Vidéo : Estimation des dérivées

Dans cette vidéo, nous apprendrons à utiliser des méthodes numériques et graphiques pour estimer la dérivée d’une fonction.

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Transcription de vidéo

Estimation des dérivées.

Dans cette vidéo, nous apprendrons à utiliser des méthodes numériques et graphiques pour estimer la dérivée d’une fonction. Nous examinerons des exemples du fonctionnement de ces deux méthodes. Nous commencerons par examiner la méthode numérique d’estimation d’une dérivée.

Dans ces types de questions, il nous sera demandé d’estimer 𝑓 prime de 𝑎 pour certains 𝑎, où 𝑓 prime est la dérivée de 𝑓 par rapport à 𝑥. Nous allons également donné quelques 𝑓 de 𝑥 valeurs pour des valeurs 𝑥 autour 𝑎 et notamment 𝑎. Nous utiliserons ces 𝑓 de 𝑥 valeurs ainsi que leur valeur correspondante 𝑥 afin d’estimer la dérivée en 𝑎. Et la façon dont nous allons le faire est d’utiliser le fait que la fonction dérivée est la fonction pente. Et donc, pour estimer la dérivée, nous estimons simplement la pente de la fonction. Nous allons maintenant couvrir la façon dont nous procédons.

Donc, si nous essayons de trouver la dérivée de 𝑓 en 𝑎 et que nous avons reçu les valeurs de 𝑓 de 𝑎, 𝑓 de 𝑏 et 𝑓 de 𝑐, où 𝑏 est inférieur à 𝑎 qui est inférieur à 𝑐, alors nous peut utiliser ces trois valeurs 𝑓 avec les trois valeurs 𝑥 pour estimer la pente de chaque côté de 𝑎. Nous savons que la pente est égale à la variation de 𝑦 par rapport à la variation de 𝑥. Nous pouvons utiliser nos valeurs 𝑓 pour la variation de 𝑦 et les valeurs 𝑥 correspondantes pour la variation de 𝑥. En utilisant ces valeurs, nous pouvons estimer la pente à gauche et à droite de 𝑎. Maintenant, rappelez-vous, ce ne sont que des estimations puisque nous utilisons la pente d’une droite afin d’estimer la pente d’une courbe. On peut dire que la pente à gauche de 𝑎 est à peu près égale à 𝑓 de 𝑎 moins 𝑓 de 𝑏 sur 𝑎 moins 𝑏. Et la pente à droite de 𝑎 est à peu près égale à 𝑓 de 𝑐 moins 𝑓 de 𝑎 sur 𝑐 moins 𝑎.

Maintenant que nous avons estimé la pente à gauche et à droite de 𝑎, nous pouvons estimer la pente à 𝑎 en prenant la moyenne de ces deux pentes. Nous pouvons trouver la moyenne en additionnant ces deux pentes et en les divisant par deux. Par conséquent, nous formons une équation pour estimer la dérivée de 𝑓 à 𝑎. C’est que 𝑓 prime de 𝑎 est à peu près égal à 𝑓 de 𝑎 moins 𝑓 de 𝑏 sur 𝑎 moins 𝑏 plus 𝑓 de 𝑐 moins 𝑓 de 𝑎 sur 𝑐 moins 𝑎 sur deux. Or, cette estimation pour 𝑓 prime de 𝑎 sera d’autant plus précise que les valeurs de 𝑏 et 𝑐 seront proches de 𝑎. Cependant, il est crucial que nos valeurs de 𝑏 et 𝑐 soient de chaque côté de 𝑎.

Voyons maintenant un exemple de la façon dont cette méthode peut être utilisée.

Étant donné que 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑥 est une fonction pour quatre valeurs connues, où 𝑓 de deux est égal à trois, 𝑓 de six est égal à 3.75, 𝑓 de sept est égal à quatre et 𝑓 de 11 est égal à 4.25, estimez 𝑓 prime de sept.

