Vidéo de la leçon: Résoudre des systèmes d'équations linéaires par élimination Mathématiques

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Dans cette vidéo, nous apprendrons à résoudre des systèmes d’équations linéaires en éliminant une inconnue.

Les équations linéaires sont des équations dans lesquelles la puissance des variables n’excède jamais un. Et elles ne contiennent pas non plus de termes comportant plusieurs variables multipliées entre elles. Par exemple, l’équation deux 𝑥 plus trois 𝑦 égale sept est une équation linéaire. Elle comporte deux variables, 𝑥 et 𝑦, aussi appelées les inconnues. Les variables étant au nombre de deux, on ne peut pas résoudre l’équation directement ; il nous faut plus d’informations.

Si l’on ajoute une seconde équation linéaire comprenant les deux mêmes variables, comme par exemple l’équation cinq 𝑥 moins 𝑦 égale neuf, on obtient ce que l’on appelle un système d’équations linéaires. En règle générale, il nous faut autant d’équations que l’on a de variables. Ici, le système a deux variables, 𝑥 et 𝑦, et deux équations. Il serait donc possible de le résoudre, c’est-à-dire trouver les valeurs de 𝑥 et de 𝑦 qui vérifient les deux équations. Pour cela, il existe différentes méthodes. Dans cette vidéo, nous allons nous concentrer sur la méthode de l’élimination. Pour cela, nous étudierons différents exemples, dont le premier est le suivant.

Utilisez la méthode de l’élimination pour résoudre les équations simultanées trois 𝑥 plus deux 𝑦 égale 14, six 𝑥 moins deux 𝑦 égale 22.

Le terme «équations simultanées» est juste une autre façon de faire référence à un système d’équation. On constate que l’on a deux équations. Elles ont les mêmes variables toutes les deux : 𝑥 et 𝑦. Dans l’énoncé, on nous dit d’utiliser la méthode de l’élimination pour résoudre le problème. Voyons à quoi ressemble cette méthode. La méthode consiste à annuler l’une des deux variables, c’est-à-dire l’éliminer des deux équations. On peut choisir d’éliminer soit la variable 𝑥, soit la variable 𝑦. Ici, on remarque quelque chose qui nous facilitera la tâche: le terme deux 𝑦 apparaît dans les deux équations. Cependant, dans l’équation 1, on a plus deux 𝑦, tandis que dans l’équation 2, on a moins deux 𝑦.

Ici, la clé est de remarquer que si l’on additionne ces deux équations, cela annulera le terme en 𝑦. Voyons cela de plus près. Sur le côté gauche, trois 𝑥 plus six 𝑥 donnent neuf 𝑥. On a ensuite plus deux 𝑦 plus moins deux 𝑦. Soit deux 𝑦 moins deux 𝑦, c’est-à-dire zéro. Sur le côté droit, on a 14 plus 22, ce qui nous donne 36. Donc, on a éliminé les termes en 𝑦 et créé une équation qui ne dépend que de 𝑥. Neuf 𝑥 égale 36.

Maintenant que notre équation ne dépend plus que de 𝑥, il est facile de la résoudre pour trouver la valeur de 𝑥. Notre équation est neuf 𝑥 égale 36, donc on divise par neuf des deux côtés. Cela nous donne 𝑥 égale quatre. Donc, on a trouvé la valeur de l’une de nos deux variables. Ensuite, on doit trouver la valeur de la variable 𝑦. Pour cela, on peut remplacer 𝑥 par la valeur que nous avons trouvée dans l’une ou l’autre de nos deux équations. Le choix de l’équation n’a pas vraiment d’importance. Ici, je choisis d’utiliser l’équation 1 pour la simple raison que le coefficient de 𝑦 est positif dans cette équation et que les calculs en seront simplifiés.

Donc, on remplace 𝑥 par quatre, ce qui nous donne trois fois quatre plus deux 𝑦 égale 14. Trois fois quatre font bien sûr 12. Donc, on a l’équation 12 plus deux 𝑦 égale 14 et cette équation ne dépend que de 𝑦. Pour la résoudre, on doit d’abord soustraire 12 de chaque côté, ce qui nous donne deux 𝑦 égale deux, puis diviser les deux membres par deux, ce qui nous donne 𝑦 égale un. Donc, on a aussi trouvé la valeur de 𝑦. Et par conséquent, on a résolu le système d’équations. Notre solution est une paire de valeurs: 𝑥 est égal à quatre et 𝑦 est égal à un.

