Vidéo de la leçon: Développement binomial

Transcription de la vidéo

Développement binomial Il y avait un célèbre mathématicien français appelé Blaise Pascal, et il est venu avec ce modèle appelé triangle de Pascal, nommé d’après lui-même. Donc, si nous commençons par un, c’est notre première ligne, donc nous appellerons cette ligne 𝑛 égale zéro.

Maintenant sous un, je vais en écrire deux autres un. Et nous avons ces deux nombres en ajoutant les deux nombres au-dessus d’eux, donc en regardant le premier, nous avons ajouté un et zéro ensemble pour en obtenir un. Et puis en regardant le deuxième, la même chose. Nous avons également ajouté un et zéro.

Maintenant, cette ligne est notre ligne 𝑛 est égal à un. En regardant la ligne suivante, nous pouvons voir exactement quel nombre va passer sous les deux plus, parce que nous allons les ajouter ensemble et nous aurons deux.

Et puis de chaque côté des deux, nous ajoutons zéro sur un, donc nous allons en obtenir un de chaque côté des deux. C’est le terme 𝑛 est égal à deux.

Et passer à la ligne suivante, en ajoutant deux et un ensemble deux fois nous donne trois. Vous devriez maintenant avoir déterminé ce qui va se passer de chaque côté des trois : un, bien. Donc, à chaque fois, nous ajoutons simplement les deux nombres en haut pour nous donner le nombre suivant. Donc, de nouveau en descendant de notre 𝑛 est égal à trois à 𝑛 est égal à quatre.

Alors tout d’abord, nous allons avoir une de chaque côté, puis un plus trois est quatre, trois plus trois est six, et trois un plus est quatre.

Cela semble probablement un peu étrange en ce moment, disant pourquoi faites-vous juste un triangle et ajoutez-vous des choses ci-dessus pour descendre les rangées ? Mais vous devriez pouvoir voir que nous pourrions continuer pour l’infini. C’est juste jusqu’à la ligne 𝑛 ; nous pourrions continuer indéfiniment. Permettez-moi de vous montrer comment nous allons l’utiliser.

L’une des façons dont nous l’utilisons est de développer les parenthèses. Donc, si j’ai 𝑥 plus 𝑦 tout à la puissance zéro, nous savons que tout à la puissance zéro est juste un. Que diriez-vous de 𝑥 plus 𝑦 à la puissance un ? Bien que ce va être 𝑥 plus 𝑦. Je ne le ferais pas d’habitude mais à cette occasion je vais écrire les coefficients un.

Bon, essayons 𝑥 plus 𝑦 le tout au carré. Nous savons que c’est la même chose que 𝑥 plus 𝑦 le tout multiplié par 𝑥 plus 𝑦, alors faisons-le sur le côté. En multipliant à l’aide de FOIL, nous ferons les premiers termes, donc 𝑥 multiplié par 𝑥 nous donne 𝑥 au carré.

L’extérieur est 𝑥 multiplié par 𝑦, ce qui nous donne 𝑥𝑦. À l’intérieur qui est 𝑦 multiplié par 𝑥, nous donne 𝑥𝑦. Et le dernier qui est 𝑦 multiplié par 𝑦, nous donnant 𝑦 au carré.

Nous pouvons donc rassembler ces termes similaires en nous donnant 𝑥 au carré plus deux 𝑥𝑦 plus 𝑦 au carré. Et puis si nous l’écrivons là où nous étions à l’origine. Nous ferons une autre multiplication ; on va avoir 𝑥 plus 𝑦 le tout au cube. Donc, ce que nous savons est tout 𝑥, plus 𝑦 multiplié par tous 𝑥, plus 𝑦 multiplié par tous 𝑥, plus 𝑦, mais nous avons déjà fait 𝑥, plus 𝑦 tout carré, donc nous allons prendre et multiplier par 𝑥 plus 𝑦 à nouveau.

Donc, pour ce faire, nous allons prendre chaque terme dans le premier ensemble de parenthèses et les multiplier par 𝑥. Et puis nous allons ajouter à cela tout dans le premier ensemble de parenthèses multiplié par 𝑦.

Bon maintenant et si nous collectons les termes similaires, nous pouvons voir que nous avons deux 𝑥 au carré 𝑦, puis nous avons un autre 𝑥 au carré 𝑦, nous aurons donc trois 𝑥 au carré 𝑦. Nous avons un 𝑥𝑦 au carré et deux autres 𝑥𝑦 au carré. Donc, en ajoutant cela ensemble, nous aurons trois 𝑥𝑦 au carré, puis enfin un 𝑦 cube.

