Vidéo : Résolution d’équations du second degré avec des coefficients complexes

Dans cette vidéo, nous apprendrons comment résoudre des équations du second degré avec des coefficients complexes en utilisant la formule du discriminant.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons voir comment résoudre des équations du second degré avec des coefficients complexes. Alors, comment résoudre quelque chose de la forme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 est égal à zéro, où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 peuvent être des nombres complexes ?

Rappelons que le discriminant d’une équation du second degré 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 est égal à zéro est 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐. Le discriminant est souvent désigné par le capital Δ. Pour une équation du second degré à coefficients réels, le discriminant permet de déterminer la nature de ses racines.

Il y a trois possibilités. Si le discriminant est positif, alors nous avons deux racines réelles. Si c’est zéro, alors nous avons une racine réelle double. Et si c’est négatif, alors nous avons une paire conjuguée complexe de racines complexes. Mais cela n’est vrai que si l’équation du second degré a des coefficients réels, c’est-à-dire si 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont tous des nombres réels.

Nous allons voir ce que nous pouvons dire si 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des nombres complexes. Mais d’abord, voyons comment résoudre une équation du second degré avec des coefficients complexes. Nous avons le familier 𝑎𝑧 au carré plus 𝑏𝑧 plus 𝑐 est égal à zéro. Mais ce qui est nouveau, c’est que les coefficients 𝑎, 𝑏 et 𝑐 peuvent être des nombres complexes.

Maintenant, si 𝑎, 𝑏 et 𝑐 étaient réels, nous pourrions simplement appliquer la formule du discriminant. Mais il n’est peut-être pas évident que cette formule du discriminant s’applique toujours lorsque 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des nombres complexes. Redéfinissons donc la formule du discriminant en complétant le carré, en vérifiant que chaque étape que nous utilisons est toujours valide lorsque 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des nombres complexes et pas seulement des nombres réels.

On peut diviser les deux côtés par 𝑎 pour faire le coefficient de 𝑧 au carré. Et maintenant, nous voulons compléter le carré, en écrivant 𝑧 au carré plus 𝑏 sur 𝑎𝑧 comme un seul carré. Nous obtenons 𝑧 plus quelque chose au carré. Et ce quelque chose est la moitié du coefficient de 𝑧, donc la moitié de 𝑏 de 𝑎, qui est 𝑏 sur deux 𝑎. Et si nous distribuons, nous voyons que nous obtenons effectivement 𝑧 au carré plus 𝑏 sur 𝑎𝑧. Mais nous obtenons également un terme de 𝑏 au carré sur quatre 𝑎 au carré. Nous devons soustraire ce terme pour obtenir 𝑧 au carré plus 𝑏 sur 𝑎𝑧. Nous rendons alors cette substitution sûre en sachant que toute la réponse que nous avons faite est aussi vraie pour les nombres complexes que pour les nombres réels.

Maintenant, nous pouvons soustraire les termes constants des deux côtés. Et nous pouvons combiner les deux fractions sur le côté droit, obtenant 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 sur quatre 𝑎 au carré. Vient maintenant une partie délicate, nous devons prendre des racines carrées. Il s’avère que la réponse est ce que nous attendons de notre expérience avec des nombres réels. Nous pouvons vérifier en quadrillant la dernière droite et en observant que nous obtenons la droite au-dessus. Et selon le théorème fondamental de l’algèbre, il ne peut y avoir aucune solution que nous ayons manquée. Nous avons un polynôme de degré deux et nous nous attendons donc à deux racines. Et ces deux racines sont données par les options plus et moins sur le côté droit. Il ne peut plus y avoir d’options.

Il ne reste plus qu’à soustraire 𝑏 plus de deux 𝑎 des deux côtés. Et puis nous obtenons la formule du discriminant que nous connaissons et aimons. 𝑧 est égal à moins 𝑏 racine plus ou moins 𝑏 carré moins quatre 𝑎𝑐 sur deux 𝑎. Voyons quelques exemples d’application de cette formule.

Résolvez trois 𝑧 au carré plus cinq 𝑖𝑧 moins deux est égal à zéro.

Nous résolvons cela en utilisant la formule du discriminant. La formule nous dit que l’équation du second degré 𝑎𝑧 au carré plus 𝑏𝑧 plus 𝑐 est égale à zéro a la solution 𝑧 est moins 𝑏 plus ou moins la racine 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 sur deux 𝑎. Et cette formule s’applique même si les coefficients 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des nombres complexes et pas seulement des nombres réels. Nous pouvons donc l’appliquer à notre problème.

