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Vidéo de la leçon: Théorème de la puissance d’un point par rapport à un cercle Mathématiques • Première secondaire

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer la puissance d'un point par rapport à un cercle.

18:09

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver la puissance d’un point par rapport à un cercle et à l’utiliser pour trouver d’autres longueurs géométriques La puissance d’un point est un nombre qui quantifie une relation géométrique entre un point et un cercle. La définition de la puissance d’un point est la suivante. Pour un cercle de rayon 𝑟 et de centre 𝑀 et un point 𝐴, la puissance du point 𝐴 par rapport au cercle 𝑀, notée P 𝑀 de 𝐴, est donnée par P 𝑀 de 𝐴 égale 𝐴𝑀 au carré moins 𝑟 au carré. Voyons maintenant dans un exemple comment utiliser cette définition pour trouver la puissance d’un point donné par rapport à un cercle donné.

On considère un cercle de centre 𝑀 de rayon 𝑟 égal à 21. Trouvez la puissance du point 𝐴 par rapport au cercle sachant que 𝐴𝑀 égale 25.

Pour répondre à cette question, nous aurons besoin de la définition de la puissance d’un point. Par définition, la puissance d’un point 𝐴 par rapport à un cercle 𝑀, notée P 𝑀 de 𝐴, est égale à 𝐴𝑀 au carré moins 𝑟 au carré. Dans l’énoncé, on nous dit que 𝐴𝑀 égale 25. On nous dit également que 𝑟 égale 21. Il nous suffit donc de remplacer par ces valeurs dans notre formule de la puissance du point 𝐴. Cela nous donne P 𝑀 de 𝐴 égale 25 au carré moins 21 au carré.

On sait que 25 au carré est égal à 625 et que 21 au carré est égal à 441. Et la différence entre ces deux nombres est de 184. Nous avons notre solution : la puissance du point 𝐴 par rapport au cercle 𝑀 est égale à 184. Dans cet exemple, la puissance du point 𝐴 par rapport au cercle 𝑀 est strictement positive, car 𝐴𝑀 est strictement supérieur à 𝑟. Ce qui revient à dire que le point 𝐴 est à l’extérieur du cercle.

Il existe deux autres possibilités pour la position du point 𝐴 relativement au cercle 𝑀. Ici, le diagramme correspond au premier cas : 𝐴 est à l’extérieur du cercle, comme dans l’exemple précédent. On peut voir que longueur 𝐴𝑀 est strictement supérieure à la longueur 𝑟 ; par conséquent, 𝐴𝑀 au carré est strictement supérieur à 𝑟 au carré. En soustrayant 𝑟 au carré de chaque côté de l’inégalité, on peut voir que 𝐴𝑀 au carré moins 𝑟 au carré est strictement supérieur à zéro. Le membre de gauche de cette inégalité est égal à la puissance du point 𝐴 par rapport au cercle 𝑀. On a donc que P 𝑀 de 𝐴 est strictement supérieur à zéro ; autrement dit, sa valeur est strictement positive.

Dans le deuxième cas, 𝐴 est sur le cercle. On peut voir sur le diagramme que la longueur de 𝐴𝑀 est égale à celle du rayon. On a donc 𝐴𝑀 égale 𝑟. En suivant le même raisonnement que précédemment, on peut écrire que 𝐴𝑀 au carré est égal à 𝑟 au carré et que 𝐴𝑀 au carré moins 𝑟 au carré est égal à zéro. Donc, lorsque 𝐴 est sur la circonférence du cercle, la puissance du point 𝐴 par rapport au cercle 𝑀 est égale à zéro. Dans le troisième cas, 𝐴 est à l’intérieur du cercle. Donc, 𝐴𝑀 est strictement inférieur à 𝑟. Toujours selon la même logique, on obtient que 𝐴𝑀 au carré moins 𝑟 au carré est strictement inférieur à zéro. Donc, lorsque le point 𝐴 est à l’intérieur du cercle, sa puissance est strictement négative. Voyons à travers un exemple comment utiliser la puissance d’un point par rapport à un cercle pour déterminer la position du point par rapport au cercle.

Déterminez la position du point 𝐴 par rapport au cercle 𝑁, sachant que P 𝑁 de 𝐴 est égal à 814.