D’accord alors écrivons ceci en arrière où les autres sont. J’espère donc que vous auriez dû commencer à remarquer quelque chose. Si nous regardons tous les nombres en bleu pour nos extensions et les nombres dans le triangle de Pascal, vous devriez pouvoir voir qu’ils sont exactement les mêmes. Et si vous regardez les puissances pour chacune des extensions, la première est à la puissance zéro. Rappelez-vous que j’ai dit que 𝑛 est égal à zéro, cette ligne supérieure ? Et puis le suivant, nous avons la possibilité d’en développer un. C’est la ligne de 𝑛 est égal à un, et ainsi de suite et ainsi de suite, de sorte que 𝑛 parle réellement de ce que nous mettons nos parenthèses en puissance. Maintenant, nous allons essayer. Je vais vous montrer ce qu’est le théorème du développement binomial, et nous pouvons voir comment nous pourrions l’appliquer et appliquer maintenant notre connaissance du triangle de Pascal pour nous aider à développer de très grandes parenthèses sans avoir à passer par tous les tracas que nous venons de voir alors.

Ainsi, le théorème binomial est, 𝑎 plus 𝑏 le tout à la puissance 𝑛 est égal à la somme de 𝑘 est égal à zéro à 𝑛 de 𝑛 choix 𝑘 multiplié par 𝑎 à la puissance 𝑛 moins 𝑘 multiplié par 𝑏 à la puissance 𝑘.

Cela semble un peu déroutant. Voyons donc ce que cela signifie. Cela signifie donc 𝑛 choix zéro multiplié par 𝑎 à la puissance 𝑛 plus 𝑛 choix un multiplié par 𝑎 à la puissance 𝑛 moins un multiplié par 𝑏 à la puissance un plus chaque terme entre les deux, puis 𝑛 choix 𝑛 moins un tout multiplié par 𝑎 à la puissance un tout multiplié par 𝑏 à la puissance sur 𝑛 moins un plus 𝑛 choix 𝑛 multiplié par 𝑏 à la puissance 𝑛.

Donc, dans nos calculatrices, nous pouvons mettre 𝑛 choix n’importe quel nombre, et c’est généralement un bouton qui ressemble à ceci, selon la calculatrice dont vous disposez. Mais si nous n’avons pas une calculatrice, nous pouvons soit utiliser le triangle de Pascal pour nous donner le 𝑛 choix ce que nous recherchons ou nous pouvons utiliser factorielle, où 𝑛 choix 𝑘 est égal à 𝑛 factorielle tout divisé par tous 𝑛 moins 𝑘 le tout factorielle multipliés par 𝑘 factorielle. Dans cette vidéo, nous allons nous concentrer sur ce qui se passerait si nous utilisions notre calculatrice et aussi le triangle de Pascal, mais vous pouvez appliquer cela, ce que nous venons de montrer là, où 𝑛 choix 𝑘 avec des factorielles, à l’un des exemples que nous faisons.

Développez 𝑥 plus deux 𝑦 le tout à la puissance cinq en utilisant le développement binomial. Bon alors appliquons l’extension ; nous aurons cinq choix zéro multiplié par 𝑥 à la puissance cinq plus cinq choix un multiplié par 𝑥 à la puissance quatre multiplié par deux 𝑦 à la puissance un.

Nous pouvons donc voir ici que nos puissances en 𝑥 vont diminuer d’une fois à chaque fois, et nos puissances en 𝑦 vont augmenter d’une fois à chaque fois. Alors la prochaine fois, nous en aurons cinq choix deux multipliés par 𝑥 au cube multipliés par deux 𝑦 le tout au carré plus cinq choix trois multipliés par 𝑥 au carré multipliés par deux 𝑦 le tout au cube.

Nous devrons aller sur une autre ligne pour cela. Je finis toujours par les faire avec un développement binomial. C’est cinq choix quatre 𝑥 à la puissance un donc 𝑥, tous multipliés par deux 𝑦 à la puissance quatre.

Et puis notre dernier terme cinq choix cinq, maintenant 𝑥 parce que ce sera 𝑥 à une puissance de zéro, puis multiplié par deux 𝑦 le tout à la puissance cinq.

