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Une poche suspendue à un goutte-à-goutte intraveineux contient une solution saline d’une masse volumique de 2160 kilogrammes par mètre cube. La poche mesure 15 cm de hauteur et est entièrement pleine jusqu’au sommet. La solution coule depuis le goutte-à-goutte à travers un trou d’une aire de 0,775 centimètres carrés et passe à travers le tube dans une canule qui a une ouverture d’une aire de 0,0225 centimètres carrés. Quelle est l’intensité de la force exercée par la solution saline au niveau du trou situé à la base de la poche ? Donnez votre réponse à deux décimales près.
Alors, dans cet exemple, on a une solution saline contenue dans une poche. Disons que ceci est notre poche. Et on nous dit que cette poche mesure 15 centimètres de hauteur et qu’elle est complètement remplie jusqu’à son sommet. Cette solution saline dans la poche passe par ce point ici appelé goutte à goutte dans un tube étroit. Et dans l’énoncé, on nous donne la section transversale de ce trou dans la poche. On appellera cette aire 𝐴 indice un. Et elle est donnée comme étant de 0,785 centimètres carrés.
Ainsi, après avoir quitté la poche, notre solution saline traverse ce tube jusqu’à ce qu’elle atteigne ce qu’on appelle une canule. Aussi, on peut se demander, n’est-ce pas le nom d’un dessert italien ? Mais en fait non : c’est un cannoli. Ce mot canule fait référence à la très petite ouverture entre ce tube étroit et l’aiguille qui ira dans le corps du patient. On appellera l’aire de la section transversale de notre canule 𝐴 deux. Et on nous donne cette valeur comme étant de 0,0225 centimètres carrés. Sachant tout cela, notre première question est la suivante : quelle est l’intensité de la force exercée par la solution saline au niveau du trou situé à la base de la poche ? En d’autres termes, quelle est la force agissant sur l’aire de la section transversale que l’on a appelée 𝐴 un ? On peut appeler cette force 𝐹 un. On va libérer un peu de place pour résoudre ce problème.
Lorsque l’on réfléchit à ce qui cause la force 𝐹 un, on constate que c’est la solution saline contenue dans la poche qui, par gravité, appuie sur cet endroit dans la poche. En d’autres termes, les couches de ce fluide superposées créent une pression orientée vers le bas du fait de leur poids. Et cette pression est exercée à travers l’aire que l’on a appelé 𝐴 un. À présent, rappelons la relation générale entre la pression, l’aire et la force. Une pression 𝑃 est égale à une force 𝐹 répartie sur une aire 𝐴. Dans ce cas, c’est la force, que l’on a appelé 𝐹 un, que l’on cherche à trouver. Mais cela nécessitera de connaître l’aire, que l’on a appelée 𝐴 un, que l’on connaît déjà puisqu’elle nous est donnée, ainsi que la pression 𝑃 du fluide en ce point.
Et on ne la connait pas encore. Mais on note que dans l’énoncé du problème, on nous donne la masse volumique de la solution saline. Cela peut être un indice pour nous car on se rappelle que l’on a établi que la pression au fond de la poche est due au poids de la solution saline sur elle-même. Et on sait que plus la masse volumique de cette solution est élevée, plus le poids d’un volume donné est important. En fait, il existe une relation mathématique qui relie la pression et la masse volumique du fluide. Cette relation dit que la pression créée par un fluide est égale à la masse volumique du fluide multipliée par l’accélération due à la gravité multipliée par la hauteur verticale de ce fluide.
Ici, on rapelle que non seulement on nous donne la masse volumique de fluide de cette solution, mais on nous donne aussi sa hauteur car on nous dit que la poche mesure 15 centimètres et qu’elle est entièrement remplie. Donc, cela signifie que l’on connait 𝜌, la masse volumique et ℎ, la hauteur de notre fluide. Et pour 𝑔, l’accélération due à la gravité, on peut prendre exactement 9,8 mètres par seconde au carré. Ainsi, on a suffisamment d’informations pour calculer la pression du fluide au bas de la poche. Mais souvenons-nous que ce n’est pas exactement la pression que l’on cherche, mais plutôt la force, que l’on a appelée 𝐹 un.