Dans cette question, on nous a demandé d’estimer la dérivée de 𝑓 à sept et on nous a donné 𝑓 de 𝑥 près de sept. Par conséquent, nous pouvons utiliser la méthode numérique afin d’estimer cette dérivée. Nous avons que 𝑓 prime de 𝑎 est à peu près égal à 𝑓 de 𝑎 moins 𝑓 de 𝑏 sur 𝑎 moins 𝑏 plus 𝑓 de 𝑐 moins 𝑓 de 𝑎 sur 𝑐 moins 𝑎 sur deux, où 𝑏 est inférieur à 𝑎, qui est inférieur à 𝑐. Et nous voulons choisir les valeurs les plus proches possibles de 𝑎 pour 𝑏 et 𝑐. Dans notre cas, puisque nous essayons de trouver 𝑓 prime de sept, 𝑎 est égal à sept. Et les valeurs de 𝑥 les plus proches de chaque côté de sept, pour lesquelles on nous a donné leurs valeurs 𝑓, sont six et 11. Nous pouvons donc poser six égal à 𝑏 et 11 être égal à 𝑐.

Ensuite, nous pouvons simplement remplacer ces valeurs dans notre formule. Nous avons que 𝑓 prime de sept est à peu près égal à 𝑓 de sept moins 𝑓 de six sur sept moins six plus 𝑓 de 11 moins 𝑓 de sept sur 11 moins sept sur deux. Maintenant, nous connaissons les valeurs de 𝑓 de six, 𝑓 de sept et 𝑓 de 11 puisqu’elles nous ont été données dans la question. Nous pouvons donc remplacer ces valeurs dans, ce qui nous laisse avec cela. Et ensuite, nous pouvons simplifier les fractions dans le numérateur pour nous donner 0.25 sur un plus 0.25 sur quatre sur deux.

Maintenant, nous pouvons écrire 0.25 sur un comme 0.25. Et nous pouvons écrire 0.25 sur quatre comme un quart multiplié par 0.25. Ensuite, nous pouvons réécrire les 0.25 comme un quart. Et ensuite, nous pouvons multiplier, puis ajouter les deux fractions dans le numérateur et enfin diviser cinq sur 16 par deux pour nous donner que 𝑓 prime de sept est à peu près égal à cinq sur 32. Notre solution peut également être écrite sous forme décimale comme 𝑓 prime de sept est approximativement égal à 0.15625.

Maintenant, avant de passer à l’exemple suivant, examinons de plus près ce que nous faisons réellement ici. Ce graphique montre la fonction 𝑓 de 𝑥. Disons qu’une question nous a demandé d’estimer la dérivée de 𝑓 à 𝑎. Maintenant, dans cette question, on ne nous a pas réellement donné cette courbe de 𝑓 de 𝑥. Cependant, on nous a donné la valeur de 𝑓 de a. Et nous avons également reçu deux autres valeurs 𝑓 : 𝑓 de 𝑏 et 𝑓 de 𝑐 telles que 𝑏 est inférieur à 𝑎 et 𝑐 est supérieur à 𝑎. Lorsque nous utilisons notre méthode numérique pour estimer la dérivée à 𝑎, nous estimons la pente à gauche de 𝑎 en trouvant la pente de la droite allant du point 𝑏, 𝑓 de 𝑏 à 𝑎, 𝑓 de 𝑎.

Et nous faisons une méthode similaire pour estimer la pente à droite de 𝑎. Nous trouvons la pente entre les points 𝑎, 𝑓 de 𝑎 et 𝑐, 𝑓 de 𝑐. Et ce sont nos calculs de 𝑓 de 𝑎 moins 𝑓 de 𝑏 sur 𝑎 moins 𝑏 et 𝑓 de 𝑐 moins 𝑓 de 𝑎 sur 𝑐 moins 𝑎. Ensuite, dans notre dernière étape d’estimation de la dérivée, nous prenons simplement la moyenne de ces deux pentes. Et c’est ce qui nous donne notre estimation de 𝑓 prime de 𝑎.

