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Vidéo de la leçon: Introduction au vocabulaire des probabilités Mathématiques

Nous expliquons le vocabulaire de niveau introductif et la notation de base des probabilités, y compris des termes comme expériences, issues, dépendants, biais et disjoints.

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Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons expliquer le sens de certains termes et la notation utilisée en probabilité.

Une expérience est une activité avec une issue identifiable. Par exemple, si nous avons un dé à six faces et que nous le roulons sur la table afin qu’il atterrisse avec l’un des nombres vers le haut, nous pourrions dire que lancer les dés est une expérience. Une expérience scientifique est une procédure qui vise à faire une découverte ou à tester une hypothèse. Mais une expérience de probabilité est un peu différente de cela. C’est une procédure spécifique que nous pouvons répéter exactement aussi souvent que nous le souhaitons, et l’ensemble des résultats possibles aléatoires est toujours le même. Certains autres exemples d’expériences probabilistes pourraient être de retourner une pièce pour voir si elle atterrit face ou face, ou de choisir un disque au hasard dans un sac contenant une variété de disques colorés.

Une issue est un résultat spécifique d’une expérience, et l’ensemble de tous les résultats possibles est appelé l’espace d’échantillonnage. Par exemple, lorsque nous lançons un dé à six faces normal, l’un des résultats sera qu’il atterrira avec le numéro un face visible. Un autre résultat serait d’atterrir deux face visible, et ainsi de suite avec toutes ces différentes possibilités. Comme nous l’avons dit, l’espace d’échantillonnage est l’ensemble de tous les résultats possibles, nous l’écrivons donc en utilisant la notation d’ensemble. Dans ce cas, ce sont tous les nombres énumérés : un, deux, trois, quatre, cinq, six. Et il s’agit d’un ensemble exhaustif d’issues, car il couvre tous les résultats possibles.

Un événement est un sous-ensemble particulier de l’espace échantillon. Ainsi, par exemple, en lançant un dé, un événement simple peut être un ou un trois. Mais nous pouvons définir des événements plus complexes qui constituent des sous-ensembles plus importants de l’espace d’échantillonnage, comme obtenir un nombre pair, ou obtenir un nombre premier, ou obtenir un multiple de trois, et ainsi de suite.

Nous mesurons la probabilité qu’une issue ou un événement se produise en utilisant l’échelle de probabilité, qui est une échelle continue de zéro, ce qui représente une situation impossible, jusqu’à un, ce qui représente quelque chose qui est certain de se produire. Ainsi, par exemple, une probabilité de moitié est quelque chose qui se produira la moitié du temps que nous menons l’expérience. Nous pouvons utiliser des fractions ou des décimales pour représenter ces nombres entre zéro et un. Il est également acceptable d’utiliser des pourcentages pour représenter la possibilité - l’échelle de probabilité, donc de zéro à cent pour cent au lieu de zéro à un. Mais vous devez également y inclure le signe de pourcentage.

Ainsi, un résultat important est que si 𝑃 représente la probabilité qu’un événement se produise, il doit être compris entre zéro et un. Nous pouvons donc représenter qu’en utilisant cette inégalité, zéro est inférieur ou égal à 𝑃 est inférieur ou égal à un.

Il y a un élément important de notation que nous utilisons couramment pour représenter les probabilités, et cela nous fait économiser beaucoup d’écriture. Ainsi, par exemple, au lieu d’écrire la probabilité d’obtenir un cinq lorsque je lance un dé à six faces équitable est un sixième, je peux simplement écrire 𝑃 parenthèses cinq est égal à un sixième parce que la façon abrégée d’écrire la même chose que tous les mathématiciens comprendra.

Un modèle de probabilité est une description mathématique d’un événement qui répertorie tous les résultats possibles ainsi que leurs probabilités. Cela peut être résumé dans un tableau. Par exemple, si un sac contient neuf disques similaires, deux qui sont rouges, trois qui sont bleus et quatre qui sont verts, si nous en tirons un au hasard, chaque disque individuel est également susceptible d’être sélectionné. Donc, il y a neuf disques là-dedans au total, et je vais juste choisir un disque sur cela. Alors, combien y a-t-il de façons d’obtenir des disques rouges ? Eh bien, il y a deux façons sur neuf d’obtenir un disque rouge. La probabilité d’un disque rouge est donc de deux sur neuf. Il y a trois disques bleus sur neuf, donc la probabilité d’obtenir un disque bleu est de trois sur neuf. Et pour un disque vert, il y a quatre façons d’extraire un disque vert des neuf possibles. La probabilité de dessiner un disque vert est donc de quatre neuvièmes. Ce sont donc les probabilités de ces différentes issues.

Remarquez comment nous avons écrit la probabilité du disque bleu comme trois sur neuf, trois neuvièmes. Nous aurions pu simplifier cela à la fraction équivalente d’un tiers, mais nous n’avons pas à le faire. En fait, trois sur neuf nous indiquent combien de façons de sélectionner un disque bleu et combien de disques il y a au total dans le sac. C’est donc plus informatif que de simplifier la fraction au tiers. Notez également que le tableau répertorie tous les résultats possibles pour l’expérience. Donc, la somme des probabilités doit être un, un de ces résultats va certainement se produire. Ce tableau représente donc un modèle de probabilité.

Lorsque nous lançons un dé régulier, les issues possibles sont un, deux, trois, quatre, cinq ou six. Et toutes ces issues sont également susceptibles de se produire. Telle est la définition de la juste probabilité.

