Vidéo de la leçon: Multiplication des entiers relatifs Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier s’il faut faire une multiplication, comment multiplier des nombres dirigés — ce sont des nombres qui ont une direction et une taille — et comment appliquer ce processus à des situations réelles.

Nous disposons déjà de diverses stratégies pour multiplier des nombres entiers relatifs ; ceux-ci sont bien sûr des nombres entiers. Nous pouvons utiliser des tables de multiplication, utiliser la méthode des grilles ou la méthode des colonnes. Ainsi, par exemple, cinq fois sept signifie ce que nous avons au total si nous additionnons cinq fois le nombre sept. Nous savons, grâce à nos tables de multiplication, que cela fait 35. Mais nous disons aussi que la multiplication est commutative ; elle peut se faire dans n’importe quel ordre. Donc, cinq fois sept, c’est la même chose que sept fois cinq. C’est un fait vraiment utile à retenir si, par exemple, vous connaissez la table de cinq mieux que la table de sept.

Mais s’il faut calculer cinq fois moins sept ? Eh bien, cette fois, la question est de savoir ce que nous avons au total si nous additionnons cinq fois le nombre moins sept. Eh bien, c’est moins sept plus moins sept plus moins sept plus moins sept plus moins sept. Eh bien, si nous ajoutons un nombre négatif, nous nous déplaçons plus loin sur la droite graduée. Donc, moins sept plus un autre moins sept ça fait moins 14. Si nous ajoutons un autre moins sept, alors nous nous déplaçons de plus en plus vers le bas de la droite graduée. Cela nous amène à moins 21. Si nous continuons à descendre par multiples de sept sur la droite, alors nous obtenons moins 35. D’accord, donc, cinq fois moins sept, c’est moins 35.

De même, si je devais calculer moins cinq fois sept, je dirais que c’est la même chose que sept fois le nombre moins cinq, et j’additionnerai moins cinq et moins cinq et moins cinq et ainsi de suite. Encore une fois, cela me donne moins 35. Alors, que s’est-il passé réellement ? Eh bien, si on y pense en fonction d’une droite graduée, cinq fois sept ressemble à ceci. On remonte la ligne par multiples de sept cinq fois. Cinq fois moins sept, ça ressemble plus à ça. Nous descendons la droite graduée cinq fois.

Remarquez comment l’introduction du signe moins change la direction dans laquelle nous nous déplaçons sur cette droite graduée. C’est pourquoi, si nous disons que lorsque nous multiplions un nombre positif par un autre nombre positif, nous obtenons un résultat positif. Nous pouvons dire que la multiplication d’un nombre positif par un nombre négatif ou d’un nombre négatif par un nombre positif change de direction et nous donne un résultat négatif. Mais que se passe-t-il si nous multiplions un nombre négatif par un nombre négatif ?

Cette fois-ci, nous voulons calculer moins cinq fois moins sept. Nous savons qu’un signe négatif change la direction dans laquelle nous nous déplaçons le long de la droite graduée. Cinq fois moins sept nous emmène dans la direction négative. Donc, en ajoutant un autre nombre à notre somme, nous changeons à nouveau la direction et nous nous déplaçons dans la direction positive. Moins cinq fois moins sept donne alors 35. Et nous voyons que lorsque nous multiplions deux nombres négatifs ensemble, nous obtenons un résultat positif. Alors, formalisons cela.

Le produit de deux entiers positifs ou de deux entiers négatifs est un entier « quoi » ?

Nous commençons par rappeler ce que signifie le mot « produit ». Si nous trouvons le produit de deux nombres, alors nous les multiplions ensemble. Alors, quel est le produit de deux entiers positifs — souvenez-vous que ce sont des nombres entiers — ou de deux entiers négatifs ? Eh bien, nous savons déjà qu’un nombre positif multiplié par un autre nombre positif est un nombre positif. De même, si nous trouvons le produit de deux nombres négatifs, nous obtenons également un nombre positif. Et donc, nous disons que le produit de deux entiers positifs ou de deux entiers négatifs est un entier positif.

