Vidéo : Champs de vecteurs et courbes solutions

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à dessiner des champs de vecteurs, qui permettent de visualiser graphiquement la solution générale des équations différentielles du premier ordre.

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Dans cette leçon, nous allons apprendre à dessiner des champs de vecteurs, qui permettent de visualiser graphiquement la solution générale des équations différentielles du premier ordre. Nous allons déterminer quelle équation un champ de vecteurs particulier représente. Et inversement, nous allons déterminer quel champ de vecteurs représente une équation différentielle particulière. Mais d’abord, clarifions certains termes que nous utilisons.

Supposons que nous ayons une fonction inconnue 𝑦, qui est fonction de 𝑥. La pente de 𝑦 d𝑦 sur d𝑥 est la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥. Une équation différentielle est une équation contenant la dérivée d’une fonction. Une équation différentielle du premier ordre ne contient que la dérivée première. Et une équation différentielle définit la pente en fonction d’une fonction 𝑓. 𝑓 peut être une fonction de 𝑥. 𝑓 peut être une fonction de 𝑦. Ou 𝑓 peut être une fonction de 𝑥 et 𝑦. Idéalement, étant donné l’équation différentielle comme point de départ, nous aimerions pouvoir la résoudre. Ce qui signifie déterminer la primitive, qui est, la fonction 𝑦 de 𝑥. Mais comme vous le savez probablement, pour plus d’équations différentielles, ce n’est pas possible. En réalité, très peu d’équations différentielles peuvent être résolues avec précision.

Tout n’est pas perdu, cependant, parce que ce que nous pouvons faire, c’est tracer la dérivée de la fonction. C’est l’équation différentielle en différents points du plan 𝑥𝑦. C’est ce qu’on appelle un champ de vecteurs ou le champ de direction. Dans cet exemple, d𝑦 sur d𝑥 est égale à deux 𝑥, ce qui est une fonction de 𝑥. Chacune des droites bleues représente la pente d’une solution particulière 𝑦 de 𝑥 en ce point. Ainsi, par exemple, lorsque 𝑥 est égal à environ 0.5, la pente des solutions en ce point est positive. En fait, nous pouvons déterminer la pente pour chaque solution lorsque 𝑥 est égal à 0.5 en substituant 𝑥 égal 0.5, ce qui est un demi, dans l’équation différentielle. Et nous trouvons d𝑦 sur d𝑥 est deux fois un demi, ce qui est égal à un. Ainsi, à approximativement 𝑥 est égal à 0.5, quelle que soit la solution à cette équation différentielle, la pente est égale à un en ce point.

Une solution particulière à une équation différentielle est définie en utilisant une valeur initiale. Ainsi, par exemple, dans notre cas, nous avons trois solutions particulières sur ce graphique, où la solution A a une valeur initiale de zéro, un. La solution B a une valeur initiale de zéro, zéro. Et la solution C a une valeur initiale de zéro, moins deux. En fait, la solution générale à cette équation différentielle est 𝑦 de 𝑥 est égal à 𝑥 carré plus une constante d’intégration.

Pour la solution particulière A, la constante d’intégration est égale à un. Pour la solution B, la constante d’intégration est égale à zéro. Et pour la solution C, la constante d’intégration est égale à moins deux. Ce ne sont que trois solutions possibles à cette équation différentielle. Il y a en fait un nombre infini, chacun étant défini par la constante 𝐶. Et rappelez-vous que le tracé du champ de vecteurs nous donne une idée du comportement général de la famille de solutions de l’équation différentielle. Avec une valeur initiale, nous pouvons tracer une solution particulière. Et cette solution suit la direction de la pente des segments de droite dans le champ de pente.

Voyons maintenant comment nous pourrions dessiner un champ de vecteurs. Supposons que nous avons l’équation différentielle d𝑦 sur d𝑥 est égal à 𝑥 moins 𝑦, qui est une fonction de 𝑥 et 𝑦. Ce que cela nous dit est que, à tout moment dans le plan 𝑥𝑦, la pente de la solution de l’équation différentielle en ce point est égale à la coordonnée 𝑥 moins la coordonnée 𝑦. Et nous avons tracé une petite droite avec cette pente à ce stade dans le plan 𝑥𝑦. Faisons ceci pour quelques exemples en utilisant notre équation différentielle. Si l’on prend 𝑥 est égal à zéro et 𝑦 égal à un comme notre premier point, la pente d𝑦 sur d𝑥 est égale à 𝑥 moins 𝑦, ce qui est égal à zéro moins un. Et c’est égal à moins un. Donc, la pente à zéro, un est moins un.