Passons maintenant à notre deuxième exemple impliquant une table.

Utilisez le tableau pour estimer 𝑓 prime de six.

Ici, on nous a demandé d’estimer la dérivée de 𝑓 en six. Et nous avons donné quelques valeurs 𝑥 le long de leur valeur correspondante 𝑓 autour de six et aussi six. Par conséquent, nous pouvons utiliser notre formule pour la méthode numérique d’estimation d’une dérivée, qui nous dit que la dérivée de 𝑓 à 𝑎 est à peu près égale à la moyenne des pentes à gauche et à droite de 𝑎. Maintenant, pour cette formule, 𝑏 doit être inférieur à 𝑎 qui est inférieur à 𝑐. Et nous devons choisir des valeurs de 𝑏 et 𝑐 aussi proches de 𝑎 que possible de telle sorte que 𝑏 et 𝑐 soient de chaque côté de 𝑎.

Dans notre cas, la valeur de 𝑎 est six et la valeur la plus proche 𝑥 à gauche et à droite de six ans, que nous avons donné, sont quatre et huit. Par conséquent, quatre est égal à 𝑏 et huit est égal à 𝑐. Maintenant que nous avons nos valeurs pour 𝑎, 𝑏 et 𝑐, nous pouvons simplement les remplacer dans notre formule. Nous avons que 𝑓 prime de six est à peu près égal à 𝑓 de six moins 𝑓 de quatre sur six moins quatre plus 𝑓 de huit moins 𝑓 de six sur huit moins six sur deux. Ensuite, nous pouvons remplacer les valeurs par 𝑓 de quatre, 𝑓 de six et 𝑓 de huit puisqu’elles nous ont été données dans le tableau.

Après avoir substitué ces valeurs, nous pouvons simplifier les fractions dans le numérateur, car 4.25 moins 3.9 est égal à 0.35, 4.8 moins 4.25 est égal à 0.55 et six moins quatre et huit moins six sont tous deux égaux à deux. Ensuite, nous pouvons diviser les deux fractions au numérateur par le dénominateur. Voilà donc deux, ce qui nous donne 0.35 sur quatre plus 0.55 sur quatre. Puisque nous avons ici un dénominateur commun, nous pouvons additionner ces deux fractions, ce qui nous donne 0.9 sur quatre. En simplifiant cette fraction, nous arrivons à notre solution, qui est que l’estimation de la dérivée de 𝑓 en six est 0.225.

Passons maintenant à la façon dont nous pouvons estimer une dérivée à l’aide d’une courbe. Si nous avons une fonction 𝑓 de 𝑥, comme illustré ici, alors nous pouvons estimer la dérivée de 𝑓 en un point donné 𝑎 en utilisant à nouveau le fait que la dérivée est la fonction de pente. Et nous pouvons estimer la pente en tout point d’une courbe en traçant une tangente approximative à ce point, puis en trouvant la pente de cette tangente. Donc, pour trouver la pente de 𝑓 en 𝑎, nous dessinons simplement une tangente approximative puis trouvons la pente de cette tangente. Et cette pente approximative de 𝑓 en 𝑎 est notre estimation de la dérivée en 𝑎.

Voyons comment nous pouvons le faire dans l’exemple suivant.

Pour la courbe donnée, estimez 𝑓 prime de trois.

Ici, on nous a demandé d’estimer la dérivée de 𝑓 à trois. Et on nous a donné une courbe de 𝑓 de 𝑥. Maintenant, notre méthode graphique pour estimer une dérivée est de dessiner une tangente au point où nous essayons de trouver la dérivée et de trouver la pente de cette tangente. Maintenant, si vous trouvez la valeur de trois sur notre axe 𝑥 et regardez son point sur notre courbe de 𝑓 de 𝑥, nous pouvons voir qu’une tangente a déjà été tracée pour ce point. Et donc, ce que nous devons faire pour estimer la dérivée de 𝑓 à trois est de trouver la pente de cette tangente. La façon la plus précise de trouver la pente de cette tangente est de choisir les deux points les plus éloignés de notre tangente, que nous pouvons lire avec précision sur nos axes.