À ce stade, il est vraiment important de faire attention à la façon dont nous formulons ces règles. Nous ne devons tout simplement pas dire « négatif et négatif donnent positif ». Cela peut nous poser des problèmes lorsque nous calculons quelque chose comme moins trois plus moins deux. Nous savons que c’est moins cinq. Mais si nous lisons l’affirmation « négatif et négatif donnent positif », nous pourrions penser que la réponse est censée être plus cinq. Au lieu de cela, nous disons qu’un nombre négatif multiplié par un nombre négatif donne un nombre positif.

Le produit d’un entier négatif et d’un entier positif est un entier « quoi » ?

Nous nous rappelons bien sûr que le produit de deux nombres est le résultat que nous obtenons lorsque nous multiplions ces deux nombres ensemble. Ici, nous trouvons le produit d’un entier négatif et d’un entier positif, et que l’introduction d’un signe négatif dans un problème de multiplication change la direction dans laquelle nous nous déplaçons le long de la droite graduée. Comme nous savons qu’un nombre positif multiplié par un autre nombre positif nous donne un résultat positif, lorsque nous multiplions un nombre négatif par un nombre positif, nous changeons la direction. Au lieu de monter sur la droite graduée, nous descendons sur la droite graduée. Et nous voyons que cela nous donne un résultat négatif.

Bien sûr, nous pouvons faire cela dans n’importe quel ordre ; la multiplication est commutative. Un nombre positif multiplié par un nombre négatif nous donne un nombre négatif. Ainsi, le produit d’un entier négatif et d’un entier positif est un entier négatif.

Voyons maintenant comment calculer les réponses à ce genre de questions.

Moins deux fois six est égal à quoi.

Pour répondre à ce problème, nous commençons par calculer simplement deux fois six. C’est deux fois le nombre six ou six fois le nombre deux. Nous savons, grâce à nos tables de multiplication, que deux fois six égale 12. Nous savons également que le produit d’un nombre négatif par un nombre positif — c’est-à-dire un nombre négatif multiplié par un nombre positif — est un nombre négatif. Cela signifie que moins deux fois six doit être négatif. Et donc, la réponse est moins 12.

Moins deux fois moins six est égal à quoi.

Pour répondre à cette question, nous commençons par calculer simplement deux fois six. Et bien sûr, deux fois six égale 12. Nous savons aussi que le produit de deux entiers négatifs — c’est-à-dire l’entier négatif multiplié par un autre entier négatif — est un entier positif. Cela signifie que le produit de moins deux fois moins six doit avoir un résultat positif ; ça doit être égal à 12. Moins deux fois moins six est égal à 12.

Nous allons maintenant envisager comment trouver le produit de plus de deux nombres.

Calculez moins trois fois sept fois 10.

Ces paires de parenthèses peuvent rendre cela un peu étrange. Mais tout ce que cela signifie c’est moins trois fois sept fois 10. Maintenant, pour commencer, nous allons juste effectuer la multiplication de trois, sept et 10. Nous pouvons le faire dans n’importe quel ordre. Mais il est logique de garder le 10 pour la fin. Et donc, nous commençons par calculer trois fois sept. Cela fait trois fois le nombre sept ou sept fois le nombre trois. Et nous savons, grâce à nos tables de multiplication, que trois fois sept égale 21.

Nous calculons ensuite le produit de trois fois sept et 10. Donc, cela fait maintenant 21 fois 10. Et bien sûr, lorsque nous multiplions par 10, nous déplaçons les nombres vers la gauche d’une place. Donc, 21 fois 10 égale 210. Donc, nous avons calculé trois fois sept fois 10 égale 210. Mais nous devions en fait calculer moins trois fois sept fois 10. Et donc, nous rappelons nos règles pour travailler avec des nombres dirigés. Nous savons qu’un entier négatif multiplié par un entier positif donne un résultat négatif. Donc, puisque trois fois sept est égal à 21, donc moins trois fois sept est égal à moins 21. Nous multiplions alors le moins 21 par 10. Donc, on multiplie un nombre négatif par un nombre positif, et cela nous donne un autre nombre négatif. Nous obtenons moins 210. Donc, moins trois fois sept fois 10 est négatif, c’est moins 210.

