Vidéo : Aire entre les courbes

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à appliquer l’intégration pour déterminer l’aire délimitée par les courbes de deux fonctions ou plus.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à appliquer l’intégration pour déterminer l’aire délimitée par les courbes de deux fonctions ou plus. À ce stade, vous devez être à l’aise pour appliquer des processus d’intégration afin d’évaluer des intégrales définies et indéfinies. Nous allons maintenant voir comment l’intégration peut nous aider à déterminer l’aire des régions situées entre les courbes de deux fonctions ou plus.

Considérons la région qui se trouve entre la courbe d’équation 𝑦 est égale à 𝑓 de 𝑥 et l’axe des 𝑥 qui est délimitée par les droite verticales 𝑥 est égal à 𝑎 et 𝑥 est égal à 𝑏. J’ai colorié cette région en rose. Si 𝑓 est une fonction continue, nous savons que nous pouvons évaluer l’aire de cette région en intégrant la fonction 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 entre les bornes 𝑎 et 𝑏.

Ajoutons maintenant une autre courbe à notre figure. Cette fois, la courbe a pour équation 𝑦 est égal à 𝑔 de 𝑥, où 𝑔 est continue et 𝑔 de 𝑥 est inférieure ou égale à 𝑓 de 𝑥 dans l’intervalle fermé 𝑎 à 𝑏. Encore une fois, nous pouvons déterminer l’aire de la région entre la courbe 𝑦 égale 𝑔 de 𝑥 et l’axe des 𝑥 et ces deux droites verticales, maintenant j’ai coloré cette région en jaune, en évaluant l’intégrale de 𝑔 de 𝑥 entre les bornes 𝑎 et 𝑏.

Nous pouvons maintenant voir que si nous soustrayons l’aire située entre la courbe 𝑔 de 𝑥 et l’axe des 𝑥 de l’aire située entre la courbe de 𝑓 de 𝑥 et l’axe des 𝑥, que nous allons à gauche avec cette région 𝐴 trois. Ceci est la région entre les deux courbes 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 et 𝑦 est égal à 𝑔 de 𝑥. Nous pouvons donc dire que l’aire 𝐴 trois de la région délimitée par 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 et 𝑦 est égal à 𝑔 de 𝑥 est l’intégrale de 𝑓 de 𝑥 évaluée entre 𝑎 et 𝑏 moins l’intégrale de 𝑔 de 𝑥 évaluée entre 𝑎 et 𝑏.

Mais nous savons aussi que la somme ou la différence de l’intégrale de deux fonctions est égale à l’intégrale de la somme ou de la différence de ces fonctions. Donc, on peut dire que l’aire est égale à l’intégrale de 𝑓 de 𝑥 moins 𝑔 de 𝑥 par rapport à 𝑥 évaluée entre 𝑥 est égal à 𝑎 et 𝑥 est égal à 𝑏. Cela nous amène à notre première définition. L’aire 𝐴 de la région délimitée par les courbes 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑥 et 𝑦 est égal à 𝑔 de 𝑥, et les droite 𝑥 est égal à 𝑎 et 𝑥 est égal à 𝑏, où 𝑓 et 𝑔 sont continues et 𝑓 de 𝑥 est supérieure ou égale à 𝑔 de 𝑥 dans l’intervalle fermé 𝑎 à 𝑏, est l’intégrale définie de 𝑓 de 𝑥 moins 𝑔 de 𝑥 évaluée entre les bornes 𝑎 et 𝑏.

Remarquez ici que 𝑓 de 𝑥 est supérieure ou égale à 𝑔 de 𝑥 pour tout 𝑥 entre et y compris 𝑎 et 𝑏. Nous devrons surveiller de près les situations dans lesquelles ce n’est pas le cas et appliquer une logique supplémentaire. Pour l’instant cependant, nous examinerons l’application de cette formule.

Déterminez l’aire de la région délimitée par les courbes 𝑦 est égale à trois 𝑥 carré moins cinq 𝑥 et 𝑦 est égal à moins cinq 𝑥 au carré.