Que vaut moins 𝑏 ? Eh bien, le coefficient de 𝑧 est de cinq 𝑖. C’est donc moins cinq 𝑖. Nous avons alors plus ou moins la racine carrée de 𝑏 au carré, qui bien sûr est de cinq 𝑖 au carré. Et de cela, on soustrait quatre fois 𝑎, ce qui est trois, fois 𝑐, ce qui est moins deux. Et enfin, nous divisons par deux 𝑎, 𝑎 étant bien sûr trois.

Maintenant, nous devons simplement simplifier. Nous ne pouvons pas voir grand-chose avec moins cinq 𝑖 pour le moment. Mais cinq 𝑖 au carré est moins 25. Et quatre fois trois fois moins un, deux est moins 24. Deux fois trois, bien sûr six. Et maintenant, nous pouvons simplifier davantage sous le radical. Moins 25 moins moins 24 est moins 25 plus 24, ce qui est moins un. Et donc nous pouvons voir que nous avons un discriminant négatif ici. Et nous savons quelle est la racine carrée de moins un. C’est 𝑖. Les deux solutions sont alors 𝑧 égal à moins quatre 𝑖 sur six et 𝑧 égal à moins six 𝑖 sur six. Nous pouvons simplifier les solutions à 𝑧 est égal à moins deux tiers 𝑖 et 𝑧 est moins 𝑖.

Notez que bien que nous ayons ici un discriminant négatif, nos deux solutions ne sont pas des conjugués complexes. Si une équation du second degré avec des coefficients réels a un discriminant négatif, alors nous obtenons deux solutions conjuguées complexes. Cependant, il n’y a aucune garantie lorsque nous avons un coefficient non réel comme nous le faisons ici.

Résoudre 𝑧 au carré plus deux plus 𝑖 fois 𝑧 plus 𝑖 est égal à zéro.

Nous utilisons la formule du discriminant, en substituant les coefficients à 𝑎, 𝑏 et 𝑐. On peut simplifier sous le radical. Deux plus 𝑖 au carré est deux au carré, ce qui est égal à quatre, plus deux fois - deux fois 𝑖, ce qui donne quatre 𝑖, plus 𝑖 au carré, ce qui vaut moins un. Et de cela, on soustrait quatre fois une fois 𝑖, ce qui fait quatre 𝑖. On voit que les termes impliquant 𝑖 s’annulent. Et nous nous retrouvons avec seulement quatre moins un, ce qui est trois sous le radical.

Notez que nous avons un discriminant positif ici. Il y a un peu plus de simplification à faire. Deux fois un sur le dénominateur est juste deux. Et nous pouvons distribuer le signe moins entre parenthèses. En procédant ainsi et en réorganisant les termes, nous obtenons une racine moins deux plus ou moins trois moins 𝑖 sur deux. Nos solutions sont donc 𝑧 égal à moins deux plus racine trois sur deux moins 𝑖 sur deux et 𝑧 égal moins deux moins racine trois sur deux moins 𝑖 sur deux.

Notez que bien que notre équation ait un discriminant positif, nous n’obtenons pas deux solutions réelles. Si une équation du second degré avec des coefficients réels a un discriminant positif, alors nous obtenons deux solutions réelles. Cependant, notre équation du second degré a des coefficients non réels. Et comme nous l’avons vu, nous ne devrions pas nous attendre à ce qu’il ait deux vraies racines.

Résolvez deux plus trois 𝑖 fois 𝑧 au carré plus quatre 𝑧 moins six 𝑖 plus quatre est égal à zéro.

Nous utilisons la formule du discriminant. Nous substituons les valeurs des coefficients à 𝑎, 𝑏 et 𝑐. Et maintenant, nous simplifions. Au dénominateur, on obtient quatre plus six 𝑖. Au numérateur, nous obtenons moins quatre plus ou moins un grand radical. Et à l’intérieur de ce radical, quatre au carré est 16. Et de cela, on soustrait quatre fois le produit de 𝑎 et 𝑐. Lorsque nous distribuons, nous voyons que les conditions impliquant 𝑖 s’annulent. Et nous nous retrouvons avec seulement huit plus 18, ce qui est 26. 16 moins quatre fois 26 est moins 88.

