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Un muon a une masse au repos de 1,89 fois 10 puissance moins 28 kilogrammes. Si le muon se déplace à une vitesse de 20 mètres par seconde, quelle est sa longueur d’onde de Broglie ? Utilise une valeur de 6,63 fois 10 à la puissance de 34 joules-secondes pour la constante de Planck. Donne ta réponse en notation scientifique à deux décimales près.
La question nous demande de trouver une longueur d’onde de Broglie, on aura donc besoin d’utiliser la relation de la longueur d’onde de Broglie. En effet, la longueur d’onde de toute particule est égale à la constante de Planck divisée par la quantité de mouvement de cette particule. Cette relation est vraie pour les particules sans masse et pour les particules massives, quelle que soit leur vitesse de déplacement. On doit cependant se rappeler que pour les particules massives ayant des vitesses proches de la vitesse de la lumière, il faut utiliser la quantité de mouvement relativiste.
Cependant, notre muon se déplace à seulement 20 mètres par seconde, ce qui est inférieur à la vitesse de la lumière par sept ordres de grandeurs. On peut donc calculer la quantité de mouvement comme étant la masse fois la vitesse et utiliser cette quantité de mouvement non relativiste dans la relation de Broglie. On nous dit que la masse au repos de notre muon est de 1,89 fois 10 puissance moins 28 kilogrammes. Et encore une fois, comme le muon se déplace à des vitesses non relativistes, on utilisera la masse dans notre formule. La multiplication de 1,89 fois 10 puissance 28 kilogrammes par 20 mètres par seconde nous donne 3,78 fois 10 puissance moins 27 en kilogrammes par seconde. Lorsque l’on remplace cette valeur ainsi que 6,63 fois 10 puissance moins 34 joules-secondes pour la constante de Planck dans la formule de la longueur d’onde de Broglie, on obtient 6,63 fois 10 puissance moins 34 joules-secondes divisé par 3,78 fois 10 puissance moins 27 kilogrammes-mètres par seconde.
Commençons ce calcul en regardant les unités. Les joules sont équivalents à des kilogrammes mètres carrés par seconde carrée. Donc, les joules-secondes sont des kilogrammes-mètres carré par seconde. Nos unités finales sont donc des kilogrammes mètres carrés par seconde divisés par des kilogrammes mètres par seconde. La seule différence entre ces deux ensembles d’unités est le facteur supplémentaire en mètres au numérateur. Ainsi, lorsque l’on retire des unités similaires au numérateur et au dénominateur, il nous reste simplement des unités en mètres. Cela nous indique que l’on est sur la bonne voie puisque l’on cherche une longueur d’onde. Et les mètres sont des unités possibles pour la longueur.
Regardons ensuite les puissances de 10. Le numérateur et le dénominateur ont tous deux la même base, à savoir 10, élevés à des exposants différents. Le résultat sera la même base élevée à la différence entre les exposants, ici moins 34 moins moins 27. Moins 34 moins moins 27 donne moins sept. Ainsi, la puissance résultante de 10 est 10 puissance moins sept.
Enfin, il faut calculer 6,63 divisé par 3,78. Avec une calculatrice, on obtient 1,7539 et plusieurs autres décimales. Cependant, la question nous demande un résultat à deux décimales près. Donc, pour arrondir à deux décimales, regardons la troisième décimale, qui est ici de trois. Puisqu’elle est inférieure à cinq, on ne change donc pas ce chiffre. Et 1,7539 et cetera arrondi à deux décimales près est donc simplement 1,75.
Et donc, à deux décimales près, en notation scientifique, la longueur d’onde de Broglie de notre muon est de 1,75 fois 10 puissance moins sept mètres.