Dans notre exemple suivant, nous allons voir comment ce que nous avons appris peut nous aider à calculer les paires de diviseurs.

Déterminez trois différentes paires d’entiers, où chaque paire a un produit de moins 24.

Le produit de deux nombres est la valeur que nous obtenons lorsque nous les multiplions ensemble. Dans cette question, nous avons besoin d’entiers relatifs ; ce sont des nombres entiers. Donc, nous allons simplement commencer par trouver les paires de diviseurs de 24. N’oubliez pas que les diviseurs d’un nombre sont des nombres qui se divisent sans laisser de reste. Nous savons que 24 divisé par un est 24. Donc, un et 24 est une paire de diviseurs de 24. De même, deux fois 12 donnent 24. Donc, deux et 12 est une paire de diviseurs. Trois et huit sont une autre paire de diviseurs, tout comme quatre et six.

Mais nous essayons de trouver une paire d’entiers dont le produit est moins 24. Et donc, nous rappelons qu’un entier négatif multiplié par un entier positif, ou, bien sûr, inversement, donne un résultat négatif. Donc, pour obtenir moins 24, nous pourrions utiliser moins un et 24 ou un et moins 24. Nous pourrions utiliser moins deux et 12 ou deux et moins 12. Nous pourrions utiliser moins trois et huit ou trois et moins huit, ou enfin moins quatre et six ou quatre et moins six. N’importe laquelle de ces paires est correcte. Nous avons un total de huit paires différentes que nous pourrions utiliser. Nous allons utiliser trois et moins huit, deux et moins douze, et six et moins quatre.

Prenons un autre exemple.

𝑥 divisé par moins 13 donne moins 879. Calculez la valeur de 𝑥.

On nous donne une équation. Cette équation nous dit que lorsque nous divisons 𝑥 par moins 13, il nous reste moins 879. Pour trouver la valeur de 𝑥, nous allons effectuer une opération inverse. Rappelez-vous, cela signifie l’inverse. Nous allons faire l’inverse de la division par moins 13, qui est la multiplication par moins 13. Eh bien, 𝑥 divisé par moins 13 multiplié par moins 13, c’est 𝑥. C’est pourquoi nous avons choisi d’effectuer cette étape. Et il nous reste 𝑥 qui est égal à moins 879 fois moins 13.

Commençons par calculer simplement la valeur de 879 fois 13. Nous pourrions choisir d’utiliser la méthode de la grille, par exemple, ou la méthode des colonnes. Examinons la méthode des colonnes. Pour commencer, nous multiplions chacun des chiffres de 879 par trois. Neuf fois trois donne 27. Donc, nous mettons sept ici et nous retenons deux. Sept fois trois font 21, et 21 plus deux font 23. Ensuite, huit fois trois font 24. Quand on ajoute ce deux, on obtient 26. Ensuite, nous multiplions chacun des chiffres de 879 par un. Mais en fait, on multiplie par 10. Donc, nous mettons un zéro ici. Neuf fois un est neuf, sept fois un est sept, et huit fois un est huit.

Notre dernière étape est d’additionner ces deux nombres de quatre chiffres. Quand nous le faisons, nous obtenons 11427. Donc, nous avons calculé 879 fois 13. Mais nous voulions calculer moins 879 fois moins 13. Et donc, nous rappelons les règles des nombres dirigés. Nous savons que le produit de deux entiers négatifs, c’est-à-dire un entier négatif multiplié par un autre entier négatif, est un entier positif. Cela signifie que 𝑥, qui est le produit de deux nombres négatifs, moins 879 fois moins 13, sera un nombre positif. Donc, c’est 11427.

Dans cette vidéo, nous avons appris que le produit de deux entiers positifs ou le produit de deux entiers négatifs est un entier positif. Nous avons également appris que le produit d’un entier négatif et d’un entier positif, ou l’inverse, est un entier négatif. Nous avons vu que nous pouvons effectuer ce genre de calculs en calculant d’abord la valeur du produit de deux nombres positifs, puis en considérant le signe de notre réponse.