Il est important, lorsque c’est possible, de vérifier notre réponse. Pour cela, on prend l’équation qui n’a pas été utilisée pour déterminer la seconde valeur et on remplace 𝑥 et 𝑦 par notre paire de valeurs. Dans notre cas, il s’agit de l’équation 2. Dans le membre de gauche, on remplace 𝑥 par quatre et 𝑦 par un, ce qui nous donne six fois quatre moins deux fois un. C’est égal à 24 moins deux, qui font 22. Cela correspond bien à la valeur que l’on doit avoir du côté droit de l’équation. Donc notre solution est correcte.

Dans cette question, la clé pour appliquer la méthode de l’élimination était de remarquer que dans les deux équations, les coefficients de 𝑦 avaient la même norme, mais que l’un était positif et l’autre négatif. On en a déduit que si l’on additionnait les deux équations, les termes en 𝑦 s’annuleraient pour ne nous laisser qu’une équation en 𝑥. Notre solution est 𝑥 est égal à quatre et 𝑦 est égal à un.

Dans le prochain exemple, nous verrons comment appliquer la méthode de l’élimination lorsqu’additionner les équations n’annule aucune variable.

Utilisez la méthode de l’élimination pour résoudre les équations simultanées trois 𝑎 plus deux 𝑏 égale 14, quatre 𝑎 plus deux 𝑏 égale 16.

Donc, on a une paire d’équations simultanées, ou un système d’équations, avec deux variables, 𝑎 et 𝑏. Dans l’énoncé, on nous dit de résoudre le système en utilisant la méthode de l’élimination. Pour pouvoir désigner ces deux équations plus facilement, nous les appellerons équation 1 et équation 2. On observe nos deux équations et on remarque que les coefficients de la variable 𝑏 sont les mêmes. On retrouve le terme plus deux 𝑏 dans les deux équations. Il se peut alors que votre première idée soit d’additionner les deux équations pour éliminer la variable 𝑏. Voyons ce que cela donnerait.

Sur le côté gauche, trois 𝑎 plus quatre 𝑎 nous donnent sept 𝑎. On a ensuite plus deux 𝑏 et plus deux 𝑏, ce qui fait plus quatre 𝑏. On passe au côté droit, où 14 plus 16 nous donnent 30. Donc, on a l’équation sept 𝑎 plus quatre 𝑏 égale 30. Cette équation comporte toujours deux variables différentes: additionner les équations n’a pas eu pour effet d’éliminer une variable, donc ce n’était pas la bonne stratégie.

Essayons plutôt de soustraire une équation à l’autre. Le coefficient de la variable 𝑎 est plus grand dans l’équation 2 que dans l’équation 1, donc je choisis de soustraire l’équation 1 à l’équation 2. Sur le côté gauche, quatre 𝑎 moins trois 𝑎 donnent 𝑎. Ensuite, on a deux 𝑏 moins deux 𝑏. Ces termes s’annulent. On passe aux membres de droite, où 16 moins 14 font deux. Donc, on obtient 𝑎 égale deux. Nous avons éliminé la variable 𝑏. Et par la même occasion, nous avons trouvé la valeur de 𝑎. Donc, pour éliminer une variable, la bonne stratégie ici était de soustraire une équation à l’autre. Ceci est dû au fait que les coefficients de la variable que l’on voulait éliminer, 𝑏, ont non seulement la même norme, mais aussi le même signe.

Dans l’exemple d’avant, nous avions vu que lorsque les signes sont différents, il faut additionner. Et dans cet exemple, nous avons vu que lorsque les signes sont identiques, il faut soustraire. Gardons en tête que ce sont des signes de la variable que l’on souhaite éliminer qu’il s’agit. Ici, nous voulions éliminer la variable 𝑏. Les termes en 𝑏 étaient de même signe, donc nous les avons éliminés en soustrayant une équation à l’autre.

Maintenant que l’on connaît la valeur de 𝑎, on peut trouver celle de 𝑏 en remplaçant 𝑎 par sa valeur dans l’une ou l’autre de nos deux équations. On choisit l’équation un. On obtient trois fois deux plus deux 𝑏 égale 14. C’est-à-dire six plus deux 𝑏 égale 14. Et en soustrayant six de chaque côté, on obtient deux 𝑏 égale huit. Puis on trouve la valeur de 𝑏 en divisant chaque membre par deux, ce qui nous donne 𝑏 égale quatre.

Donc, on a notre solution au système d’équations : 𝑎 est égal à deux et 𝑏 est égal à quatre. Mais on n’oublie pas qu’il faut toujours vérifier notre réponse, donc on remplace par cette paire de valeurs dans l’autre équation. Il s’agit de l’équation 2. Dans le membre de gauche de l’équation, on remplace 𝑎 par deux et 𝑏 par quatre, ce qui nous donne quatre fois deux plus deux fois quatre. Cela fait huit plus huit, c’est-à-dire 16, ce qui correspond au membre de droite de l’équation 2. Donc, notre solution est correcte.

