 𝑥 sur 𝑥 d𝑥 est 3.07. Dans notre dernier exemple, nous allons voir comment trouver l’erreur dans notre approximation.

Il n’entre pas dans le cadre de cette vidéo de voir d’où cela vient. Mais la formule que nous utiliserons est donnée par. La valeur absolue de l’erreur est inférieure ou égale à 𝑚 fois 𝑏 moins 𝑎 au cube sur 12𝑛 au carré. Et cela pourrait être utilisé lorsque la dérivée seconde de la fonction est continue. Et 𝑚 est une limite supérieure pour le module de la dérivée seconde sur l’intervalle fermé de 𝑎 à 𝑏.

a) Pour 𝑛 égale quatre, déterminez l’erreur liée à l’approximation par la méthode des trapèzes de l’intégrale définie de un sur 𝑥 évaluée entre un et deux. Et b) Quelle valeur devrions-nous prendre pour 𝑛 afin de garantir que l’approximation par la méthode des trapèzes de l’intégrale de un sur 𝑥 entre un et deux est exacte à 0.0001 ?

On peut voir qu’il faut calculer 𝑓 double prime de 𝑥, la dérivée seconde de la fonction un sur 𝑥. Ecrivons alternativement 𝑓 de 𝑥 comme 𝑥 à la puissance moins un. Alors 𝑓 prime de 𝑥, la dérivée première, est moins 𝑥 à la puissance moins deux. Et 𝑓 double prime de 𝑥 est deux 𝑥 à la puissance moins trois ou deux sur 𝑥 au cube. Nous savons que 𝑥 est supérieure ou égale à un, et inférieure ou égale à deux. Et cela nous dit que un sur 𝑥 doit être inférieure ou égale à un.

Considérons donc ce que cela nous apprend sur la valeur absolue de la dérivée seconde de 𝑓 de 𝑥. Eh bien, c’est la valeur absolue de deux sur 𝑥 au cube. Elle doit donc être inférieure ou égale à deux sur un au cube, et nous savons que c’est deux. Nous allons donc prendre 𝑚 comme étant égale à deux puisque c’est la limite supérieure de la dérivée seconde dans cette question. 𝑎 est un et 𝑏 égale deux. Et on nous dit dans la question que 𝑛 est quatre. Et cela signifie que la valeur absolue de notre erreur est inférieure ou égale à deux fois deux moins un au cube sur 12 fois quatre au carré, ce qui égale à peu près 0.01041, et ainsi de suite. On peut donc dire que la valeur absolue de l’erreur est strictement inférieure à 0.01042, à cinq décimales près.

Ensuite, pour la partie b de cette question, nous allons utiliser ce que nous avons fait dans la première partie. Mais cette fois-ci, nous essayons d’évaluer la valeur de 𝑛. Nous disons donc que la valeur absolue de notre erreur est inférieure ou égale à deux fois deux moins un au cube sur 12 fois 𝑛 au carré, ce qui simplifie à un sur six 𝑛 au carré. Il faut qu’elle soit strictement inférieure à 0.0001. Nous formons donc l’inéquation un sur six 𝑛 au carré est strictement inférieure à 0.0001. Et nous résolvons pour 𝑛. En réarrangeant, on obtient l’inégalité 𝑛 au carré est strictement supérieure à un sur 0.0006. Et puis on trouve la racine carrée des deux côtés. Il ne faut pas s’inquiéter ici de la racine carrée négative de 1 sur 0.0006. Comme on le sait, par définition, 𝑛 doit être un nombre positif. On obtient donc 𝑛 strictement supérieure à 40.824. Pour que nous puissions garantir que l’approximation est exacte à 0.0001 près, nous allons considérer 𝑛 égale 41.

Dans cette vidéo, nous avons appris que la méthode des trapèzes peut être utilisée pour chercher l’approximation des intégrales définies. Nous avons obtenu la formule de la méthode des trapèzes pour chercher l’approximation comme c’est montré. Et nous avons vu que, dans certaines circonstances, nous pouvons déterminer l’erreur impliquée dans ces approximations en utilisant cette formule.

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