Nous pouvons voir que nous avons un point à cinq, sept. Et nous avons aussi un autre point sur notre tangente à un, moins un. Par conséquent, nous pouvons utiliser ces deux points afin de trouver la pente de cette tangente. Nous utilisons le fait que la pente d’une droite est égale à la variation de 𝑦 par rapport à la variation de 𝑥. Une variation de 𝑦 pour notre tangente est la différence dans les valeurs 𝑦 des points que nous avons trouvés. Voilà donc sept moins moins un. Et la variation de 𝑥 est la différence des valeurs 𝑥 pour ces mêmes points. Voilà donc cinq moins un. Maintenant, rappelons-nous qu’il est important de mettre les points correspondants du même côté. Donc les cinq et les sept venaient du point cinq, sept et ils vont tous les deux à gauche. Alors que le un et le moins un venaient du point un, moins un, et ils vont tous les deux à droite.

Maintenant, peu importe dans quel sens nous plaçons ces points tant qu’ils sont cohérents les uns avec les autres. Par exemple, cette fraction est également égale à moins un moins sept sur un moins cinq puisque le moins un et un sont tous les deux à gauche et le sept et les cinq sont tous les deux à droite. On peut simplifier cette fraction pour trouver que la pente de notre tangente est égale à huit sur quatre, ce qui est bien sûr égal à deux.

Maintenant que nous avons trouvé la pente de notre tangente, nous pouvons l’utiliser pour estimer 𝑓 prime de trois puisque la dérivée est la fonction de pente. Et nous avons trouvé la pente de la tangente à trois. Cela nous donne une solution que notre estimation de la dérivée de 𝑓 à trois est deux. Maintenant, la raison pour laquelle il s’agit d’une estimation et non d’une réponse précise est parce que nous ne savons pas à quel point la tangente est précise au point trois.

Maintenant, dans cet exemple précédent, nous avons vu comment nous pouvons utiliser une tangente pour trouver une estimation de la pente et donc de la dérivée en un point. Cependant, la tangente sur la courbe ne nous est souvent pas donnée. Nous devons donc dessiner une tangente pour nous-mêmes, comme nous le verrons dans notre dernier exemple.

Pour la courbe donnée, estimez 𝑓 prime de moins 1.5.

Ici, on nous a demandé d’estimer la dérivée de 𝑓 à moins 1.5. Et on nous a donné une courbe de 𝑓 de 𝑥. Maintenant, afin d’estimer cette dérivée à l’aide de la courbe, nous utiliserons le fait que la dérivée est la fonction de pente. Par conséquent, lorsqu’on nous a demandé d’estimer la dérivée de 𝑓 à moins 1.5, on nous a également demandé d’estimer la pente de 𝑓 à moins 1.5. Et une façon dont nous pouvons estimer la pente de 𝑓 en tout point est de dessiner une tangente à ce point et de trouver la pente de la tangente. Comme nous avons été invités à estimer la dérivée à 𝑥 est égal à moins 1.5, nous allons tracer une tangente sur 𝑓 à 𝑥 est égal à moins 1.5. Le moins 1.5 est ici sur notre courbe et nous pouvons voir le point correspondant sur 𝑓 de 𝑥.