Il est important de se rappeler que lorsque les signes de la variable que l’on souhaite éliminer sont les mêmes dans les deux équations, il faut soustraire. Bien sûr, l’inverse est également vrai. Lorsque les signes de la variable que l’on veut éliminer sont différents, on additionne. Notre solution au système d’équations de ce problème est 𝑎 est égal à deux et 𝑏 est égal à quatre.

Dans les deux exemples que l’on a vus, on a pu directement éliminer l’une des variables en additionnant ou en soustrayant les deux équations d’origine. Cependant, nous verrons dans le prochain exemple qu’une étape supplémentaire est parfois nécessaire.

Utilisez la méthode de l’élimination pour résoudre les équations simultanées cinq 𝑥 moins quatre 𝑦 égale 21, quatre 𝑥 plus 12𝑦 égale 32.

On nous demande de résoudre ce système d’équations en utilisant la méthode de l’élimination, ce qui signifie que l’on doit éliminer l’une des variables, 𝑥 ou 𝑦, en additionnant ou en soustrayant les équations. Mais dans un cas comme dans l’autre, si l’on utilise nos deux équations telles quelles, l’équation résultant comprendra toujours les deux variables, 𝑥 et 𝑦. Si l’on choisissait d’additionner, on aurait l’équation neuf 𝑥 plus huit 𝑦 égale 53. Si l’on choisissait de soustraire, on aurait l’équation 𝑥 moins 16𝑦 égale moins 11. Donc, on ne serait pas plus avancés.

Mais pourquoi ces deux stratégies ne fonctionnent-elles pas? Eh bien, pour appliquer la méthode de l’élimination, les coefficients de l’une des variables doivent être égaux dans les deux équations, ou au moins avoir la même norme (par exemple, plus trois et moins trois). Mais ce n’est pas le cas dans notre système. Le coefficient de 𝑥 est cinq dans la première équation et quatre dans la seconde. Le coefficient de 𝑦 est moins quatre dans la première équation et 12 dans la seconde. Donc, on ne pourra pas éliminer une variable par simple addition ou soustraction de ces deux équations.

Cependant, il est bien précisé dans l’énoncé de procéder par la méthode de l’élimination. Alors que doit-on faire? Eh bien, par une légère manipulation algébrique, on va faire apparaître des coefficients égaux pour l’une des variables, ou au moins de même norme, dans les deux équations. Pour cela, on va utiliser la propriété de l’égalité de la multiplication, qui nous dit que si l’on multiplie les deux membres d’une équation par une même valeur, l’égalité est toujours vraie. On doit trouver une valeur par laquelle multiplier une équation pour faire apparaître le même coefficient d’une variable dans les deux équations, ou des coefficients de même norme.

On observe les termes en 𝑦 et on remarque que 12 est un multiple de quatre. Si on multipliait l’équation 1 par trois, on obtiendrait le terme moins 12𝑦. Et les normes des coefficients de 𝑦 seraient les mêmes dans les deux équations. Mettons cela en pratique. On commence par multiplier l’équation 1 par trois. Cela signifie que l’on multiplie chaque terme de l’équation par trois, ce qui nous donne 15𝑥 moins 12𝑦 égale 63. Les deux termes en 𝑦 sont maintenant de même norme mais de signes opposés, ce qui implique qu’ils s’annuleront si l’on additionne les deux équations.

Sur le côté gauche, l’addition nous donne 15𝑥 plus quatre 𝑥, soit 19𝑥, et moins 12𝑦 plus 12𝑦, qui font zéro ; sur le côté droit, on a 63 plus 32, qui font 95. Donc, on a éliminé la variable 𝑦 de nos équations et l’on a maintenant une équation en 𝑥, que l’on résout en divisant chaque membre par 19. On obtient ainsi la valeur de 𝑥. On trouve que 𝑥 est égal à cinq.

On va ensuite trouver la valeur de 𝑦 en remplaçant 𝑥 par cinq dans l’une des deux équations d’origine ou dans l’équation que l’on a créée en multipliant l’équation 1 par trois. Je choisis d’utiliser l’équation 2 car tous ses coefficients sont positifs. À gauche, cela nous donne quatre fois cinq, qui font 20, plus 12𝑦 et à droite, 32. On soustrait 20 aux deux membres et on les divise par 12, ce qui nous donne 𝑦 égale un. Donc, on a notre solution : 𝑥 est égal à cinq et 𝑦 est égal à un. Mais il faut bien sûr la vérifier. Je choisis d’utiliser l’équation 1 pour faire la vérification. L’équation 1 est cinq 𝑥 moins quatre 𝑦 égale 21. On remplace 𝑥 par cinq et 𝑦 par un, ce qui nous donne cinq fois cinq moins quatre fois un. Cela fait 25 moins quatre, donc on retombe bien sur 21. Donc, notre solution est correcte.