Lorsqu’une ou plusieurs issues sont plus ou moins susceptibles de se produire que d’autres, nous appelons l’expérience biaisée. Par exemple, lorsque vous achetez un billet de loterie, ce sera soit un billet gagnant, soit un billet perdant. Il y a deux issues possibles. Mais dans la plupart des loteries, la probabilité de perte du ticket est bien supérieure à la probabilité de victoire. Faire la loterie est donc biaisé ; vous êtes plus susceptible de perdre que de gagner.

Il y a des expériences que nous ne connaissons pas la probabilité que chaque issue se produise avant de les essayer. Par exemple, si nous déposons une épingle à dessin sur le sol d’une hauteur de, disons, un mètre, lorsqu’elle atterrit et se stabilise, l’épingle sera dirigée vers le haut ou vers le bas. Mais nous ne connaissons pas la probabilité théorique que l’un ou l’autre des scénarios se produise. Dans ce cas, nous pouvons effectuer l’expérience de nombreuses fois et enregistrer les résultats. Nous pouvons alors utiliser la proportion d’occasions où chaque résultat s’est produit, comme une estimation de la probabilité de l’issue. Nous appelons cette proportion la fréquence relative, ou parfois la probabilité expérimentale de chaque issue. Plus nous répétons l’expérience, plus nous sommes convaincus que nos fréquences relatives sont une estimation fiable des probabilités réelles de chaque issue. Donc, dans ce cas, nous avons fait mille essais de l’expérience et la broche a atterri à six cent trente-deux fois et a baissé à trois cent soixante-huit fois. Donc, notre estimation de la probabilité d’atterrissage de la broche est de six trois deux sur mille, et l’estimation de la probabilité de l’atterrissage de la broche est de trois six huit sur mille. Ces fréquences relatives, ces proportions d’occasions où ces choses se produisent, sont nos estimations des probabilités réelles de ces issues.

Probabilité indépendante. On dit que deux événements sont indépendants si la réalisation de l’un n’a aucun effet sur la réalisation de l’autre. Par exemple, si nous lançons une pièce, elle peut atterrir face ou face, et la probabilité de chacune d’entre elles est de moitié. Si nous lançons un dé équitable, les issues sont un, deux, trois, quatre, cinq ou six. Et encore une fois, ils ont tous des probabilités égales d’un sixième. Chacune de ces deux choses, lancer une pièce ou lancer un dé juste, est indépendante. La probabilité d’obtenir un, deux, trois, quatre, ou cinq ou six sur un dé n’est pas affectée par le fait que la pièce tombe face ou face dans l’autre expérience. Autrement dit, ces deux expériences sont indépendantes car si nous connaissons le résultat de l’un, cela ne change pas les probabilités des résultats de l’autre.

D’accord. Donc, dans une expérience où nous jetons un dé juste, c’est notre modèle de probabilité. Il y a six issues possibles, un, deux, trois, quatre, cinq, six et les probabilités de tous les six. Et nous l’avons vu plusieurs fois auparavant. Définissons maintenant deux événements. Dans le premier événement, le résultat était un nombre pair, il aurait donc pu s’agir de deux, de quatre ou de six. Et l’événement numéro deux est l’endroit où le résultat était un nombre premier, donc cela aurait pu être un deux ou un trois ou un cinq. Or, ces deux événements ne sont pas des événements indépendants. N’oubliez pas, nous avons dit que deux événements sont indépendants si la connaissance du résultat de l’un n’affecte pas les probabilités des résultats de l’autre. Ce n’est pas le cas ici parce que si nous savons que le résultat était pair, nous savons que le nombre qui est venu avec deux ou quatre ou six. Donc, si nous savons que nous en avons deux, quatre ou six, quelle est la probabilité que le résultat soit un nombre premier ? Eh bien, un seul de ces trois est un nombre premier. Le résultat serait donc que la probabilité d’être premier ne serait que d’un tiers. Si nous ne savions pas que l’événement s’était produit, que le résultat était pair, nous ne savions donc pas que c’était impair ou pair, il y a trois possibilités différentes pour les nombres premiers. Ainsi, la probabilité qu’il s’agisse d’un nombre premier est de trois des six résultats possibles, serait de moitié. Donc, connaître le résultat d’un événement affecte la probabilité d’un autre événement. Maintenant, cela ne s’est pas produit dans notre dernier exemple parce que si nous connaissions le résultat sur un dé, cela ne nous disait rien sur le résultat du retournement d’une pièce. Ces deux choses étaient complètement indépendantes. Les probabilités dépendantes et indépendantes deviendront donc très importantes lorsque vous commencerez à aborder des questions plus compliquées.

Lorsque deux événements ne peuvent pas se produire en même temps, nous appelons les événements disjoints. Par exemple, supposons que nous générons de manière aléatoire un entier de un à dix, inclus. Les événements, c’est un multiple de deux et c’est un facteur de neuf, s’excluent mutuellement car il n’y a pas de multiples de deux qui sont aussi des facteurs de neuf. Si vous savez que le nombre généré est un multiple de deux, il ne peut pas être un facteur de neuf, et vice versa. Ainsi, les événements un et deux s’excluent mutuellement parce que si c’est un multiple de deux, alors la probabilité qu’il soit un facteur de neuf est nulle. Et si c’est un facteur de neuf, alors la probabilité que ce soit un multiple de deux est également nulle.

Un autre exemple de cela pourrait être lorsque vous lancez un dé, en pensant aux nombres impairs ou pairs. S’il s’agit d’un nombre impair, il ne peut pas être un nombre pair. S’il s’agit d’un nombre pair, il ne peut pas s’agir d’un nombre impair. Donc, ces deux choses, paires et impaires, sont des résultats disjoints de cette expérience.

Voici donc une liste du vocabulaire des probabilités que vous devriez maintenant comprendre, grâce à la lecture de cette vidéo. Espérons que vous le trouverez utile.

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