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Vidéo de question : Déterminer l'expression d'une fonction à partir de sa représentation graphique Mathématiques

Déterminez la fonction représentée sur le graphique suivant.

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Transcription de vidéo

Déterminez la fonction représentée sur le graphique suivant. Est-ce (A) 𝑦 est égal à moins 𝑥 moins quatre au cube plus quatre ? Est-ce (B) 𝑦 est égal à 𝑥 moins quatre au cube plus quatre ? Est-ce (C) 𝑦 est égal à moins 𝑥 plus quatre au cube moins quatre ? Est-ce (D) 𝑦 est égal à 𝑥 plus quatre au cube moins quatre ?

Il faut d'abord noter, que la courbe a la forme d'une fonction cubique. Nous pouvons confirmer cela en remarquant que toutes les expressions données ont des puissances de trois pour 𝑥, elles sont donc toutes d'ordre trois. À titre de comparaison, traçons le graphe de 𝑥 au cube, qui est le graphe cubique le plus simple. Pour ce faire, nous plaçons quelques points par lesquels la courbe passe et nous les lions par une courbe. Nous plaçons donc les points moins deux, moins huit; moins un, moins un; zéro, zéro; un, un; et deux, huit. Il faut aussi s'assurer que la courbe est plate à l'origine à cause de la forme de la fonction cubique.

Nous notons que par rapport à la fonction donnée, la fonction 𝑥 au cube est orientée dans la direction opposée. De plus, les courbes ont été translatées vers le bas et vers la gauche. Cela peut être constaté en remarquant que l'origine est maintenant aux points moins quatre, moins quatre. Pour résumer les transformations appliquées à la courbe, nous pouvons distinguer trois étapes. Énumérons-les. Premièrement, le graphique a subi une symétrie par rapport à l'axe des 𝑦, ou de manière équivalente par rapport à l'axe des 𝑥. Ensuite, cette symétrie est suivie d'une translation de quatre unités vers le bas. Finalement, la courbe est déplacée de quatre unités vers la gauche.

Pour vérifier que ces translations sont correctes, il suffit de considérer le déplacement du point d'inflexion de zéro, zéro au point quatre, moins quatre. Cela signifie que si nous déplaçons zéro, zéro vers le bas de quatre unités et vers la gauche de quatre unités, nous arrivons effectivement au nouveau point d'inflexion.

Maintenant, si nous partons de l'équation 𝑦 est égal à 𝑥 au cube, nous nous demandons quel est l'effet de ces transformations sur l'équation. Tout d'abord, la symétrie par rapport à l'axe des 𝑦 entraîne un changement du signe de la fonction. Ainsi, l'équation devient 𝑦 est égal à moins 𝑥 au cube. Nous notons également que si nous considérions plutôt cette fonction comme une symétrie par rapport à l'axe des 𝑥, nous changerions le signe de 𝑥 en moins. Cependant, puisque 𝑥 au cube est une fonction impaire, cela aurait le même effet sur l'équation.

Ensuite, nous étudions l'effet d'un déplacement du graphique de quatre unités vers le bas. Pour ce faire, il faut soustraire quatre de l'équation. La nouvelle équation sera donc 𝑦 est égal à moins 𝑥 au cube moins quatre.

Finalement, une translation de quatre unités vers la gauche équivaut à ajouter quatre à la valeur d'entrée 𝑥. En appliquant cela à notre équation, il faut s'assurer de l'appliquer à la variable 𝑥 elle-même et non à 𝑓 de 𝑥. En procédant ainsi, nous obtenons 𝑦 est égal à moins 𝑥 plus quatre au cube moins quatre.

Pour finir, en comparant cette équation à nos options, nous voyons que cela correspond à l'option (C).

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