Dans ce problème, l’étape clé était de s’apercevoir qu’additionner ou soustraire les deux équations d’origine ne permettrait pas d’éliminer une variable. Donc, on a dû multiplier l’une des équations par une constante pour créer une équation équivalente avec un coefficient de 𝑦 de même norme que dans la seconde équation. Après cela, nous avons pu utiliser la méthode de l’élimination pour résoudre le système d’équations.

Cependant, se contenter de multiplier l’une des équations par une constante ne suffit pas toujours. Dans certains cas, il est nécessaire de multiplier chacune des équations par une constante. Voyons un exemple.

Utilisez la méthode de l’élimination pour résoudre les équations simultanées quatre 𝑥 plus six 𝑦 égale 40 et trois 𝑥 plus sept 𝑦 égale 40.

Les coefficients de 𝑥 sont différents dans les deux équations et ceux de 𝑦 également, donc on ne pourra pas éliminer une variable en additionnant ou en soustrayant directement les équations. On remarque aussi que les coefficients de la variable 𝑥 ne sont pas des multiples l’un de l’autre et que ceux de la variable 𝑦 non plus. Notre but est de créer deux équations dans lesquelles l’une des variables aurait deux coefficients égaux, ou de même norme mais de signes opposés. Comment allons-nous nous y prendre?

Nous allons devoir multiplier chaque équation par une constante. Ici, je choisis de multiplier l’équation 1 par trois et l’équation 2 par quatre, car cela nous donnera 12𝑥 dans chacune des deux équations. On aurait aussi pu choisir de multiplier l’équation 1 par sept et l’équation 2 par six, car cela nous donnerait 42𝑦 dans chaque équation. On peut choisir d’éliminer l’une ou l’autre des deux variables, cela n’a pas d’importance.

Nos deux nouvelles équations contiennent toutes les deux le terme 12𝑥. Comme le signe est le même dans les deux équations, on va soustraire pour éliminer la variable 𝑥. Je vais soustraire la première équation à la seconde, car le coefficient de 𝑦 est plus grand dans la seconde équation. Cela nous donne 12𝑥 moins 12𝑥, qui s’annulent ; 28𝑦 moins 18𝑦, qui font 10𝑦 ; et 160 moins 120, qui font 40. Donc, on a éliminé la variable 𝑥 de notre équation. On peut ensuite trouver la valeur de 𝑦 en divisant chaque membre par 10, ce qui nous donne 𝑦 égale quatre.

Pour trouver 𝑥, on choisit l’une de nos quatre équations et on y remplace 𝑦 par sa valeur. Je choisis l’équation 1. On obtient une simple équation linéaire en 𝑥, que l’on résout en soustrayant 24 de chaque côté et en divisant par quatre, ce qui nous donne 𝑥 égale quatre. Donc, nous avons trouvé notre solution. Les variables 𝑥 et 𝑦 sont toutes les deux égales à quatre. Comme toujours, il faut vérifier notre solution en remplaçant par les valeurs trouvées dans l’une des autres équations. J’ai décidé d’utiliser l’équation 2. Et l’on a ainsi confirmé que notre solution était la bonne.

Dans ce problème, l’étape clé consistait à multiplier chacune des équations par une constante, afin que l’une des variables ait le même coefficient dans les deux équations. On a ensuite pu utiliser la méthode de l’élimination pour éliminer la variable en question et résoudre le système.

Pour finir, récapitulons les points clés vus dans cette leçon. En utilisant la méthode de l’élimination, notre objectif est d’éliminer l’une des variables en additionnant ou en soustrayant les équations. Si les coefficients de la variable que l’on souhaite éliminer sont de signes opposés, on additionne les deux équations. Si les signes sont identiques, on soustrait l’une des équations à l’autre. Par ailleurs, avant de pouvoir additionner ou soustraire les équations, il est parfois nécessaire de multiplier l’une d’entre elles, ou les deux, par une constante.

Après avoir éliminé une variable et déterminé la valeur de l’autre, on remplace par la valeur trouvée dans l’une de nos équations pour obtenir la valeur de la variable précédemment éliminée. Et on doit toujours vérifier notre réponse en remplaçant par nos deux valeurs dans l’une des équations qui n’a pas été utilisée pour trouver la seconde valeur.