On sait que la puissance du point 𝐴 par rapport au cercle 𝑁 est égale à 𝐴𝑁 au carré moins 𝑟 au carré. D’après l’énoncé, cette valeur est égale à 814, ce qui est strictement supérieur à zéro. Donc, P 𝑁 de 𝐴 est strictement positif. Ce qui implique que 𝐴𝑁 au carré moins 𝑟 au carré est strictement positif. En additionnant 𝑟 au carré de chaque côté de l’inégalité, on obtient que 𝐴𝑁 au carré est strictement supérieur à 𝑟 au carré. Étant donné que 𝐴𝑁 et 𝑟 sont des longueurs, on sait que leurs valeurs sont supérieures à zéro. Donc, on peut prendre la racine carrée de chaque côté de l’inégalité sans se soucier de valeurs négatives et on obtient que 𝐴𝑁 est strictement supérieur à 𝑟. On a trouvé que 𝐴𝑁, qui correspond à la distance entre le centre du cercle et le point 𝐴, est strictement supérieur au rayon du cercle, ce qui implique notre solution : le point 𝐴 est à l’extérieur du cercle.

Examinons d’autres applications géométriques pour la puissance d’un point. Commençons par la relation entre la puissance d’un point et la longueur d’un segment tangent. Sur le diagramme, on a un cercle de centre 𝑀, un point 𝐵 sur la circonférence du cercle et un point 𝐴 tel que 𝐴𝐵 est une tangente au cercle. Puisque le segment 𝐴𝐵 est défini comme tangent au cercle, l’angle 𝑀𝐵𝐴 est forcément de 90 degrés. Par conséquent, le triangle 𝑀𝐵𝐴 est rectangle. Et on peut lui appliquer le théorème de Pythagore. On a donc que le carré de l’hypoténuse, c’est-à-dire 𝐴𝑀 au carré, est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, c’est-à-dire 𝐴𝐵 au carré plus 𝑟 au carré.

En réarrangeant l’égalité, on obtient 𝐴𝑀 au carré moins 𝑟 au carré égale 𝐴𝐵 au carré. À présent, le membre de gauche de notre égalité est égal à la puissance du point 𝐴 par rapport au cercle 𝑀. Donc, on peut écrire que P 𝑀 de 𝐴 est égal à 𝐴𝐵 au carré. Cela nous amène à une autre définition pour la puissance d’un point et la longueur d’un segment tangent. On considère un cercle 𝑀 et un point 𝐴 à l’extérieur de ce cercle. Soit 𝐴𝐵 un segment tangent au cercle. Alors, P 𝑀 de 𝐴 est égal à 𝐴𝐵 au carré. Passons à une autre propriété, qui impliquera cette fois une sécante et une tangente. Pour en faire la preuve, nous aurons besoin de notre relation entre la longueur d’un segment tangent et la puissance d’un point.

Ici, on a un cercle dont 𝐴𝐵 est un segment tangent, 𝐴𝐶𝐷 un segment sécant, et 𝐵𝐶 et 𝐵𝐷 deux cordes. On veut montrer que le triangle 𝐴𝐵𝐶 est semblable au triangle 𝐴𝐵𝐷. Voyons comment le prouver. Tout d’abord, on observe que les deux triangles partagent un même angle, 𝐵𝐴𝐶. Donc, il ne reste plus qu’à prouver que les triangles partagent une autre paire d’angles égaux. On commence par noter la mesure de l’arc 𝐵𝐶 𝜃. Donc, par définition, l’angle au centre qui intercepte cet arc est égal à 𝜃. Lorsqu’un angle inscrit et un angle au centre interceptent le même arc, l’angle inscrit est égal à la moitié de l’angle au centre.

Par conséquent, l’angle 𝐵𝐷𝐶 est égal à un demi de 𝜃. On sait aussi que l’angle entre une tangente et une corde est égal à la moitié de la mesure de l’arc intercepté par la corde. Par conséquent, l’angle 𝐴𝐵𝐶 est lui aussi égal à un demi de 𝜃. On a trouvé deux paires d’angles égaux dans nos deux triangles, donc on a prouvé qu’ils sont semblables. La similitude de ces deux triangles nous permet de former une relation entre les longueurs de leurs côtés correspondants. On peut écrire que 𝐴𝐵 sur 𝐴𝐷 est égal à 𝐴𝐶 sur 𝐴𝐵. En multipliant des deux côtés par les deux dénominateurs, on obtient 𝐴𝐵 au carré égale 𝐴𝐶 fois 𝐴𝐷.