Commençons par mettre nos points sur la courbe afin de voir à quoi cela ressemble dans le champ de vecteurs. Au point zéro, notre solution a une pente de moins un. Choisissons notre prochain point 𝑥 est égal à zéro et 𝑦 est égal à zéro. Dans ce cas, d𝑦 sur d𝑥 est égal à zéro moins zéro, ce qui est égal à zéro. Donc, à ce stade, nous avons une droite horizontale qui a une pente de zéro. En choisissant un, zéro comme point suivant, la pente est égale à un moins zéro, qui est un. Au point un, zéro donc, nous avons la pente positive de un. Si nous continuons dans cette voie, le point zéro, moins un, a une pente de un. Le point moins un, zéro a une pente moins un. Le point un, un a une pente de zéro. Et le point moins un, moins un a également une pente de zéro. Si nous continuons ainsi pour beaucoup plus de points dans le plan 𝑥𝑦, nous obtenons le champ de vecteurs. Et ce champ de vecteurs représente l’équation différentielle d𝑦 sur d𝑥 est égal à 𝑥 moins 𝑦.

La solution passant par un point particulier du champ de vecteurs suivra la direction de ces petits segments de droite. Nous disons que c’est la courbe de la solution avec la condition initiale 𝑥 zéro, 𝑦 zéro, où dans ce cas 𝑥 zéro, 𝑦 zéro est égal à moins un, moins un. Quelque chose à noter qu’une courbe de solution inférieure passant par l’un des segments de droite tracés aura la même pente que le segment en ce point. Une solution peut ne pas suivre uniquement les segments tracés. Il est probable qu’il se faufile entre les segments. Rappelez-vous que l’intrigue est la dérivée en une sélection de points. Un champ de vecteurs est donc un moyen de représenter un nombre infini de solutions spécifiques. Et si nous savons que celui que nous recherchons passe par un point particulier, le suivi des droites de pente à partir de ce point trace cette solution particulière.

Regardons un exemple.

Considérons le champ de vecteurs donné représentant une équation différentielle. Si la solution de l’équation différentielle contient le point 𝑆, quel point peut également appartenir à la solution ?

Traçons les courbes solutions à travers chacun des points dans la direction du motif des pentes tracées à travers les segments de droite. Partant du point en question, 𝑆, nous pouvons voir que la courbe de solution pourrait passer par le point 𝐶. Bien que 𝐶 ne se trouve pas exactement sur le segment de droite, il est dans la configuration du champ de pente marquée par une solution à travers le point 𝑆. Donc, le point 𝐶 est un concurrent pour la solution à travers 𝑆. Vérifions également les points 𝐴, 𝐵, 𝐷 et 𝐸. Suivant le modèle du champ de pente par le point 𝐴, la solution ne coïncide pas avec le point 𝑆. Ainsi, le point 𝐴 ne peut pas appartenir à la même solution que 𝑆. Suivant le modèle par le point 𝐵, encore une fois cette solution ne coïncide pas avec le point 𝑆. De même pour le point 𝐷 et aussi pour le point 𝐸, de sorte que seul point 𝐶 pourrait appartenir à une solution contenant le point 𝑆.

Nous avons vu comment dessiner un champ de vecteurs et comment tracer des solutions par un point. Regardons maintenant un exemple où nous avons donné le champ de vecteurs et nous voulons déterminer quelle équation différentielle le représente.

Considérons la courbe du champ de vecteurs donné. Laquelle des équations différentielles suivantes est représentée sur la courbe ? A) 𝑦 prime est 𝑥 plus deux sur 𝑥 moins trois. B) 𝑦 prime est deux moins 𝑥 sur 𝑥 moins trois. C) 𝑦 prime est 𝑥 moins deux plus 𝑥 plus trois. D) 𝑦 prime est 𝑥 plus deux sur trois moins 𝑥. Ou E) 𝑦 prime est égale à 𝑥 moins deux sur 𝑥 moins trois.

Nous pouvons voir que chacune des options a un positif ou moins un au numérateur et un positif ou moins un au dénominateur. Et si nous regardons notre graphique, le comportement de la pente à 𝑥 est négatif et deux 𝑥 est trois positif est tout à fait distinctif. Lorsque 𝑥 est moins deux, les segments de droite du champ de pente sont tous horizontaux. Cela signifie que la pente est égale à zéro. C’est-à-dire que 𝑦 prime est égal à zéro lorsque 𝑥 est moins deux.