Nous rappelons que l’aire de la région délimitée par les courbes 𝑦 égal à 𝑓 de 𝑥, 𝑦 égale 𝑔 de 𝑥, et les droite 𝑥 égal à 𝑎 et 𝑥 égal à 𝑏 pour les fonctions continues 𝑓 et 𝑔, de sorte que 𝑓 de 𝑥 est supérieure ou égale à 𝑔 de 𝑥 pour tous les 𝑥 dans l’intervalle fermé 𝑎 à 𝑏, est l’intégrale définie entre les bornes 𝑎 et 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 moins 𝑔 de 𝑥. Nous allons donc avoir besoin de définir les fonctions 𝑓 de 𝑥 et 𝑔 de 𝑥 vraiment avec soin et, bien sûr, les valeurs 𝑎 et 𝑏, veiller à ce que 𝑓 de 𝑥 est supérieure à 𝑔 de 𝑥 dans l’intervalle fermé 𝑎 à 𝑏.

Les droites 𝑥 égal à 𝑎 et 𝑥 égal à 𝑏 marquera le début et la fin de la région qui nous intéresse. Alors, quelles sont les équations de ces droites ? Ce sont les coordonnées 𝑥 aux points d’intersection des deux courbes. Ainsi, nous pouvons définir les équations trois 𝑥 au carré moins cinq 𝑥 et moins cinq 𝑥 au carré égales entre elles et résoudre en 𝑥.

Nous commençons par l’ajout de cinq 𝑥 au carré des deux côtés. Et ensuite, nous factorisons l’expression à gauche en éliminant ce facteur 𝑥. Et nous obtenons 𝑥 fois huit 𝑥 moins cinq égal à zéro. Nous savons que pour que cette affirmation soit vraie, soit 𝑥 lui-même doit être égal à zéro ou huit 𝑥 moins cinq doit être égal à zéro. Pour résoudre cette équation à droite, nous en ajoutons cinq, puis nous divisons par huit. Et nous obtenons que 𝑥 est égal à cinq huitièmes.

Ainsi, nous pouvons voir que la coordonnée 𝑥 des points d’intersection de nos deux courbes sont zéro et cinq huitièmes. Ainsi, 𝑎 est égal à zéro et 𝑏 est égale à cinq huitièmes. Maintenant, nous allons devoir décider quelle fonction est 𝑓 de 𝑥 et quelle fonction est 𝑔 de 𝑥. Ce que nous faisons est la prochaine esquisse des courbes de 𝑦 est égal à trois 𝑥 carré moins cinq 𝑥 et 𝑦 égal à moins cinq 𝑥 au carré. Nous cherchons à déterminer laquelle des courbes est essentiellement en haut.

Nous savons que la courbe de 𝑦 est égal à trois 𝑥 carré moins cinq 𝑥 est une parabole en forme de U. On peut même tenir compte de l’expression trois 𝑥 carré moins cinq 𝑥, posons cela égal à zéro, et pour résoudre en 𝑥. Et nous voyons qu’elle passe par l’axe des 𝑥 en zéro et en cinq tiers. Donc, ça va ressembler un peu à ça. La courbe de 𝑦 est égal à moins cinq 𝑥 au carré est une parabole inversée qui passe par l’origine comme ceci. Et ainsi, nous obtenons la région colorée.

Nous pouvons maintenant voir que dans l’intervalle fermé de zéro à cinq huitièmes, la fonction qui est au-dessus, si vous voulez, est la fonction définie par 𝑦 est égal à moins cinq 𝑥 au carré. Donc, on peut dire que 𝑓 de 𝑥 est égale à moins cinq 𝑥 au carré. C’est-à-dire, 𝑔 de 𝑥 est trois 𝑥 carré moins cinq 𝑥. L’aire qui nous intéresse doit donc être donnée par l’intégrale évaluée entre zéro et cinq huitièmes de moins cinq 𝑥 carré moins trois 𝑥 carré moins cinq 𝑥 par rapport à 𝑥.

