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Vidéo de la leçon: Équations à plusieurs étapes Mathématiques • Première préparatoire

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre des équations à plusieurs étapes dans l'ensemble des nombres rationnels.

17:02

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre des équations à plusieurs étapes. Nous le ferons en utilisant la méthode d’égalité entre les deux membres et les opérations inverses. Nous commencerons par définir une équation à plusieurs étapes et rappeler comment nous résolvons les équations en une seule étape. Les équations à plusieurs étapes sont des équations algébriques qui nécessitent plusieurs opérations telles que l’addition, la soustraction, la multiplication ou la division pour être résolues. Il est important de connaître l’ordre des opérations lors de la résolution d’équations à plusieurs étapes. Cet ordre est parfois appelé PEMDAS ou BIDMAS. Les lettres M, D, A et S qui apparaissent dans les deux mots représentent la multiplication, la division, l’addition et la soustraction. Le P désigne les parenthèses, tandis que le B désigne les « brackets » (crochets), le E désigne les exposants, et le I les indices.

Nous allons maintenant rappeler comment les équations en une seule étape seront résolues. Considérons deux équations, 𝑥 plus sept est égal à 19 et six 𝑥 est égal à 30. Pour résoudre ces problèmes, nous devons rappeler les opérations inverses, par exemple, l’addition et la soustraction, ainsi que la multiplication et la division. Pour utiliser la méthode d’équilibrage, nous devons faire la même chose aux deux côtés de l’équation. Dans notre premier exemple, nous devons soustraire sept. En effet, soustraire sept est la réciproque ou l’inverse de l’addition de sept. Le côté gauche se simplifie à 𝑥 seulement. 19 moins sept est égal à 12. Donc, le côté droit est 12. La solution à l’équation est 𝑥 est égal à 12. Nous pourrions vérifier cela en substituant le 12 à l’équation d’origine.

Dans notre deuxième exemple, six 𝑥 est égal à 30. Nous devons diviser les deux côtés par six. C’est parce que la division est l’inverse de la multiplication. 30 divisé par six est égal à cinq. Par conséquent, la solution à cette équation en une seule étape est 𝑥 est égal à cinq. Nous allons maintenant utiliser notre connaissance sur les opérations inverses et la méthode d’équilibrage pour résoudre certaines équations à plusieurs étapes.

Je pense à un nombre. Je le multiplie par trois puis je soustrais cinq. La réponse est 13. À quel nombre ai-je pensé ?

Une façon de répondre à cette question est de créer une équation. Nous pouvons commencer par laisser le nombre inconnu, dans ce cas, 𝑥. On nous dit que nous multiplions le nombre par trois. Cela peut être écrit comme trois 𝑥. Nous soustrayons ensuite cinq, donc notre expression est trois 𝑥 moins cinq. Comme la réponse est 13, nous pouvons transformer cette expression en une équation en la définissant comme étant égale à 13. Nous pouvons maintenant calculer le nombre en résolvant cette équation. Nous pouvons le faire en utilisant la méthode de l’équilibrage et les opérations inverses.

L’inverse ou la réciproque de la soustraction de cinq est l’addition de cinq. L’ajout de cinq aux deux côtés de l’équation nous donne trois 𝑥 égale 18 car moins cinq plus cinq est zéro et 13 plus cinq est 18. Notre dernière étape consiste à diviser par trois les deux côtés de cette nouvelle équation car la division est l’inverse de la multiplication. Trois 𝑥 divisé par trois est égal à 𝑥, et 18 divisé par trois est égal à six. Cela signifie que le nombre auquel on pensait initialement était six. Nous pouvons vérifier cette réponse en multipliant six par trois, puis en soustrayant cinq. Comme cela nous donne en effet une réponse de 13, nous savons que la réponse est correcte.

Une autre méthode qui aurait pu être utilisée dans cette question consiste à utiliser des machines de fonctions. Encore une fois, on commence par l’inconnue 𝑥. Nous la multiplions par trois, soustrayons cinq et obtenons la réponse 13. Nous pouvons inverser cela en effectuant les opérations inverses. L’inverse ou la réciproque de la soustraction de cinq est l’addition de cinq. Et l’inverse de la multiplication par trois est la division par trois. 13 plus cinq est égal à 18. En divisant cela par trois, on obtient une réponse de six. Nous avons prouvé une fois de plus que le nombre initial était six.

La deuxième question que nous allons examiner sera un problème écrit dans un contexte concret.

Une compagnie des eaux facture ses clients en utilisant la règle 𝑐 est égal à 10 plus quatre 𝑚, où 𝑐 est le coût en dollars, 𝑚 est le nombre de mètres cubes d’eau utilisés et 10 représente les frais fixes. Elle émet une facture de 262 dollars. Combien de mètres cubes d’eau ont été utilisés ?