Essayons donc 𝑥 est moins deux dans chacune de nos équations possibles et voyons si nous obtenons une correspondance. Si 𝑥 est moins deux dans notre équation A, 𝑦 prime est égal à moins deux plus deux sur moins deux plus trois. C’est égal à zéro sur cinq, ce qui est égal à zéro. Ainsi, l’équation A au point 𝑥 égal moins deux correspond en fait à notre champ de vecteurs. Si l’on regarde l’équation B à 𝑥 est moins deux, nous avons 𝑦 prime est égal à deux moins moins deux sur deux moins trois. C’est égal à quatre sur moins cinq, ce qui n’est pas égal à zéro. Donc, l’équation B ne correspond pas à notre champ de vecteurs pour 𝑥 est moins deux. Et on peut éliminer l’équation B.

Essayons maintenant l’équation C. Pour l’équation C, nous avons 𝑦 prime égal à moins deux moins deux par rapport à moins deux plus trois. C’est égal à moins quatre sur un, ce qui n’est pas égal à zéro. On peut donc éliminer l’équation C. En 𝑥 égal moins deux dans l’équation D, nous avons 𝑦 prime est moins deux plus deux sur trois moins moins deux. C’est égal à zéro sur cinq, ce qui est égal à zéro. L’équation D correspond au champ de pente car 𝑥 est moins deux. Donc, l’équation D reste un concurrent. Dans l’équation E, nous avons 𝑦 prime est égal à deux moins moins deux sur moins deux moins trois. Cela nous donne moins un de quatre sur cinq, qui est de quatre sur cinq. Ce n’est pas égal à zéro. Donc, cela ne correspond pas au champ de pente. Et nous pouvons éliminer l’équation E.

Il ne nous reste maintenant que les équations A et D comme options possibles. Essayons maintenant 𝑥 égal à plus trois dans chacune de ces équations. Si 𝑥 est égal à trois positifs, les deux équations ont un dénominateur de zéro. Cela signifie que les deux équations ne sont pas définies en 𝑥 est égal à trois et ont une pente verticale en ce point. Cela correspond à la pente sur le champ de pente. Nous devrons donc chercher une autre solution ailleurs. Choisissons une autre valeur, disons que 𝑥 est égal à zéro. Lorsque 𝑥 est égal à zéro, chacun des segments de droite du champ de pente a une pente négative. Voyons donc quel est le signe de la pente pour chacune de nos deux équations différentielles restantes, en 𝑥 est égal à zéro.

Dans l’équation A, 𝑦 prime est égal à zéro plus deux sur zéro moins trois, ce qui correspond à deux sur moins trois et est inférieur à zéro. Cela correspond à la pente en 𝑥 est égale à zéro dans notre champ de vecteurs. Donc, l’équation A est toujours un candidat. Dans l’équation D, 𝑦 prime est égal à zéro plus deux sur trois moins zéro. C’est égal à deux sur trois, ce qui est positif. Et cela ne correspond pas à la direction de la pente en 𝑥 est égale à zéro dans notre champ de vecteurs. Nous pouvons donc éliminer l’équation D. Il ne reste que l’équation A. Ainsi, la figure de champ de vecteurs représente l’équation différentielle 𝑦 prime est 𝑥 plus deux plus 𝑥 moins trois.

Dans cet exemple, nous avons reçu un champ de vecteurs. Et nous avons dû ajuster l’équation différentielle appropriée au graphique.

Dans notre exemple suivant, nous commençons par une équation différentielle et nous devons déterminer laquelle des courbes données correspond à l’équation différentielle.

Lequel des éléments suivants est le champ de pente de l’équation différentielle 𝑦 prime est égale à deux 𝑥 plus trois 𝑦 moins cinq.

Nous allons aborder cela par un processus d’élimination. Premièrement, nous allons déterminer un point sur chaque graphique, où 𝑦 prime, la pente, est égal à zéro. C’est un segment de droite plat. Si notre équation différentielle n’est pas égale à zéro en un tel point, nous pouvons alors éliminer la courbe associée. Si nous commençons par la courbe A, d𝑦 sur d𝑥 est égal à zéro au point un, moins un. La pente du graphique A est donc égale à zéro au point un, moins un. Maintenant, si nous substituons 𝑥 est égal à un et 𝑦 est moins un dans notre équation différentielle, nous avons 𝑦 prime est égale à deux fois un plus trois fois moins un moins cinq. C’est égal à deux moins trois moins cinq, ce qui est moins six. Ceci est différent de zéro. Donc, tout de suite, nous pouvons éliminer la courbe A.