Ici, on rappelle que 𝐴𝐵 est un segment tangent au cercle. Et l’on sait que lorsque 𝐴𝐵 est un segment tangent, la puissance du point 𝐴 par rapport au cercle 𝑀 est égale à 𝐴𝐵 au carré. Le membre de droite de cette définition et le membre de gauche de l’égalité précédente sont identiques, donc P 𝑀 de 𝐴 est égal à 𝐴𝐶 fois 𝐴𝐷. Cela nous amène à une nouvelle définition, cette fois-ci pour la puissance d’un point et la longueur d’un segment sécant. On considère un cercle 𝑀 et un point 𝐴 à l’extérieur de ce cercle. Soit 𝐴𝐶𝐷 un segment sécant au cercle. Alors, P 𝑀 de 𝐴 est égal à 𝐴𝐶 fois 𝐴𝐷. Lorsque le point 𝐴 est à l’extérieur du cercle, la puissance de 𝐴 par rapport au cercle forme une relation à la fois avec une tangente au cercle et une sécante au cercle.

Donc, on peut former une relation entre les tangentes et les sécantes à un cercle qui passent par un même point extérieur au cercle. Il s’agit du théorème de la puissance d’un point. Le théorème de la puissance est en trois parties, toutes liées au concept de puissance d’un point. Commençons par le théorème qui établit une relation entre une tangente et une sécante au cercle. On considère un cercle 𝑀 et un point 𝐴 extérieur au cercle. Soit 𝐴𝐵 un segment tangent au cercle et 𝐴𝐶𝐷 un segment sécant au cercle. Alors, on peut dire que 𝐴𝐵 au carré est égal à 𝐴𝐶 fois 𝐴𝐷. Passons maintenant à un exemple dans lequel nous utiliserons ce théorème pour trouver une longueur impliquant une tangente et une sécante à un cercle.

On considère un cercle, un segment tangent 𝐴𝐵 et un segment sécant 𝐴𝐷 qui coupe le cercle en 𝐶. Sachant que 𝐴𝐵 est égal à sept centimètres et 𝐴𝐶 à cinq centimètres, trouvez la longueur 𝐶𝐷. Donnez votre réponse arrondie au centième.

On remarque tout d’abord que l’on a une tangente et une sécante, qui passent toutes les deux par le point 𝐴. Donc, on peut utiliser le théorème de la puissance d’un point pour une tangente et une sécante. D’après ce théorème, pour un segment tangent 𝐴𝐵 et segment sécant 𝐴𝐶𝐷, comme dans cet exemple, on a 𝐴𝐵 au carré égale 𝐴𝐶 fois 𝐴𝐷. D’après l’énoncé, 𝐴𝐵 est égal à sept centimètres et 𝐴𝐶 est égal à cinq centimètres. En remplaçant par ces valeurs dans notre formule, on obtient que sept au carré est égal à cinq fois 𝐴𝐷.

On réarrange et on obtient que 𝐴𝐷 est égal à sept au carré sur cinq, donc à 49 sur cinq. Si l’on écrit cette fraction sous la forme d’un réel, on obtient que 𝐴𝐷 mesure 9,8 centimètres. Nous avons trouvé la valeur de 𝐴𝐷 mais le problème n’est pas résolu pour autant, car c’était 𝐶𝐷 qui nous était demandé. Pour continuer, on peut utiliser le fait que 𝐴𝐶𝐷 est un segment sécant. Cela implique que 𝐴𝐷 est égal à 𝐴𝐶 plus 𝐶𝐷. On a déjà trouvé la valeur de 𝐴𝐷 et celle de 𝐴𝐶 est donnée dans l’énoncé. Cela nous donne 9,8 égale cinq plus 𝐶𝐷. On réarrange et on obtient que 𝐶𝐷 est égal à 4,8. N’oublions pas qu’il était demandé d’arrondir au centième et n’oublions pas non plus notre unité de mesure, le centimètre. Ainsi, notre solution est que 𝐶𝐷 mesure 4,80 centimètres.

Nous venons de voir comment résoudre un problème impliquant une tangente et une sécante. Voyons à présent ce qui se passe lorsque l’on a deux sécantes. Ici, nous avons un cercle et deux segments qui lui sont sécants, 𝐴𝐵𝐶 et 𝐴𝐷𝐸. D’après la propriété générale de la puissance d’un point, si 𝐴𝐶𝐷 est un segment sécant, P 𝑀 de 𝐴 est égal à 𝐴𝐶 fois 𝐴𝐷. Sur notre diagramme, nous avons deux segments sécants, 𝐴𝐵𝐶 et 𝐴𝐷𝐸. Donc, si l’on applique cette propriété à ces deux segments, on a P 𝑀 de 𝐴 égale 𝐴𝐵 fois 𝐴𝐶 d’une part et P 𝑀 de 𝐴 égale 𝐴𝐷 fois 𝐴𝐸 de l’autre. On peut donc dire que les membres de droite de nos deux égalités sont équivalents, ce qui nous amène au second théorème de la puissance d’un point.