On nous donne la règle ou l’équation 𝑐 est égal à 10 plus quatre 𝑚. On nous dit aussi que le coût 𝑐 est égal à 262 dollars. Cela signifie que nous pouvons réécrire l’équation car 262 est égal à 10 plus quatre 𝑚. Cette équation peut ensuite être résolue en utilisant la méthode de l’équilibrage. Nous commençons par soustraire 10 des deux côtés de l’équation car la soustraction de 10 est la réciproque de l’addition de 10. 262 moins 10 est égal à 252, ce qui est égal à quatre 𝑚. Notre deuxième et dernière étape consiste à diviser les deux côtés de cette équation par quatre. 252 divisé par quatre est égal à 63. Et quatre 𝑚 divisé par quatre est égal à 𝑚.

Une façon de calculer 252 divisé par quatre serait d’utiliser la division courte. Quatre ne se divise pas en deux, nous portons donc le deux à la colonne des dizaines. 25 divisé par quatre est égal à six et le reste est un. Donc, nous portons un dans la colonne des unités. Enfin, 12 divisé par quatre est égal à trois, donc 252 divisé par quatre est égal à 63. Nous pouvons donc conclure que 63 mètres cubes d’eau ont été utilisés.

Résolvez huit 𝑘 moins trois moins deux 𝑘 est égal à 21.

Pour résoudre cette équation, nous devons d’abord regrouper ou collecter les termes similaires. Huit 𝑘 moins deux 𝑘 est égal à six 𝑘, donc notre équation devient six 𝑘 moins trois est égal à 21. À partir de ce point, nous pouvons utiliser notre connaissance sur les opérations inverses et la méthode d’équilibrage. Nous commençons par ajouter trois des deux côtés. Cela nous donne six 𝑘 est égal à 24. Notre dernière étape consiste à diviser les deux côtés de l’équation par six. Six 𝑘 divisé par six est 𝑘, et 24 divisé par six est quatre.

La solution de l’équation huit 𝑘 moins trois moins deux 𝑘 égale 21 est 𝑘 égale quatre. Nous pourrions vérifier cette réponse en substituant quatre à l’équation d’origine.

Nous allons maintenant examiner deux variantes de ce type de question.

Résolvez six 𝑥 moins cinq égale deux 𝑥 plus 11.

Dans cette question, nous avons une inconnue 𝑥 aux deux côtés de l’équation. Afin de résoudre une équation de ce type, nous devons mettre tous les termes 𝑥 d’un côté du signe égal et toutes les constantes de l’autre. Nous pouvons le faire en soustrayant d’abord deux 𝑥 des deux côtés de l’équation. Nous pourrions également ajouter cinq des deux côtés en même temps. Sur le côté gauche, six 𝑥 moins deux 𝑥 est égal à quatre 𝑥. Et moins cinq plus cinq est égal à zéro. Sur le côté droit, deux 𝑥 moins deux 𝑥 est zéro, et 11 plus cinq est égal à 16. L’équation se simplifie à quatre 𝑥 égale 16.

Notre dernière étape consiste à diviser les deux côtés de cette équation par quatre, car la division par quatre est l’inverse ou la réciproque de la multiplication par quatre. La solution à l’équation six 𝑥 moins cinq égale deux 𝑥 plus 11 est 𝑥 égale quatre. Nous pourrions replacer cette valeur dans les deux côtés de l’équation pour vérifier que notre réponse est correcte. Sur le côté gauche, nous aurions six multiplié par quatre moins cinq. Cela équivaut à 19. À droite, nous aurions deux multiplié par quatre plus 11. Comme cela vaut 19 également, nous savons que notre réponse est correcte.

Résolvez 12 moins trois 𝑥 égale six.

Cette question a un terme 𝑥 négatif. Une façon de résoudre ce problème serait de nous assurer que notre terme 𝑥 est positif. Nous pouvons le faire en ajoutant trois 𝑥 des deux côtés. Le côté gauche se simplifie à 12, et le côté droit à six plus trois 𝑥. Nous pouvons alors soustraire six des deux côtés de cette nouvelle équation. 12 moins six est égal à six, donc nous avons six égale trois 𝑥. Diviser les deux côtés de cette équation par trois nous donne deux est égal à 𝑥. Bien que cette réponse soit correcte, nous la réécrivons souvent comme 𝑥 est égal à deux, avec l’inconnue sur le côté gauche.

La question suivante que nous allons examiner est un autre problème pratique dans un contexte concret.