En distribuant les parenthèses, notre intégrande devient moins huit 𝑥 au carré plus cinq 𝑥. Mais attendez un instant, nous savons que lorsque nous évaluons les zones situées sous l’axe des 𝑥, nous obtenons un résultat amusant. Nous obtenons une valeur négative. Vous voudrez peut-être mettre la vidéo en pause pendant un moment et réfléchir à ce que cela signifie dans cet exemple. Avez-vous travaillé dessus ? Nous pouvons voir que toute notre région se situe au-dessous de l’axe des 𝑥 et nous ne faisons que déterminer la différence entre les aires. Ainsi, les résultats négatifs que nous obtiendrions en intégrant chaque fonction individuellement s’annuleront tout simplement. Il ne reste donc qu’à évaluer cette intégrale.

L’intégrale de moins 8𝑥 carré est moins 8𝑥 au cube sur trois. Et l’intégrale de cinq 𝑥 est cinq 𝑥 au carré sur deux. Nous devons évaluer cette valeur entre zéro et cinq huitièmes, soit moins huit tiers sur cinq huitièmes plus cinq au carré sur deux fois cinq huitièmes au carré moins zéro. C’est 125 sur 384 unités carrées. Cette question était assez simple car la courbe de 𝑦 est égale à moins cinq 𝑥 carré est supérieure ou égale à la courbe de 𝑦 est égale à trois 𝑥 moins cinq 𝑥 dans l’intervalle qui nous intéresse.

Voyons maintenant ce que nous pourrions faire si ce n’était pas le cas.

Les courbes sont 𝑦 égal à un sur 𝑥 et 𝑦 est égal à un sur 𝑥 carré. Quelle est l’aire de la région colorée ? Donnez une réponse exacte.

Rappelez-vous, l’aire d’une région délimitée par les courbes 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑥, 𝑦 est égal à 𝑔 de 𝑥, et les droites 𝑥 est égal à 𝑎 et 𝑥 est égal à 𝑏 pour des fonctions continues 𝑓 de 𝑔, lorsque 𝑓 de 𝑥 est supérieure ou égale à 𝑔 de 𝑥 pour 𝑥 dans l’intervalle fermé 𝑎 à 𝑏, est donnée par l’intégrale définie évaluée entre 𝑎 et 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 moins 𝑔 de 𝑥.

Maintenant, nous avons un petit problème ici. Nous pouvons voir très clairement que la région est délimitée par les droite verticales 𝑥 est égal à 0.5 et 𝑥 est égal à deux. Mais dans l’intervalle fermé 𝑥 de 0.5 à deux, nous pouvons voir que l’une de nos fonctions n’est pas toujours supérieure ou égale à l’autre. Nous ne pouvons donc pas appliquer cette définition. Nous pouvons toutefois constater que si nous divisons un peu plus notre région, nous répondons à cette exigence. J’ai ajouté une troisième droite à l’intersection des deux courbes. Cela a l’équation 𝑥 égale à un.

Dans l’intervalle fermé 0.5 à 1, les valeurs de la droite rouge sont toujours supérieures ou égales à celles de la droite verte. Et dans l’intervalle fermé 𝑥 entre un et deux, l’inverse est vrai. Nous ne faisons donc que diviser notre région, puis ajouter les valeurs à la fin. Trouvons la région de notre première région, 𝑅 un. Pour ce faire, nous allons devoir vérifier quelle droite est laquelle. Nous pouvons probablement en déduire que la droite rouge a plus de chances d’être un sur 𝑥 carré. Mais choisissons une paire de coordonnées et substituons ces valeurs simplement par sécurité.

Nous pouvons voir que la courbe passe par le point avec les coordonnées 0.5, 4. Ainsi, substituons 𝑥 est égal à 0.5 dans l’équation 𝑦 est égal à un sur 𝑥 carré. Lorsque nous le faisons, nous obtenons 𝑦 égal à un supérieur à 0.5 carré, ce qui correspond à un supérieur à 0.25, ce qui correspond à quatre selon les besoins. Ainsi, la droite rouge a l’équation 𝑦 égale un sur 𝑥 carré et la droite verte a l’équation 𝑦 est égale à un sur 𝑥. Et lors de l’évaluation de l’aire de 𝑅 un, 𝑓 de 𝑥 est donc l’un sur 𝑥 carré et 𝑔 de 𝑥 est égal à un sur 𝑥.

