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Vidéo de question : Évaluation du déterminant du troisième ordre d’une matrice Mathématiques

Calculez le déterminant de la matrice [1, 2, 3 et 3, 2, 2 et 0, 9, 8].

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Transcription de vidéo

Calculez le déterminant de la matrice un, deux, trois ; trois, deux, deux ; zéro, neuf, huit.

Donc, dans ce problème, ce qu’on nous demande de faire, c’est de trouver le déterminant d’une matrice trois fois trois. Maintenant, pour trouver le déterminant d’une matrice trois fois trois, nous avons une règle générale. Donc, si nous regardons ici, nous avons notre matrice trois fois trois 𝑎, 𝑏, 𝑐 ; 𝑑, 𝑒, 𝑓; 𝑔, ℎ, 𝑖. Donc, ces lignes verticales nous disent que nous examinons le déterminant. Ceux-ci signifient le déterminant de la matrice 𝑎, 𝑏, 𝑐 ; 𝑑, 𝑒, 𝑓 ; 𝑔, ℎ, 𝑖.

Et pour trouver le déterminant, il est égal à 𝑎 - c’est parce que c’est le premier terme de la première ligne - multiplié par le déterminant de la sous-matrice qui se forme lorsque nous supprimons la ligne et la colonne dans lesquelles 𝑎 se trouve. Ce serait donc la sous-matrice 𝑒, 𝑓, ℎ, 𝑖, donc 𝑎 multiplié par le terme dans cette sous-matrice. Puis moins 𝑏. Et c’est parce que nous avons un motif avec nos coefficients. Nous choisissons donc chacun des premiers termes de la première ligne. Mais ils suivent le motif positif, négatif, positif.

Donc, comme je l’ai dit, c’est moins 𝑏 multiplié par la sous-matrice deux fois deux formée si vous supprimez la colonne et la ligne dans lesquelles 𝑏 se trouve. Plus 𝑐 multiplié par la sous-matrice deux fois deux, son déterminant, qui est 𝑑, 𝑒, 𝑔, ℎ. Donc, super, maintenant nous savons comment y arriver. Continuons et travaillons sur le déterminant de notre matrice.

Nous pouvons donc dire, en utilisant notre règle, que le déterminant de la matrice un, deux, trois ; trois, deux, deux ; zéro, neuf, huit peut être calculé comme un multiplié par le déterminant de la sous-matrice deux fois deux : deux, deux, neuf, huit moins deux multiplié par le déterminant de la sous-matrice deux fois deux : trois, deux, zéro, huit plus trois multiplié par le déterminant de la sous-matrice trois, deux, zéro, neuf. Et je vais juste regarder la troisième section pour nous rappeler comment nous avons trouvé cela.

Nous avons donc choisi le trois parce que c’est le troisième terme de la rangée du haut. Et c’est positif parce que notre modèle dit que la première colonne est positive, la deuxième colonne est négative, la troisième colonne est positive, et cetera. Et nous avons trouvé la sous-matrice trois, deux, zéro, neuf en supprimant la ligne et la colonne dans lesquelles se trouvait le trois. Et puis il nous en restait trois, deux, zéro, neuf.

D’accord, super. Alors maintenant, découvrons la valeur de cela. Donc, pour calculer la valeur de notre déterminant dans une matrice trois fois trois, nous allons devoir trouver les déterminants de nos sous-matrices deux fois deux. Pour ce faire, nous utilisons cette règle générale. Si nous avons le déterminant de la matrice 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, cela est égal à 𝑎 multiplié par 𝑑 moins 𝑏 multiplié par 𝑐. Nous allons donc utiliser ceci pour trouver la valeur du déterminant de notre matrice trois fois trois.

Donc, tout d’abord, nous allons avoir un multiplié par. Ensuite, nous avons deux multiplié par huit - c’est parce que c’est notre 𝑎 et notre 𝑑 - moins deux multiplié par neuf, notre 𝑏 et notre 𝑐. Et puis nous allons avoir moins deux multiplié par trois multiplié par huit moins deux multiplié par zéro, puis enfin plus trois multiplié par trois multiplié par neuf moins deux multiplié par zéro.

D’accord, super. Nous disposons donc maintenant d’une forme grâce à laquelle nous pouvons maintenant simplement continuer et calculer la valeur de notre déterminant. Donc, ça va nous donner moins deux. Et c’est parce que deux multiplié par huit est 16, 16 moins 18, parce que deux multiplié par neuf vaut 18, nous donne moins deux. Et cela multiplié par un est juste moins deux. Donc, c’est moins deux moins 48 plus 81, ce qui équivaut à 31. Donc, nous pouvons dire que le déterminant de la matrice un, deux, trois ; trois, deux, deux ; zéro, neuf, huit est égal à 31.

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