Notez que nous avons ici un discriminant négatif. La racine carrée de 88 est moins 𝑖 fois la racine carrée de 88 ou deux 𝑖 fois la racine carrée de 22. Il est tentant de dire que ceci est notre dernière réponse ici. Mais nous aimerions que nos dénominateurs soient réels si possible. Nous le faisons en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué complexe de ce dénominateur.

Faisons cela pour la première racine. Nous distribuons également au numérateur et au dénominateur. Et au dénominateur, on remarque que les termes impliquant 𝑖 s’annulent, ne laissant que le module de notre nombre complexe dans le dénominateur. C’est quatre au carré plus six au carré. Nous évaluons le dénominateur et regroupons les parties réelles et imaginaires dans le numérateur. Et nous remarquons que nous pouvons annuler un facteur de quatre. Nous pouvons donc écrire notre première racine sous sa forme la plus simple comme indiqué. Et nous pouvons utiliser exactement la même procédure pour simplifier la deuxième racine.

Notez que bien que notre équation du second degré ait un discriminant négatif, ces deux racines ne sont pas des conjugués complexes. Ils n’ont même pas les mêmes pièces réelles.

Résoudre 𝑧 au carré moins quatre plus quatre 𝑖 𝑧 plus huit 𝑖 est égal à zéro.

Nous utilisons la formule du discriminant. Nous substituons les valeurs des coefficients à 𝑎, 𝑏 et 𝑐. Sous le signe radical, le moins quatre plus quatre 𝑖 au carré devient 16 plus 32𝑖 moins 16, ce qui n’est que 32𝑖. Et de cela, nous soustrayons quatre fois une fois huit 𝑖, ce qui est 32𝑖, ce qui signifie que, sous le radical, nous avons zéro. Au dénominateur, nous en avons deux. En écrivant à nouveau sans les barres, nous voyons que notre discriminant est nul. La racine carrée de zéro est zéro. Et donc nous n’ajoutons ou ne soustrayons rien, ce qui signifie qu’il n’y a qu’une seule racine. 𝑧 est égal à quatre plus quatre 𝑖 sur deux, ce qui correspond à deux plus deux 𝑖.

Selon le théorème fondamental de l’algèbre, ce doit être une racine double. Et vous pouvez vérifier que c’est le cas. Nous voyons donc que cette équation du second degré a une seule racine non réelle double. Il s’avère que si le discriminant est nul, alors nous avons la garantie d’une racine double. Si les coefficients de cette équation du second degré sont réels, alors cette racine doit être réelle elle-même. Mais s’ils sont complexes, les racines pourraient être complexes.

Nous pouvons voir cela en regardant la formule du discriminant. Si nous égalons à zéro le discriminant, nous nous retrouvons avec juste 𝑧 égal à moins 𝑏 sur deux 𝑎. Telle est la valeur de notre racine double. Si les coefficients 𝑏 et 𝑎 sont réels, la racine double, moins 𝑏 sur deux 𝑎, doit également être réelle. Mais si 𝑎 ou 𝑏 ou les deux ne sont pas réels, le moins 𝑏 sur deux 𝑎 pourrait également être non réel.

Dans les exemples que nous avons vus jusqu’ici dans cette vidéo, le discriminant a toujours été réel. Mais les nombres devaient être soigneusement choisis pour que cela soit le cas. En général, les discriminants peuvent être non réels. Voyons un exemple.

Résolvez un plus deux 𝑖 fois 𝑧 au carré moins trois plus 𝑖 est égal à zéro. Arrondissez vos réponses à trois chiffres significatifs.

Comme il n’y a pas de terme impliquant 𝑧, il semble un peu idiot de casser la formule du discriminant. Ce que nous pouvons faire à la place est de soustraire moins trois plus 𝑖 des deux côtés, puis de diviser les deux côtés par un plus deux 𝑖 pour trouver 𝑧 au carré est égal à trois moins 𝑖 sur un plus deux 𝑖.

Il nous suffit maintenant de trouver la racine carrée de ce nombre complexe. Mais d’abord, nous multiplions le numérateur et le dénominateur par le conjugué complexe du dénominateur. Nous pouvons distribuer puis simplifier. Et nous obtenons un cinquième moins les sept cinquièmes 𝑖.