L’aire est donc donnée par l’intégrale définie entre les bornes 0.5 et un sur une 𝑥 cadré moins sur 𝑥. Donc, tout ce qui reste ici est d’évaluer cette intégrale. Ceci est beaucoup plus facile à faire si nous réécrivons un sur 𝑥 carré au 𝑥 en puissance moins deux puis rappelons quelques résultats standard. Pour intégrer 𝑥 à la puissance moins deux, on ajoute un à l’exposant et on divise ensuite par ce nouveau nombre. Cela nous donne 𝑥 à la puissance d’moins un sur moins un, ce qui est moins un sur 𝑥. L’intégrale de un sur 𝑥, cependant, est le logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑥. Ainsi, notre intégrale est moins un sur 𝑥 moins le logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑥.

Nous allons maintenant évaluer ceci entre 𝑥 égal à 0.5 et 𝑥 égal à un. C’est moins un sur un moins le logarithme naturel de un moins moins un sur 0.5 moins le logarithme naturel de 0.5. Et remarquez que j’ai perdu le symbole de la valeur absolue car 1 et 0.5 sont déjà positifs. Le log naturel de zéro est un. Moins un sur un est moins un. Et moins un sur 0.5 est deux. J’ai également réécrit le log naturel de 0.5 comme log naturel d’un demi et distribué les parenthèses. Et cela se simplifie en un plus le log naturel de un demi.

Une compétence très importante, cependant, consiste à savoir quand on peut simplifier davantage un terme logarithmique. Si nous réécrivons le log naturel de un demi comme log naturel de deux à la puissance moins un. Et puis, utilisez le fait que le logarithme naturel de 𝑎 à la 𝑏 e puissance est égale à 𝑏 fois le logarithme naturel de 𝑎. Nous voyons que l’aire exacte de la première région 𝑅 un est un moins le logarithme naturel de deux.

Libérons de l’espace et répétons ce processus pour la région deux. Cette fois-ci, la droite verte est au-dessus de la droite rouge, donc Nous allons poser 𝑓 de 𝑥 égale à un sur 𝑥 et 𝑔 de 𝑥 égale à un sur 𝑥 carré. Notre région est l’intégrale définie entre un et deux de un sur 𝑥 moins un sur 𝑥 carré qui, lorsque nous intégrons, nous donne le logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑥 plus un sur 𝑥. En évaluant entre les bornes un et deux, nous obtenons le logarithme naturel de deux plus un demi moins le logarithme naturel de un plus un, qui est égal au logarithme naturel de deux moins un demi.

Nous voulons déterminer l’aire de la région entière, alors nous ajoutons ces deux valeurs. C’est un moins le logarithme naturel de deux plus le logarithme naturel de deux moins un demi, ce qui simplifie en un demi. L’aire colorée est une demi-unité carrée. Dans cet exemple, nous avons vu que la formule d’aire peut être appliquée pour déterminer l’aire entre deux courbes où une courbe est supérieure à l’autre pour une partie de l’intervalle d’intégration et l’inverse pour la seconde partie de l’intervalle, tant que nous nous souvenons de diviser la région au point d’intersection des courbes.

Nous verrons maintenant comment développer cette formule pour nous aider à déterminer la région délimitée par trois courbes.

Déterminer l’aire de la région délimitée par les courbes 𝑦 est égale à quatre moins 𝑥 carré, 𝑦 égal négatifs 𝑥 et 𝑦 est égale à la racine carrée de 𝑥. Donnez votre réponse correcte à une décimale.

Rappelez-vous, des fonctions continues 𝑓 et 𝑔, l’aire de la région délimitée par les courbes 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑥, 𝑦 est égal à 𝑔 de 𝑥, et les droites 𝑥 est égal à 𝑎 et 𝑥 est égal à 𝑏, aussi longtemps que 𝑓 de 𝑥 est supérieur à ou égal à 𝑔 de 𝑥 dans l’intervalle fermé 𝑎 à 𝑏, est donnée par l’intégrale évaluée entre 𝑎 et 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 moins 𝑔 de 𝑥. Nous devrons faire un peu attention ici car nous avons trois courbes. Commençons donc par dessiner ceci et voyons à quoi nous avons affaire.