Maintenant, nous dessinons simplement une tangente à 𝑓 à ce point. Et voici à quoi devrait ressembler notre tangente. Or, notre estimation tangente ici est en fait une droite horizontale. Et pour cette raison, nous pouvons dire que la pente de notre tangente doit être égale à zéro. En effet, une pente est égale à la variation de 𝑦 par rapport à la variation de 𝑥. Et nous pouvons voir que lorsque 𝑥 devient plus grand ou plus petit, la valeur de 𝑦 pour cette droite horizontale restera la même. Par conséquent, il n’y a aucune variation dans 𝑦. Et donc, la variation de 𝑦 par rapport à la variation de 𝑥 sera égal à zéro. Cela est vrai pour toute droite horizontale. Maintenant que nous avons trouvé la pente de notre tangente, nous pouvons l’utiliser pour estimer la dérivée. On peut dire que la dérivée de 𝑓 à moins 1.5 est approximativement nulle.

Regardons maintenant un dernier exemple pour cette vidéo.

Pour la courbe donnée, estimez 𝑓 prime de 0.5.

On nous a demandé d’estimer la dérivée de 𝑓 à 0.5. Et on nous a donné la courbe de 𝑓. Puisque la dérivée est la fonction de pente, il suffit d’estimer la pente de 𝑓 à 0.5. Et nous pouvons le faire en traçant une tangente pour 𝑓 à 0.5. Nous pouvons trouver le point sur 𝑓 de 𝑥, ce qui correspond à la valeur 𝑥 de 0.5. Ensuite, nous pouvons dessiner une tangente à la courbe à ce stade. Nous voulons essayer de dessiner la tangente le plus longtemps possible afin d’obtenir une valeur précise pour sa pente.

Nous pouvons regarder les points finaux de la tangente que nous avons dessinée, qui sont ici et ici. Et les coordonnées de ces points sont 2.6, cinq et moins cinq, moins cinq. Parallèlement au fait que la pente d’une droite peut être trouvée en calculant la variation de 𝑦 par rapport à la variation de 𝑥, nous obtenons que la pente de notre tangente est égale à cinq moins moins cinq sur 2.6 moins moins cinq, qui est égal à 10 sur 7.6, ce qui équivaut également à 1.316 avec trois décimales.

Maintenant que nous avons trouvé une estimation de la pente de la tangente au point 0.5, 𝑓 de 0.5, nous pouvons utiliser cette estimation de la pente pour estimer la dérivée de 𝑓 à 0.5 puisque la dérivée est la fonction de pente. Nous obtenons que 𝑓 prime de 0.5 est d’environ 1.316. Maintenant, la réponse que vous obtenez pour cette question peut différer, car cela dépend de la façon dont nous tirons notre tangente. Et c’est pourquoi il ne s’agit que d’une estimation de la dérivée de 𝑓 à 0.5, car il est presque impossible de tracer la tangente parfaite à ce stade. Et par conséquent, la pente de notre tangente sera toujours légèrement éloignée de la dérivée réelle. Cependant, l’estimation de la dérivée à l’aide de cette méthode peut être un outil très utile, car nous pouvons toujours obtenir approximativement ce que devrait être la dérivée sans connaître l’équation de 𝑓.

Maintenant, nous avons couvert une variété d’exemples de la façon dont nous pouvons estimer les dérivées de fonctions, à la fois numériquement et graphiquement. Récapitulons quelques points clés de la vidéo.

Points clés

Nous pouvons estimer la dérivée d’une fonction à un point numériquement en trouvant la moyenne de la pente à gauche et à droite du point que nous essayons d’estimer la dérivée. La formule est que 𝑓 prime de 𝑎 est approximativement égale à 𝑓 de 𝑎 moins 𝑓 de 𝑏 sur 𝑎 moins 𝑏 plus 𝑓 de 𝑐 moins 𝑓 de 𝑎 sur 𝑐 moins 𝑎 sur deux, où 𝑏 est inférieur à 𝑎 et 𝑐 est supérieur à 𝑎. Nous pouvons estimer graphiquement la dérivée d’une fonction en un point en estimant la tangente à la courbe en ce point et en trouvant la pente de la tangente.

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