On considère un cercle 𝑀 et un point 𝐴 à l’extérieur de ce cercle. Soit 𝐴𝐵𝐶 et 𝐴𝐷𝐸, deux segments sécants au cercle. Alors, 𝐴𝐵 fois 𝐴𝐶 est égal à 𝐴𝐷 fois 𝐴𝐸. Voyons comment appliquer ce théorème dans un exemple.

On considère un cercle et deux segments sécants à ce cercle, 𝐴𝐵 et 𝐴𝐷, qui se croisent en 𝐴. Sachant que 𝐴𝐸 est égal à trois centimètres, 𝐸𝐷 à cinq centimètres et 𝐴𝐵 à neuf centimètres, trouvez la valeur de 𝐵𝐶 et arrondissez votre réponse au dixième.

Tout d’abord, on observe que le cercle est traversé de deux sécantes qui se croisent à l’extérieur du cercle, au point 𝐴. Donc, d’après le théorème de la puissance d’un point, on a 𝐴𝐶 fois 𝐴𝐵 égale 𝐴𝐸 fois 𝐴𝐷. Dans l’énoncé, on nous donne les valeurs de 𝐴𝐸, 𝐸𝐷 et 𝐴𝐵. Puisque 𝐴𝐸𝐷 est un segment, 𝐴𝐷 est égal à 𝐴𝐸 plus 𝐸𝐷. On peut remplacer par les valeurs que l’on connaît et simplifier pour trouver que 𝐴𝐷 est égal à huit centimètres. À présent, on peut revenir à notre formule du théorème de la puissance d’un point et y remplacer 𝐴𝐵, 𝐴𝐸 et 𝐴𝐷 par leurs valeurs. Ensuite, on divise chaque membre par neuf et on annule les facteurs de trois. On obtient que 𝐴𝐶 est égal à huit sur trois centimètres.

Pour trouver la longueur 𝐵𝐶, on peut utiliser le fait que 𝐴𝐶𝐵 est un segment pour écrire que 𝐴𝐵 est égal à 𝐴𝐶 plus 𝐵𝐶. Cela nous donne neuf égale huit sur trois plus 𝐵𝐶. En réarrangeant et en simplifiant, on trouve que 𝐵𝐶 est égal à 19 sur trois centimètres. On arrondit ce résultat au dixième pour obtenir notre solution : 𝐵𝐶 est égal à 6,3 centimètres.

Pour le dernier théorème de la puissance d'un point, on considère un cercle contenant deux cordes. Dans un premier temps, supposons que l’une de ces cordes soit en fait un diamètre. Ici, on a une corde 𝐵𝐶 qui intersecte notre diamètre 𝐷𝐸. Nous allons montrer que le triangle 𝐴𝐵𝐷 est semblable au triangle 𝐴𝐶𝐸. Tout d’abord, on remarque que les angles 𝐶𝐴𝐸 et 𝐷𝐴𝐵 sont opposés par le sommet. Par conséquent, ils sont égaux. Donc, pour prouver que les triangles sont semblables, il ne nous reste plus qu’à montrer l’existence d’une autre paire d’angles égaux. On observe que les angles 𝐷𝐵𝐶 et 𝐷𝐸𝐶 interceptent le même arc, l’arc 𝐷𝐶. Par conséquent, ces deux angles sont égaux. Et nous avons prouvé que les deux triangles sont semblables.

Cette similitude nous permet de former une relation entre les longueurs des côtés correspondants. On a 𝐴𝐵 sur 𝐷𝐴 égale 𝐴𝐸 sur 𝐴𝐶. En multipliant des deux côtés par les deux dénominateurs, on obtient 𝐴𝐵 fois 𝐴𝐶 égale 𝐴𝐸 fois 𝐷𝐴. Voyons maintenant comment faire le lien entre cette égalité et la puissance d’un point. Notre point est à l’intérieur du cercle, donc sa puissance est forcément négative. Pour conserver des valeurs positives, nous allons multiplier chaque membre de l’égalité par moins un. On peut réécrire le membre de droite sous forme factorisée. Sur le diagramme, on peut voir que 𝐷𝑀 est égal à 𝑟. On constate également que 𝐷𝐴 est égal à 𝐷𝑀 moins 𝐴𝑀, donc à 𝑟 moins 𝐴𝑀. De même, 𝑀𝐸 est égal à 𝑟. Et 𝐴𝐸 est égal à 𝑀𝐸 plus 𝐴𝑀, donc à 𝑟 plus 𝐴𝑀.