L’aire délimitée par les trois courbes ressemble un peu à ceci. Maintenant, si nous sommes vraiment intelligents, nous pouvons utiliser la définition que nous avons précédemment recherchée. Nous pouvons diviser cette région dans la région au-dessus de l’axe des 𝑥 et la région au-dessous de l’axe des 𝑥. Nous pouvons ensuite diviser cela un peu plus loin. Nous voyons que nous avons 𝑅 un, qui est la région entre l’axe des 𝑥 et la courbe 𝑦 est égale à la racine 𝑥 entre 𝑥 est égal à zéro et 𝑥 est égal à 𝑏. Où 𝑏 est la coordonnée 𝑥 au point d’intersection de la courbe 𝑦 est égale à la racine 𝑥 et 𝑦 est égal à quatre moins 𝑥 carré.

Nous avons alors 𝑅 deux. C’est la région entre 𝑦 est égal à quatre moins 𝑥 carré, 𝑥 est égal à 𝑏 et 𝑥 est égal à deux. Et la raison pour laquelle nous avons choisi 𝑥 est égal à deux comme notre limite supérieure est c’est la valeur de 𝑥 au point où la courbe traverse l’axe des 𝑥. Nous pouvons même diviser nos trois régions en deux régions supplémentaires pour nous faciliter la vie. Mais parlons d’abord des domaines 𝑅 un et 𝑅 deux. Nous devons travailler sur la valeur de 𝑏.

Nous avons dit que c’est la coordonnée 𝑥 au point d’intersection des deux courbes quatre moins 𝑥 au carré et la racine 𝑥. Donc, nous avons mis ces égal à entre eux et résoudre en 𝑥. Cela nous donne une valeur 𝑥 de 1.648, correcte à trois décimales. Ainsi, 𝑏 est égal à 1.648. Nous pouvons le faire à la main ou utiliser nos calculatrices graphiques pour évaluer chacune de ces intégrales. L’aire de 𝑅 devient 1.4104 et ainsi de suite. Et l’aire de 𝑅 deux est 0.23326 et ainsi de suite.

Considérons maintenant l’aire de 𝑅 trois. Il est l’intégrale de zéro à moins deux de 𝑥 évaluée par rapport à 𝑥. Nous devons être un peu prudents ici, car cela est inférieur à l’axe des 𝑥 et donnera donc un résultat négatif sur l’intégration. En fait, cela nous donne deux points négatifs. Donc, nous pouvons dire que l’aire est la valeur absolue de cela. Il est deux. Et remarquez, nous aurions pu utiliser la formule de l’aire d’un triangle pour résoudre cette aire.

Or, l’aire de 𝑅 quatre est l’intégrale définie entre deux et 𝑐 de quatre moins 𝑥 carré moins moins 𝑥. Et ici, 𝑐 est la coordonnée 𝑥 du point d’intersection des droites 𝑦 égal moins 𝑥 et 𝑦 est égal à quatre moins 𝑥 carré. On peut régler à nouveau une fois quatre moins 𝑥 carré égal à moins 𝑥 et résoudre en 𝑥. Et nous trouvons, à trois décimales près, qu’elles se croisent au point où est 𝑥 égal à 2.562. Nous tapons cela dans notre calculatrice et nous trouvons que l’aire de cette région est 0.59106. Nous trouvons le total de ces quatre valeurs, ce qui nous donne 4.2347, soit 4.2 unités carrées, au dixième près.

Dans cette vidéo, nous avons vu que nous pouvons utiliser l’aire de formule est égale à l’intégrale définie entre 𝑎 et 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 moins 𝑔 de 𝑥 par rapport à 𝑥 pour les fonctions continues, 𝑓 et 𝑔 tant que 𝑓 de 𝑥 est supérieure ou égale à 𝑔 pour tous 𝑥 dans l’intervalle fermé 𝑎 à 𝑏. Nous avons également vu que, pour plusieurs régions complexes telles que celles délimitées par trois ou plusieurs courbes, celles qui concernent les régions ci-dessus et en dessous de l’axe des 𝑥, ou ceux où 𝑓 de 𝑥 et 𝑔 de 𝑥 passer, nous pourrions avoir besoin de diviser cette région en un peu plus loin.

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