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Vidéo de question : Déterminer la distance entre trois points et le centre d’un cercle de rayon connu à partir de la puissance de chaque point par rapport au cercle Mathématiques

La puissance des points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 par rapport au cercle 𝐾 sont respectivement 𝑃_ (𝐾) (𝐴) = 4, 𝑃_ (𝐾) (𝐵) = 14 et 𝑃_ (𝐾) (𝐶) = −1. Le cercle 𝐾 a pour centre 𝑀 et un rayon de 10 cm. Calculez la distance entre 𝑀 et chacun des points.

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Transcription de vidéo

Les puissances des points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 par rapport au cercle 𝐾 sont respectivement 𝑃 𝐾 de 𝐴 égale quatre, 𝑃 𝐾 de 𝐵 égale 14, et 𝑃 𝐾 de 𝐶 égale moins un. Le cercle 𝐾 a pour centre 𝑀 et un rayon de 10 centimètres. Calculez la distance entre 𝑀 et chacun des points.

Rappelons d’abord comment nous calculons la puissance d’un point par rapport à un cercle. Pour un cercle 𝐾 de centre 𝑀 et de rayon 𝑟, la puissance d’un point 𝐴 par rapport à ce cercle est donnée par 𝑃 indice 𝐾 de 𝐴 égale 𝐴𝑀 au carré moins 𝑟 au carré, c’est-à-dire le carré de la distance entre le point 𝐴 et le centre du cercle moins le carré du rayon. On nous a donné les puissances de trois points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 par rapport à ce cercle 𝐾, qui a un rayon de 10 centimètres. Considérons d’abord le point 𝐴 et substituons ce que nous savons dans cette formule.

La puissance du point 𝐴 par rapport à ce cercle est de quatre et le rayon est de 10. Nous avons donc l’équation quatre égale 𝐴𝑀 au carré moins 10 au carré. Cela fait quatre égale 𝐴𝑀 au carré moins 100. Nous ajoutons 100 de chaque côté de cette équation, et nous obtenons 𝐴𝑀 au carré est égal à 104. La longueur 𝐴𝑀 est donc la racine carrée de 104. Et nous ne prenons ici que la valeur positive car 𝐴𝑀 est une longueur. Pour simplifier cette racine, nous recherchons les facteurs carrés de 104. Et nous constatons que 104 est égal à quatre fois 26. La longueur 𝐴𝑀 est donc la racine carrée de quatre fois 26. C’est-à-dire la racine carrée de quatre multipliée par la racine carrée de 26, soit deux racine de 26. Donc en réarrangeant la formule de la puissance d’un point, nous avons trouvé la distance entre le point 𝐴 et le centre du cercle.

Répétons maintenant ce processus pour les points 𝐵 et 𝐶. La puissance du point 𝐵 par rapport au cercle est de 14, nous avons donc l’équation 14 égale 𝐵𝑀 au carré moins 10 au carré. Cela nous donne 14 égale 𝐵𝑀 au carré moins 100. Et en ajoutant 100 de chaque côté, nous obtenons 𝐵𝑀 au carré est égal à 114. La longueur 𝐵𝑀 est alors égale à la racine carrée de 114. Et comme 114 n’a pas de facteurs carrés autres que un, cette valeur ne peut pas être simplifiée.

Enfin, considérons le point 𝐶. La puissance du point 𝐶 par rapport au cercle est moins un. Nous avons donc l’équation moins un égale 𝐶𝑀 au carré moins 10 au carré. Cela peut être réarrangé en 99 égale 𝐶𝑀 au carré. Puis en prenant la racine carrée de chaque côté de cette équation, nous constatons que 𝐶𝑀 est égal à la racine carrée de 99. En recherchant les facteurs carrés de 99, nous constatons que 99 est égal à neuf multiplié par 11. Donc 𝐶𝑀 est la racine carrée de neuf fois 11, soit la racine carrée de neuf fois la racine carrée de 11, et cela est égal à trois racine de 11.

Nous avons maintenant trouvé la distance entre 𝑀 et chacun de ces trois points. La longueur 𝐴𝑀 est égale à deux racine de 26 centimètres. La longueur 𝐵𝑀 est égale à la racine carrée de 114 centimètres. Et la longueur 𝐶𝑀 est égale à trois racine de 11 centimètres. On peut aussi déduire du signe de la puissance de chaque point sa position par rapport au cercle. Si la puissance d’un point 𝐴 par rapport à un cercle 𝐾 est positive, le point se situe en dehors du cercle. Si la puissance du point 𝐴 par rapport au cercle 𝐾 est égale à zéro, alors le point se trouve sur le cercle, et si la puissance du point 𝐴 par rapport au cercle 𝐾 est négative, le point se trouve à l’intérieur du cercle.

Comme les puissances des points 𝐴 et 𝐵 sont quatre et 14, toutes positives, ces deux points se trouvent en dehors du cercle, alors que la puissance du point 𝐶 étant moins un, une valeur négative, ce point se trouve à l’intérieur du cercle. Nous pouvons en outre confirmer cela si nous calculons les valeurs décimales des longueurs de 𝐴𝑀, 𝐵𝑀 et 𝐶𝑀. À un chiffre après la virgule, ces longueurs sont 10,2, 10,7 et 9,9. Comme les longueurs de 𝐴𝑀 et 𝐵𝑀 sont supérieures à 10, le rayon du cercle, cela confirme que les points 𝐴 et 𝐵 sont tous deux à l’extérieur du cercle, alors que la longueur de 𝐶𝑀 étant inférieure à 10, cela confirme que le point 𝐶 est à l’intérieur du cercle. Cela est utile pour notre compréhension, mais ce n’était pas réellement requis dans la question.

Notre réponse au problème est que la longueur 𝐴𝑀 est égale à deux racine de 26 centimètres. La longueur 𝐵𝑀 est égale à la racine carrée de 114 centimètres. Et la longueur 𝐶𝑀 est égale à trois racine de 11 centimètres.

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