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Vidéo de question : Calcul du rapport des volumes d’un gaz parfait dans différents récipients Physique

Deux récipients de différentes tailles contiennent le même gaz à la même pression et à la même température. Le récipient 1 contient 5,2 moles de gaz, et le récipient 2 contient 15,6 moles de gaz. Quel est le rapport entre le volume du récipient 2 et le volume du récipient 1 ?

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Transcription de vidéo

Deux récipients de différentes tailles contiennent le même gaz à la même pression et à la même température. Le récipient un contient 5,2 moles de gaz, et le récipient deux contient 15,6 moles de gaz. Quel est le rapport entre le volume du récipient deux et le volume du récipient un ?

On nous parle de ces deux récipients, le récipient un et le récipient deux. Nous ne savons pas encore quel récipient est plus grand que l’autre. Mais si nous appelons le volume du récipient deux 𝑉 deux et le volume du récipient un 𝑉 un, nous voulons résoudre ce rapport : 𝑉 deux divisé par 𝑉 un. On nous dit que ces deux récipients contiennent le même gaz. Et nous allons supposer que ce gaz est parfait. Dans cette hypothèse, nous pouvons utiliser la loi des gaz parfaits pour décrire ce gaz.

Cette loi maintient que la pression d’un gaz parfait multipliée par son volume est égale au nombre de moles du gaz multiplié par la constante des gaz parfait fois la température du gaz. Parce que nous avons deux récipients distincts, nous pouvons faire deux applications distinctes de la loi des gaz parfaits. Pour le récipient un, nous pouvons écrire que la pression du gaz 𝑃 un fois le volume du récipient 𝑉 un est égale au nombre de moles du gaz dans ce récipient 𝑛 un fois 𝑅 fois la température du gaz 𝑇 un.

La raison pour laquelle nous n’avons pas écrit d’indice pour la constante des gaz 𝑅 est parce que c’est bien une constante. Sa valeur restera la même quelles que soient les propriétés du gaz. En écrivant une expression similaire pour le gaz dans le récipient deux, nous savons que la pression de ce gaz 𝑃 deux fois le volume du récipient 𝑉 deux est égale au nombre de moles de gaz dans le récipient deux 𝑛 deux fois la constante des gaz 𝑅 multipliée par la température du gaz dans ce récipient, 𝑇 deux.

Nous avons vu que nous voulons déterminer le rapport 𝑉 deux divisé par 𝑉 un. Nous pouvons isoler les valeurs de 𝑉 un et 𝑉 deux dans ces deux équations respectives. Si nous divisons les deux côtés de notre première équation par la pression 𝑃 un, alors cette pression s’annule à gauche. Et nous trouvons que 𝑉 un est égal à 𝑛 un fois 𝑅 fois 𝑇 un le tout divisé par 𝑃 un. De même, en divisant notre deuxième équation par 𝑃 deux pour que ce facteur s’annule à gauche, nous constatons que 𝑉 deux est égal à 𝑛 deux fois 𝑅 fois 𝑇 deux divisé par 𝑃 deux.

Puisque nous avons maintenant des expressions pour 𝑉 un et pour 𝑉 deux, nous pouvons les insérer dans notre rapport 𝑉 deux divisé par 𝑉 un. En dégageant de l’espace pour travailler avec cette fraction, nous pouvons multiplier le numérateur et le dénominateur de cette fraction par un divisé par la constante des gaz parfaits 𝑅. Cela entraînerait l’annulation complète de cette constante dans cette expression.

Ensuite, nous pouvons rappeler quelques informations importantes qui nous ont été données. On nous dit que nos deux récipients contiennent du gaz qui est à la même pression et à la même température. En d’autres termes, ce que nous avons appelé 𝑃 un et 𝑃 deux sont égales, et ce que nous avons appelé 𝑇 un et 𝑇 deux sont aussi égales. Si nous reconnaissons ce fait en remplaçant 𝑃 un et 𝑃 deux par 𝑃 et 𝑇 un et 𝑇 deux par 𝑇, alors nous pouvons voir qu’au numérateur et au dénominateur de notre équation, nous multiplions par 𝑇 divisé par 𝑃. Si nous choisissons alors de multiplier le numérateur et le dénominateur par l’inverse 𝑃 divisé par 𝑇, alors toutes ces grandeurs s’annuleront parfaitement. Il nous reste simplement le rapport des nombres de moles de gaz, 𝑛 deux sur 𝑛 un.

On nous dit que le récipient un contient 5,2 moles de gaz, donc 𝑛 un est égal à 5,2. De même, nous savons que le récipient deux contient 15,6 moles de gaz, donc 𝑛 deux est 15,6. En insérant ces valeurs de 𝑛 deux et 𝑛 un dans notre équation, nous constatons que leur rapport est exactement égal à trois. Il s’agit alors du rapport entre le volume du récipient deux et le volume du récipient un. Le récipient deux a un volume trois fois plus grand que le récipient un.

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