Transcription de la vidéo
Dans ma vidéo avec Steven Strogatz sur la brachistochrone, nous avons
fait référence à ce qu’on appelle « lois de Snell-Descartes ». C’est le principe de la physique qui explique comment la lumière se
réfracte lorsqu’elle passe d’un milieu à un autre, alors que sa
vitesse change. Nous en avons parlé en détail lors de notre conversation, mais c’était un
peu trop détaillé. Alors j’ai fini par le supprimer de la vidéo. Ce que je veux faire ici, c’est simplement vous montrer une version
condensée de cela, car on y fait référence à un argument assez
intelligent de Mark Levi, et donne également cette impression
d’achèvement à la solution de brachistochrone dans son ensemble.
Pensez à ce qui se passe lorsque la lumière passe de l’air dans
l’eau. La vitesse de la lumière est un peu plus lente dans l’eau que dans
l’air. Il en résulte un rayon de lumière qui se réfracte au moment où celle-ci
entre dans l’eau. Pourquoi ? Vous pouvez penser à cela de nombreuses façons, mais une très
intéressante consiste à utiliser le principe de Fermat. Nous en avons parlé en détail dans la vidéo sur la brachistochrone. Mais en un mot, on y dit que si la lumière passe d’un point à un autre,
elle le fera toujours de la manière la plus rapide possible.
Considérons un point 𝐴 dans sa trajectoire dans l’air et un point 𝐵 sur
sa trajectoire dans l’eau. Tout d’abord, vous pourriez penser que la droite entre eux est le chemin
le plus rapide. Strogatz : Le seul problème avec cette stratégie, même si c’est le chemin
le plus court, c’est que vous passez peut-être trop de temps dans
l’eau. Sanderson : La lumière est plus lente dans l’eau, donc le chemin peut
devenir plus rapide si nous changeons les choses pour favoriser le
temps passé dans l’air. Vous pouvez même essayer de minimiser le temps passé dans l’eau en le
déplaçant complètement vers la droite. Strogatz : Cependant, ce n’est pas non plus la meilleure chose à
faire. Sanderson : Comme pour le problème de la brachistochrone, nous essayons
d’équilibrer ces deux facteurs concurrents. Strogatz : C’est un problème que vous pouvez écrire avec la
géométrie. Sanderson : Et s’il s’agissait d’une classe d’analyse, nous définirions
l’équation appropriée avec une seule variable 𝑥, et trouverions le
point où sa dérivée vaut zéro.
Mais nous avons quelque chose de mieux que l’analyse : une solution par
Mark Levi. Il a constaté que l’optique n’est pas la seule occasion où la nature
recherche un minimum. Elle le fait aussi avec l’énergie. Toute configuration mécanique se stabilisera lorsque l’énergie
potentielle est minimale.
Alors, pour ce problème de « lumière dans un milieu », il imagine mettre
une barre sur le bord entre l’air et l’eau, et de placer sur la
barre un anneau qui glisse librement vers la gauche et vers la
droite. Maintenant, attachez un ressort du point 𝐴 à l’anneau, et un deuxième
ressort entre l’anneau et le point 𝐵. Vous pouvez penser à la disposition des ressorts comme un trajet
potentiel que la lumière pourrait faire entre 𝐴 et 𝐵. Pour régler les choses de manière à ce que l’énergie potentielle dans les
ressorts soit égale au temps que la lumière prendrait sur ce trajet,
il vous suffit de vous assurer que chaque ressort a une tension
constante, qui est inversement proportionnelle à la vitesse de la
lumière dans son milieu.
Sanderson : Le seul problème, c’est que les ressorts avec une tension
constante n’existent pas. Strogatz : C’est vrai ; ce sont des ressorts non physiques, mais l’aspect
du système qui veut minimiser son énergie totale existe
toujours. Ce principe physique sera valable même si ces ressorts n’existent pas
dans le monde tel que nous le connaissons. Sanderson : La raison pour laquelle les ressorts rendent le problème plus
simple est que nous pouvons trouver l’état stable simplement en
équilibrant les forces. La composante gauche de la force dans le ressort supérieur doit s’annuler
avec la composante droite dans la force du ressort inférieur. Dans ce cas, la composante horizontale de chaque ressort correspond
uniquement à la force totale multipliée par le sinus de l’angle
formé par ce ressort avec la verticale. Strogatz : C’est de là que découle ce qu’on appelle « lois de
Snell-Descartes », que beaucoup d’entre nous avons apprise lors de
notre premier cours de physique.
Sanderson : Les lois de Snell-Descartes disposent que le sinus de 𝜃
divisé par la vitesse de la lumière reste constant lorsque la
lumière se déplace d’un milieu à l’autre, où 𝜃 est l’angle que
forme ce rayon de lumière avec une droite perpendiculaire à
l’interface entre les deux milieux. Alors voilà ! Aucun besoin d’analyse.