Vidéo question :: Résoudre des équations du second degré sous la forme d’une somme de carrés Mathématiques

Transcription de la vidéo

Calculez les racines de l’équation du second degré 𝑥 plus quatre le tout au carré plus huit égal zéro.

Bien, nous avons notre équation du second degré, qui est 𝑥 plus quatre au carré plus huit égal zéro. Eh bien, nous pourrions être tentés ici de développer les parenthèses, mais en fait, c’est beaucoup plus simple que cela. Voyons, si nous soustrayons huit à chaque membre de l’équation, ce que nous allons obtenir c’est 𝑥 plus quatre le tout au carré est égal à moins huit. D’accord, alors maintenant, ce que nous pouvons faire c’est prendre la racine carrée des deux membres de notre équation. Et en faisant cela, nous obtiendrons 𝑥 plus quatre égal plus ou moins la racine carrée de moins huit.

Maintenant, c’est à ce stade que nous pourrions penser, bon, attendez, il n’y a pas de solutions. Parce que si nous regardons la racine carrée, nous avons la racine carrée d’un nombre négatif. Cependant, il y a des racines si nous considérons des racines complexes. Regardons donc la racine de moins huit. Eh bien, si nous appliquons nos règles sur les racines, nous pouvons réécrire la racine de moins huit comme la racine de huit multipliée par la racine de moins un. Et ce que nous savons, c’est que la racine de moins un est égale au nombre imaginaire 𝑖. Nous pouvons donc réécrire notre racine de moins huit comme étant la racine de huit 𝑖.

Cependant, comme nous avons la racine de huit, nous savons que nous pouvons simplifier un peu plus. Et c’est parce que nous pouvons écrire la racine de huit comme étant racine de quatre racine de deux. Nous avons donc racine de quatre racine de deux 𝑖. Nous pouvons donc réécrire la racine de moins huit comme deux racine de deux 𝑖. Bon, remettons cela dans notre équation. Lorsque nous le faisons, ce que nous obtenons c’est 𝑥 plus quatre égal plus ou moins deux racine de deux 𝑖. Donc, si nous soustrayons quatre à chaque membre de l’équation, nous obtenons que 𝑥 est égal à moins quatre plus ou moins deux racine de deux 𝑖.

Nous pouvons donc dire que les racines complexes de l’équation du second degré 𝑥 plus quatre le tout au carré plus huit égal zéro sont moins quatre moins deux racine de deux 𝑖 et moins quatre plus deux racine de deux 𝑖.