Déterminez la valeur de 𝑎 étant données les informations suivantes : 𝑌 se situe sur la ligne entre 𝑋 et 𝑍. 𝑋𝑌 égale 24 centimètres, 𝑌𝑍 égale huit 𝑎 centimètres et 𝑋𝑍 égale 88 centimètres.

Nous pouvons commencer cette question en traçant la ligne 𝑋𝑍 sur laquelle se trouve 𝑌. On nous dit que 𝑋𝑌 est égal à 24 centimètres, 𝑌𝑍 est égal à huit 𝑎 centimètres et que la longueur de la ligne entière 𝑋𝑍 est de 88 centimètres. La longueur de 𝑋𝑌 plus la longueur de 𝑌𝑍 est égale à la distance totale de 𝑋 à 𝑍. Comme toutes nos mesures sont en centimètres, cela peut être écrit comme une équation. 24 plus huit 𝑎 est égal à 88. Nous pouvons alors résoudre cette équation pour calculer la valeur de 𝑎. Nous commençons par soustraire 24 des deux côtés. Comme 88 moins 24 est égal à 64, nous avons huit 𝑎 égale 64. Nous pouvons alors diviser les deux côtés de cette nouvelle équation par huit. Cela nous donne la valeur de 𝑎 égale à huit.

Nous pouvons vérifier cela en substituant cette valeur. D’après la ligne ci-dessus, nous savons en fait que huit 𝑎 est égal à 64. Cela signifie que la longueur de la ligne de 𝑌 à 𝑍 est de 64 centimètres. Comme 24 centimètres plus 64 centimètres est égal à 88 centimètres, notre réponse est correcte.

Notre dernière question dans cette vidéo consiste à résoudre une équation à plusieurs étapes plus compliquée.

Quelle valeur de 𝑥 qui résout 𝑥 plus un sur deux moins 𝑥 moins un sur trois est égale à 𝑥 ?

Pour résoudre cette équation, nous devons d’abord considérer le côté gauche. Pour additionner ou soustraire des fractions, nous devons d’abord nous assurer que les dénominateurs sont les mêmes. Nous le faisons en trouvant le plus petit commun multiple ou PPCM. Dans ce cas, ce serait six. Nous devons multiplier le numérateur et le dénominateur de la première fraction par trois et de la deuxième fraction par deux. La première fraction devient trois multiplié par 𝑥 plus un sur six. La deuxième fraction, qui a été soustraite, devient deux multiplié par 𝑥 moins un sur six. Tout cela est égal à 𝑥. Comme les dénominateurs sont maintenant les mêmes, nous pouvons écrire le côté gauche en une seule fraction.

Notre prochaine étape consiste à distribuer les parenthèses, autrement dit, à développer les parenthèses. Trois multiplié par 𝑥 est trois 𝑥. Et trois multiplié par un est trois. Moins deux multiplié par 𝑥 est moins deux 𝑥. Et moins deux multiplié par moins un est plus deux. Rappelez-vous que lorsque nous multiplions un nombre négatif par un nombre négatif, notre réponse est positive. L’équation se simplifie à trois 𝑥 plus trois moins deux 𝑥 plus deux sur six est égal à 𝑥. Nous pouvons maintenant simplifier le numérateur en rassemblant ou en regroupant des termes similaires. Trois 𝑥 moins deux 𝑥 est égal à 𝑥, et trois plus deux est égal à cinq. Nous avons 𝑥 plus cinq sur six est égal à 𝑥.

Nous pouvons maintenant résoudre cette équation en utilisant la méthode de l’équilibrage et notre connaissance sur les opérations inverses. Nous commençons par multiplier les deux côtés par six. Cela nous donne 𝑥 plus cinq est égal à six 𝑥. Comme il y a un coefficient plus élevé de 𝑥 sur le côté droit, nous pouvons soustraire 𝑥 des deux côtés. Cela nous donne cinq est égal à cinq 𝑥. Enfin, nous divisons les deux côtés de cette équation par cinq. La valeur qui résout l’équation est 𝑥 égale un. Nous pourrions vérifier cela en substituant cette valeur à l’équation d’origine.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Une équation à plusieurs étapes peut être résolue en utilisant la méthode d’équilibrage et notre connaissance sur les opérations inverses. Par exemple, l’addition et la soustraction, la multiplication et la division sont des opérations inverses. Si nous additionnons, soustrayons, multiplions ou divisons les deux côtés d’une équation par la même quantité, alors l’égalité est toujours vraie. Une simple équation à plusieurs étapes peut être résolue en inversant toutes les opérations dans l’ordre inverse pour calculer la valeur inconnue. Cela signifie que nous inversons les opérations dans l’ordre inverse du PEMDAS ou du BIDMAS.

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