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Vidéo question :: Trouver le module des nombres imaginaires purs Mathématiques • Troisième secondaire

Quel est le module du nombre complexe 2𝑖 ?

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Transcription de la vidéo

Quel est le module du nombre complexe deux 𝑖 ?

Dans cette question, on nous demande de calculer le module du nombre complexe deux 𝑖. Et pour ce faire, nous allons devoir nous rappeler ce que nous entendons par le module d’un nombre complexe. Nous rappelons que le module d’un nombre complexe est sa distance à l’origine dans le plan d’Argand. Donc une façon de répondre à cette question est de représenter le nombre complexe deux 𝑖 dans le plan d’Argand. Et rappelez-vous, dans le plan d’Argand, notre axe horizontal représente la partie réelle du nombre complexe et l’axe vertical représente la partie imaginaire du nombre complexe.

Ainsi, lorsque nous voulons représenter le nombre complexe deux 𝑖 dans ce plan, il n’a pas de partie réelle. Il n’a qu’une partie imaginaire. Et la partie imaginaire est égale à deux. Donc son ordonnée va être égale à deux. Et par conséquent, sa distance à l’origine sera également égale à deux. Et donc, puisque le module d’un nombre complexe est sa distance à l’origine, nous avons montré que le module de deux 𝑖 est égal à deux.

Cependant, il convient de souligner que ce n’est pas la seule façon que nous avions pour répondre à cette question. Nous pouvons voir que le nombre complexe qui nous est donné dans la question, deux 𝑖, est donné sous une forme spéciale. Il est donné sous forme algébrique. Et la forme algébrique d’un nombre complexe est la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖, où nos valeurs de 𝑎 et 𝑏 sont des nombres réels.

Et quand on nous demande de trouver le module d’un nombre complexe donné sous forme algébrique, nous pouvons simplement utiliser la formule. Le module de 𝑎 plus 𝑏𝑖 est égal à la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Et en fait, nous pouvons utiliser notre plan d’Argand pour voir pourquoi cela est vrai. Nous pouvons représenter le point 𝑎 plus 𝑏𝑖 dans notre plan d’Argand. Sa partie réelle va être égale à 𝑎, et sa partie imaginaire va être égale à 𝑏.

Cela signifie que nous pouvons représenter le point 𝑎 plus 𝑏𝑖 dans notre plan d’Argand. Et cette distance à l’origine, ou module, va être l’hypoténuse d’un triangle rectangle. Et nous pouvons trouver les longueurs des deux autres côtés de ce triangle rectangle. Celles-ci étant 𝑎 et 𝑏. Ainsi, selon le théorème de Pythagore, l’hypoténuse de ce triangle rectangle, ou module de 𝑎 plus 𝑏𝑖, sera égal à la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré.

Ensuite, tout ce que nous aurions à faire est d’appliquer à deux 𝑖 notre formule. Et bien sûr, pour deux 𝑖, notre valeur de 𝑎, la partie réelle de deux 𝑖, est égale à zéro et notre valeur de 𝑏, la partie imaginaire de deux 𝑖, est égale à deux. En substituant ces valeurs, nous obtenons que le module de deux 𝑖 est égal à la racine carrée de zéro au carré plus deux au carré, ce que nous pouvons bien sûr calculer pour avoir deux.

Par conséquent, nous avons pu voir deux façons différentes de trouver le module du nombre complexe deux 𝑖. Dans les deux cas, nous avons vu que le module de deux 𝑖 est égal à deux.

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