Vidéo : La démonstration des lois de Snell-Descartes à l’aide de ressorts

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

La démonstration des lois de Snell-Descartes à l’aide de ressorts

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Transcription de vidéo

Dans ma vidéo avec Steven Strogatz sur la brachistochrone, nous avons fait référence à ce qu’on appelle « lois de Snell-Descartes ». C’est le principe de la physique qui explique comment la lumière se réfracte lorsqu’elle passe d’un milieu à un autre, alors que sa vitesse change. Nous en avons parlé en détail lors de notre conversation, mais c’était un peu trop détaillé. Alors j’ai fini par le supprimer de la vidéo. Ce que je veux faire ici, c’est simplement vous montrer une version condensée de cela, car on y fait référence à un argument assez intelligent de Mark Levi, et donne également cette impression d’achèvement à la solution de brachistochrone dans son ensemble.

Pensez à ce qui se passe lorsque la lumière passe de l’air dans l’eau. La vitesse de la lumière est un peu plus lente dans l’eau que dans l’air. Il en résulte un rayon de lumière qui se réfracte au moment où celle-ci entre dans l’eau. Pourquoi ? Vous pouvez penser à cela de nombreuses façons, mais une très intéressante consiste à utiliser le principe de Fermat. Nous en avons parlé en détail dans la vidéo sur la brachistochrone. Mais en un mot, on y dit que si la lumière passe d’un point à un autre, elle le fera toujours de la manière la plus rapide possible.

Considérons un point 𝐴 dans sa trajectoire dans l’air et un point 𝐵 sur sa trajectoire dans l’eau. Tout d’abord, vous pourriez penser que la droite entre eux est le chemin le plus rapide. Strogatz : Le seul problème avec cette stratégie, même si c’est le chemin le plus court, c’est que vous passez peut-être trop de temps dans l’eau. Sanderson : La lumière est plus lente dans l’eau, donc le chemin peut devenir plus rapide si nous changeons les choses pour favoriser le temps passé dans l’air. Vous pouvez même essayer de minimiser le temps passé dans l’eau en le déplaçant complètement vers la droite. Strogatz : Cependant, ce n’est pas non plus la meilleure chose à faire. Sanderson : Comme pour le problème de la brachistochrone, nous essayons d’équilibrer ces deux facteurs concurrents. Strogatz : C’est un problème que vous pouvez écrire avec la géométrie. Sanderson : Et s’il s’agissait d’une classe d’analyse, nous définirions l’équation appropriée avec une seule variable 𝑥, et trouverions le point où sa dérivée vaut zéro.

Mais nous avons quelque chose de mieux que l’analyse : une solution par Mark Levi. Il a constaté que l’optique n’est pas la seule occasion où la nature recherche un minimum. Elle le fait aussi avec l’énergie. Toute configuration mécanique se stabilisera lorsque l’énergie potentielle est minimale.

Alors, pour ce problème de « lumière dans un milieu », il imagine mettre une barre sur le bord entre l’air et l’eau, et de placer sur la barre un anneau qui glisse librement vers la gauche et vers la droite. Maintenant, attachez un ressort du point 𝐴 à l’anneau, et un deuxième ressort entre l’anneau et le point 𝐵. Vous pouvez penser à la disposition des ressorts comme un trajet potentiel que la lumière pourrait faire entre 𝐴 et 𝐵. Pour régler les choses de manière à ce que l’énergie potentielle dans les ressorts soit égale au temps que la lumière prendrait sur ce trajet, il vous suffit de vous assurer que chaque ressort a une tension constante, qui est inversement proportionnelle à la vitesse de la lumière dans son milieu.

Sanderson : Le seul problème, c’est que les ressorts avec une tension constante n’existent pas. Strogatz : C’est vrai ; ce sont des ressorts non physiques, mais l’aspect du système qui veut minimiser son énergie totale existe toujours. Ce principe physique sera valable même si ces ressorts n’existent pas dans le monde tel que nous le connaissons. Sanderson : La raison pour laquelle les ressorts rendent le problème plus simple est que nous pouvons trouver l’état stable simplement en équilibrant les forces. La composante gauche de la force dans le ressort supérieur doit s’annuler avec la composante droite dans la force du ressort inférieur. Dans ce cas, la composante horizontale de chaque ressort correspond uniquement à la force totale multipliée par le sinus de l’angle formé par ce ressort avec la verticale. Strogatz : C’est de là que découle ce qu’on appelle « lois de Snell-Descartes », que beaucoup d’entre nous avons apprise lors de notre premier cours de physique.

Sanderson : Les lois de Snell-Descartes disposent que le sinus de 𝜃 divisé par la vitesse de la lumière reste constant lorsque la lumière se déplace d’un milieu à l’autre, où 𝜃 est l’angle que forme ce rayon de lumière avec une droite perpendiculaire à l’interface entre les deux milieux. Alors voilà ! Aucun besoin d’analyse.

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