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Vidéo question :: Écrire des équations du second degré sous leur forme la plus simple en utilisant la relation entre leurs coefficients et leurs racines Mathématiques • Première secondaire

Sachant que 𝐿 et 𝑀 sont les racines de l’équation 𝑥² - 13𝑥 - 5 = 0, déterminer sous sa forme la plus simple, l’équation du second degré dont les racines sont 𝐿 + 1 et 𝑀 + 1.

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Sachant que 𝐿 et 𝑀 sont les racines de l’équation 𝑥 au carré moins 13𝑥 moins cinq égal zéro, déterminer sous sa forme la plus simple, l’équation du second degré dont les racines sont 𝐿 plus un et 𝑀 plus un.

Commençons par rappeler la relation entre une équation du second degré sous cette forme, celle où le coefficient de 𝑥 au carré est égal à un, et les racines de cette équation. Lorsque nous avons une équation sous cette forme, c’est-à-dire que nous avons une expression du second degré égale à zéro où le coefficient du terme 𝑥 au carré vaut un, nous pouvons dire que l’opposé du coefficient du terme 𝑥 est égal à la somme des racines de l’équation et le terme constant est égal au produit de ses racines.

Bien, on nous dit que 𝐿 et 𝑀 sont les racines de notre équation 𝑥 au carré moins 13𝑥 moins cinq égal zéro. La somme de ces racines doit être la somme de 𝐿 et de 𝑀 ; c’est 𝐿 plus 𝑀. Maintenant, c’est égal à l’opposé du coefficient de 𝑥. Eh bien, le coefficient de 𝑥 est ici moins 13. Et donc, 𝐿 plus 𝑀 doit être égal à plus 13. Ensuite, le produit des racines est 𝐿 fois 𝑀. Ainsi, c’est juste égal au terme constant. Donc, c’est égal à moins cinq.

Et donc, nous avons un système d’équations d’inconnues 𝐿 et 𝑀. La première est 𝐿 plus 𝑀 égal 13 et la seconde est 𝐿 fois 𝑀 égal moins cinq. Nous pourrions chercher à résoudre ces équations simultanément ; cependant, nous cherchons à trouver une équation du second degré dont les racines sont 𝐿 plus un et 𝑀 plus un. Et donc, si nous pouvons trouver la somme de 𝐿 plus un et 𝑀 plus un et la valeur du produit de ces deux expressions, nous pourrons directement écrire cette équation du second degré.

Regardons notre première équation, 𝐿 plus 𝑀 égal 13. Et nous allons modifier cette équation, nous incluons donc les nouvelles racines. Ce sont 𝐿 plus un plus 𝑀 plus un. Mais cela, bien sûr, est simplement égal à 𝐿 plus 𝑀 plus deux. Maintenant, si 𝐿 plus 𝑀 est égal à 13, 𝐿 plus 𝑀 plus deux doit être égal à 13 plus deux et cela est égal à 15. La somme des racines de notre nouvelle équation est donc 15. Et nous pourrons remplacer cela dans la forme générale dans un instant.

Mais que va-t-on faire du produit de ces racines ? Eh bien, le produit des nouvelles racines est 𝐿 plus un facteur de 𝑀 plus un. Utilisons la double distributivité pour développer les parenthèses. Nous multiplions le premier terme de chaque expression pour obtenir 𝐿𝑀. Nous multiplions ensuite les termes externes, 𝐿 fois un vaut 𝐿, puis les termes internes, une fois 𝑀 vaut 𝑀. Enfin, nous multiplions les derniers termes de chaque expression. Bien, une fois un est égal à un. Et donc, le produit de nos nouvelles racines est 𝐿𝑀 plus 𝐿 plus 𝑀 plus un.

Mais rappelez-vous, nous savons que 𝐿𝑀 est égal à moins cinq ; 𝐿 plus 𝑀 est égal à 13. Et donc, toute cette expression devient moins cinq plus 13 plus un, ce qui vaut neuf. Ainsi, pour notre nouvelle équation du second degré, la somme des racines vaut 15 et leur produit vaut neuf. Et donc, en substituant tout cela dans notre formule initiale, nous trouvons que son équation est la suivante. L’équation qui nous intéresse est 𝑥 au carré moins 15𝑥 plus neuf égale zéro.

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