Donc, avant de commencer à calculer quoi que ce soit, regardons simplement ce que nous avons fait. Nous pouvons voir que chaque fois que nous avons 𝑛 est égal à cinq ; nous choisissons ensuite un nombre qui augmente à chaque fois jusqu’à ce que nous arrivions à cinq. Nous pouvons voir que les puissances de 𝑥 diminuent de un fois à chaque fois et les puissances 𝑦 augmentent de un à chaque fois. Maintenant, essayez de le calculer, vous pouvez mettre votre calculatrice comme je l’ai dit en utilisant le bouton cinq choix zéro, cinq choix un, et cetera. Je vais juste saisir la cinquième ligne du triangle de Pascal, qui, si vous vous souvenez de la quatrième ligne était un quatre six quatre un, mais en ajoutant les deux chiffres ci-dessus, nous allons obtenir un, cinq, dix, dix, cinq et un.

Ce seront les valeurs de tous nos 𝑛 choix 𝑟 individuellement. Donc, d’abord, nous en avons un multiplié par 𝑥 à la puissance cinq, donc c’est juste 𝑥 à la puissance cinq. Puis cinq choix un qui fait cinq. Multipliant cela par deux 𝑥 à la puissance quatre et 𝑦.

Ensuite, nous pouvons voir que les cinq choix deux donnent dix. Nous allons multiplier par deux au carré, nous savons que deux au carré est de quatre, et 𝑥 cube et 𝑦 au carré, et cinq choix de trois, nous avons une dizaine.

En multipliant cela par deux au cube, deux au cube font huit, puis par 𝑥 au carré et 𝑦 au cube. Et cinq choix quatre, nous pouvons voir cinq. Multipliant cela par deux à la puissance quatre qui est seize, et 𝑥 et 𝑦 à la puissance quatre.

Ensuite, pour notre dernier terme, nous pouvons voir cinq choix cinq est un, et nous multiplions cela par deux à la puissance cinq, qui est de trente-deux 𝑦 à la puissance cinq.

D’accord, et si nous découvrons tous les nombres ici, nous avons 𝑥 à la puissance cinq plus dix 𝑥 à la puissance quatre 𝑦 plus quarante 𝑥 au cube 𝑦 au carré plus quatre-vingts 𝑥 au carré 𝑦 au cube plus quatre-vingts 𝑥𝑦 à la puissance quatre plus trente-deux 𝑦 à la puissance cinq. Et nous avons élargi cette parenthèse en utilisant le développement binomial, et c’est beaucoup plus rapide que si nous avions dû faire chacune de ces multiplications hors des parenthèses individuellement.

Mais que se passe-t-il si dans une question on ne nous demande pas le tout ? Et si on nous demandait un seul terme ?

Quel est le quatrième terme du développement deux 𝑥 moins trois le tout à la puissance huit ? Alors, tout d’abord, pensez aux choses que nous devons faire. Tout d’abord, nous devons faire la somme 𝑛 choix 𝑟. Nous savons que le 𝑛 sera huit et le 𝑟 sera trois.

Comme si nous nous souvenions que 𝑟 part de zéro, le quatrième terme deviendrait zéro un deux trois, donc trois serait le quatrième terme. Ceci est alors capable de nous dire la puissance de deux 𝑥 ; on va mettre deux 𝑥 à la puissance cinq parce que c’est deux 𝑥 à la puissance huit moins trois.

Et puis nous savons que ce sera moins trois le tout à la puissance trois, car c’est notre 𝑟. Donc, si vous en mettez huit choix trois dans une calculatrice, vous obtenez une réponse de cinquante-six.

Vous allez multiplier cela par deux à la puissance cinq, que nous savons être trente-deux, et moins trois à la puissance trois, que nous savons être moins vingt-sept. Bien sûr, n’oubliez pas 𝑥 à la puissance cinq.

Donc, si nous les multiplions dans nos calculatrices, nous obtenons un nombre assez élevé de moins quarante-huit mille trois cent quatre-vingt-quatre 𝑥 à la puissance cinq.

Nous y voilà donc. Pour trouver des termes individuels, nous devons être sûrs du 𝑛 et du 𝑟. Pour trouver le 𝑛, cela sera la puissance à laquelle on élèvera les parenthèses. Donc dans ce cas, c’est huit. Et enfin 𝑟 va être un moins que le nombre de termes que nous voulons.

Donc en résumé, nous avons utilisé le triangle de Pascal et le théorème binomial pour nous aider à réaliser le développement binomial de très grandes parenthèses. Et le théorème binomial, cette formule, est particulièrement utile si nous voulons trouver uniquement des termes individuels, car si nous ignorons la somme, c’est exactement ce que nous utiliserons.