Maintenant, comment pouvons-nous trouver la racine carrée de ce nombre ? Eh bien, nous pouvons l’écrire sous forme polaire puis appliquer le théorème de Moivre pour les racines. Quel est le module de ce nombre complexe ? Nous constatons qu’il s’agit de la racine deux. Comme notre nombre complexe est dans le quatrième quadrant, son argument est l’arctan de sa partie imaginaire sur sa partie réelle. Nous constatons que son argument est un arctan de moins sept. Et ainsi nous pouvons écrire notre nombre complexe sous forme polaire.

Le théorème de De Moivre pour les racines nous donne les racines 𝑛 ièmes d’un nombre complexe sous forme polaire. Nous recherchons des racines carrées, et donc 𝑛 est deux. En appliquant cette formule à notre exemple, où 𝑟 est racine deux et 𝜃 est arctan moins sept, nous obtenons ce qui suit. En les mettant dans une calculatrice, nous obtenons 𝑧 égal à 0.898 moins 0.779𝑖 et 𝑧 égal à moins 0.898 plus 0.77𝑖 à trois chiffres significatifs.

Résoudre 𝑧 au carré plus deux moins deux 𝑖 𝑧 moins sept plus 26𝑖 est égal à zéro.

Nous utilisons la formule du discriminant. Nous substituons les valeurs des coefficients à 𝑎, 𝑏 et 𝑐. Nous simplifions sous le signe radical, notant qu’il y a une annulation. Et moins huit 𝑖 plus 28 plus 104𝑖 est 28 plus 96𝑖. On remarque que, sous le radical, nous avons deux multiples de quatre. Nous pouvons donc retirer ce multiple de quatre dans chaque cas et faire ressortir un deux devant le signe radical. Cela nous permet d’annuler les deux au dénominateur. Nous obtenons donc moins un plus 𝑖 plus ou moins la racine carrée de sept plus 24𝑖.

Nous utilisons le théorème de De Moivre pour trouver les racines carrées. Mais d’abord, nous devons écrire sept plus 24𝑖 sous forme polaire. Son module est de 25 et son argument est arctan 24 sur sept. Et le théorème de De Moivre pour les racines nous dit comment trouver les racines carrées.

Le module de la racine carrée est la racine carrée du module. Voilà donc la racine carrée de 25, qui est cinq. Nous devons diviser l’argument par deux. L’argument de la racine carrée est arctan 24 sur sept divisé par deux. En les mettant dans une calculatrice, nous constatons que cos de cette valeur est 0.8 et sin de cette valeur est 0.6. Et donc en multipliant par le module cinq, on additionne ou soustrait quatre plus trois 𝑖. Par conséquent, nos deux racines sont 𝑧 égal à trois plus quatre 𝑖 et 𝑧 égal à moins cinq moins deux 𝑖.

Ici, le discriminant étant complexe, nous avons dû utiliser le théorème de De Moivre pour trouver ses racines carrées. En fait, nous n’avons trouvé qu’une de ses racines carrées en utilisant le théorème de De Moivre. Mais nous savions que l’autre devait être son contraire. Et nous avons ce signe plus ou moins ici.

Voici les points clés que nous avons abordés dans cette vidéo. Nous pouvons résoudre des équations du second degré avec des coefficients complexes en utilisant la formule du discriminant. Si le discriminant est nul, l’équation a une seule racine double. Contrairement aux équations du second degré à coefficients réels, cette racine double n’a pas besoin d’être réelle. Si le discriminant n’est pas nul, alors il y a deux racines distinctes. On voit donc que le discriminant nous dit si l’équation du second degré a une racine double ou deux racines distinctes.

Nous avons vu que, pour les équations du second degré à coefficients réels, le signe du discriminant nous disait si les racines étaient réelles ou non réelles. S’il était positif, nous avions deux véritables racines distinctes. S’il était nul, nous avions une seule racine réelle double. Et si c’était négatif, nous avions deux racines conjuguées complexes. Ce n’est pas le cas pour les équations du second degré à coefficients complexes. Nous ne pouvons pas utiliser le signe du discriminant pour déterminer si les racines sont réelles ou non réelles. Tout ce que nous pouvons faire, c’est de dire s’il y a une racine double ou s’il y a deux racines distinctes. Et en fait, en général, le discriminant n’a pas besoin d’être un nombre réel.

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