Étant donné que 𝐷𝐴 est égal à 𝑟 moins 𝐴𝑀 et que 𝐴𝐸 est égal à 𝑟 plus 𝐴𝑀, on peut dire que moins P 𝑀 de 𝐴 est égal à 𝐷𝐴 fois 𝐴𝐸. Donc, on peut établir la relation suivante entre la puissance d’un point et la corde 𝐵𝐴𝐶. Lorsque 𝐴 est à l’intérieur du cercle, moins P 𝑀 de 𝐴 est égal à 𝐴𝐵 fois 𝐴𝐶. Examinons à présent le cas d’un cercle contenant deux cordes. Ici, on a les cordes 𝐵𝐴𝐶 et 𝐷𝐴𝐸. Pour la corde 𝐵𝐴𝐶, on peut écrire que moins P 𝑀 de 𝐴 est égal à 𝐴𝐵 fois 𝐴𝐶. Et pour la corde 𝐷𝐴𝐸, on peut écrire que moins P 𝑀 de 𝐴 est égal à 𝐴𝐷 fois 𝐴𝐸. On peut donc dire que les membres de droite de nos deux égalités sont équivalents, ce qui nous amène au troisième théorème de la puissance d’un point.

On considère un cercle 𝑀 et un point 𝐴 à l’intérieur de ce cercle. Soit 𝐵𝐴𝐶 et 𝐷𝐴𝐸, deux cordes du cercle. Alors, 𝐴𝐵 fois 𝐴𝐶 est égal à 𝐴𝐷 fois 𝐴𝐸. Voyons maintenant comment utiliser ce théorème dans un exemple.

Soit un cercle contenant deux cordes, 𝐴𝐶 et 𝐵𝐷, qui se croisent en 𝐸. Sachant que le rapport entre 𝐴𝐸 et 𝐵𝐸 est de un pour trois et que 𝐶𝐸 mesure six centimètres, trouvez la valeur de 𝐷𝐸.

D’après le théorème de la puissance d’un point, on a 𝐴𝐸 fois 𝐶𝐸 égale 𝐷𝐸 fois 𝐵𝐸. Dans l’énoncé, on nous dit que 𝐶𝐸 est égal à six et que le rapport entre 𝐴𝐸 et 𝐵𝐸 est de un pour trois. En posant que 𝐴𝐸 est égal à 𝑥 centimètres, on peut écrire que 𝐵𝐸 est égal à trois 𝑥 centimètres. On peut maintenant remplacer par ces valeurs dans notre formule. On a 𝑥 fois six égale 𝐷𝐸 fois trois 𝑥. On réarrange pour isoler 𝐷𝐸 et on trouve que 𝐷𝐸 est égal à deux centimètres.

Nous avons maintenant couvert un certain nombre de cas à travers les différents exemples abordés. Récapitulons les points clés de cette vidéo.

Points clés

Pour un cercle de centre 𝑀 et de rayon 𝑟 et un point 𝐴, la puissance du point 𝐴 par rapport au cercle est donnée par P 𝑀 de 𝐴 égale 𝐴𝑀 au carré moins 𝑟 au carré. Si P 𝑀 de 𝐴 est strictement supérieur à zéro, alors 𝐴 est à l’extérieur du cercle. Si P 𝑀 de 𝐴 est égal à zéro, alors 𝐴 est sur le cercle. Et si P 𝑀 de 𝐴 est strictement inférieur à zéro, alors 𝐴 est à l’intérieur du cercle. Le théorème de la puissance d’un point, qui est en trois parties. Pour un segment tangent et un segment sécant, 𝐴𝐵 au carré égale 𝐴𝐶 fois 𝐴𝐷. Pour deux segments sécants, 𝐴𝐵 fois 𝐴𝐶 égale 𝐴𝐷 fois 𝐴𝐸. Et enfin, pour deux cordes, 𝐴𝐵 fois 𝐴𝐶 égale 𝐴𝐷 fois 𝐴𝐸.

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