Examinons maintenant la courbe B. La courbe B a une pente de zéro lorsque 𝑥 est moins un et que est 𝑦 est moins un. Si nous essayons cela dans notre équation, nous avons 𝑦 prime est égal à deux fois moins un plus trois fois moins un moins cinq. C’est égal à moins deux moins trois moins cinq, ce qui est égal à moins 10. Ceci est différent de zéro, nous pouvons maintenant éliminer la courbe B. Voyons maintenant la courbe C. L’un des points du graphique C, où d𝑦 sur d𝑥 est égal à zéro, est le point trois, deux. Avec 𝑥 est trois et 𝑦 est deux dans notre équation, nous avons 𝑦 prime est deux fois trois plus trois fois deux moins cinq. C’est égal à sept, ce qui est différent de zéro. Et ainsi, nous pouvons éliminer l’équation C. Rappelez-vous, nous essayons de déterminer un graphique avec le point où la pente est égale à zéro et où ce point rend notre équation différentielle égale à zéro.

Regardons la courbe D. La pente est égale à zéro dans la courbe D au point un, un. En substituant 𝑥 égal à un et 𝑦 égal à un dans notre équation différentielle, nous avons 𝑦 prime est égal à deux fois un plus trois fois un moins cinq. C’est égal à deux plus trois moins cinq, ce qui est égal à zéro. Cela correspond à la pente sur la courbe au point un, un. Donc, la courbe D est un candidat. Maintenant, regardons la courbe E. Nous pouvons voir que dans la courbe E, au point un, nous avons une pente de zéro. Nous savons déjà qu’avec la courbe D que le point un, un vérifie notre équation différentielle. Essayons donc un autre point sur la courbe E qui a une pente de zéro. La pente est égale à zéro sur la courbe E au point quatre moins un. Alors essayons ceci dans notre équation différentielle. Nous avons 𝑦 prime est deux fois quatre plus trois fois moins un moins cinq. C’est huit moins trois moins cinq, ce qui est égal à zéro. Jusqu’ici, la courbe E correspond également à notre équation différentielle.

Nous avons maintenant deux concurrents, la courbe D et la courbe E. Revenons donc à la courbe D. Dans la courbe D, la pente est égale à zéro au point un, un. Et cela correspond à notre équation différentielle. La pente est également égale à zéro au point trois, moins deux. Essayons donc ce point dans notre équation différentielle. Nous avons 𝑦 prime est deux fois trois plus trois fois moins deux moins cinq. Cela nous donne six moins six moins cinq. Et cela est égal à moins cinq, ce qui n’est pas zéro. Nous pouvons donc maintenant éliminer la courbe D. La seule courbe sur les cinq qui pourrait correspondre à notre équation différentielle est la courbe E.

Essayons simplement quelques autres points du graphique E avec une pente de zéro et voyons s’ils correspondent à notre équation différentielle. La pente sur la courbe de zéro au point quatre, moins un et 𝑦 prime dans l’équation différentielle est également égale à zéro. La pente sur la courbe est égale à zéro au point moins deux, trois. Et 𝑦 prime est également égal à zéro au point moins deux, trois. Sur nos cinq graphiques alors, on peut dire que la courbe E est la seule courbe qui correspond à l’équation différentielle 𝑦 prime est deux 𝑥 plus trois 𝑦 moins cinq.

Résumons maintenant ce que nous avons vu. Pour une équation différentielle du premier ordre de la forme d𝑦 sur d𝑥 est égal à 𝑓 de 𝑥, 𝑦 ou d𝑦 sur d𝑥 est égal à 𝑓 de 𝑥, ou d𝑦 sur d𝑥 est égal à 𝑓 de 𝑦, nous peut visualiser une solution générale sans résoudre réellement la fonction 𝑦. Nous pouvons le faire en traçant un champ de vecteurs. Pour ce faire, nous puisons nos segments de droite, chacun avec la pente d𝑦 sur d𝑥 en divers points 𝑥, 𝑦 dans le plan 𝑥𝑦. Nous pouvons en déduire une idée du schéma de la solution générale de l’équation différentielle. Et avec une condition initiale, qui est un point de départ 𝑥 zéro, 𝑦 zéro, on peut tracer une solution particulière à travers le champ de vecteurs suivant le sens de la pente des segments de droite.

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