Alors, voici ce que l’on va faire. On prend cette relation ici et on la réorganise afin de trouver la force. Si on multiplie les deux côtés par l’aire 𝐴, ce terme s’annule à droite. Et on constate que la force est égale à la surface de pression. Cela nous indique que la force 𝐹 un au bas du goutte-à-goutte est égale à la pression à cet endroit, on l’appellera 𝑃 un, multipliée par l’aire de la section transversale de cette ouverture, que l’on a appelée 𝐴 un. On nous donne cette aire 𝐴 un. Et 𝑃 un est égal à 𝜌, la masse volumique de notre solution saline, fois 𝑔 multipliée par la hauteur de la solution dans la poche. Autrement dit, on pourrait écrire notre équation pour 𝐹 un comme 𝜌 fois 𝑔 fois ℎ fois 𝐴 un.
Maintenant, vérifions que toutes ces valeurs sont connues. La masse volumique du fluide 𝜌 est donnée comme étant de 2160 kilogrammes par mètre cube. 𝑔 est une constante valant 9,8 mètres par seconde au carré. ℎ est la hauteur de la solution saline dans la poche, soit 15 centimètres. Et 𝐴 un est l’aire du trou au bas de la poche, donnée comme étant de 0,785 centimètres carrés. On est donc prêt à insérer ces valeurs. Avec toutes ces valeurs insérées, prenons un moment pour examiner les unités de ces termes.
Pour la masse volumique, on a des unités de kilogrammes par mètre cube. Pour 𝑔, on a des unités de mètres par seconde au carré. Pour la hauteur ℎ, nos unités sont en centimètres. Et pour notre aire 𝐴 un, ce sont des centimètres carrés. On peut alors voir que l’on n’est pas tout à fait prêt à multiplier toutes ces valeurs ensemble car on a des unités de longueur différentes. Deux de ces termes, les deux premiers, utilisent des mètres, tandis que les deux derniers utilisent des centimètres. On doit alors les convertir de sorte qu’elles soient toutes dans la même unité.
On peut soit décider de changer les mètres en centimètres, soit les centimètres en mètres. L’une ou l’autre méthode fonctionnerait. Mais on choisit la deuxième possibilité, convertir les centimètres en mètres. On rappelle que 100 centimètres valent un mètre. Ou une autre façon de dire la même chose : un centimètre est égal à un centième de mètre. Cela signifie que chaque fois que l’on a des centimètres dans notre expression, on peut les remplacer par un divisé par 100 fois un mètre. Ainsi, 15 centimètres deviennent 15 fois un divisé par 100 mètres et 0,785 centimètres carrés deviennent 0,785 fois un divisé par 100 mètres au carré.
Donc, 15 centimètres deviennent 15 divisé par 100 mètres, ou autrement dit, 0,15 mètres. Puis, en prenant soin de mettre au carré un divisé par 100 ainsi que les unités de mètres, on obtient comme résultat pour notre aire 𝐴 un : 0,785 divisé par 10000 mètres carrés. La raison pour laquelle on a 10000 au dénominateur est qu’il s’agit de un divisé par 100 fois un divisé par 100. Grâce à cette conversion, les unités sont toutes cohérentes. Et on est alors prêt à calculer 𝐹 un. Ce faisant, à deux décimales près, on obtient un résultat de 0,25 newtons. Il s’agit de la force qui agit sur le trou au bas de la poche. Voyons maintenant la deuxième question de cet exercice.
Cette question demande quelle est l’intensité de la force exercée par la solution saline sur la canule ? Donnez votre réponse à trois décimales près.
En regardant notre schéma, on peut rappeler que la canule est l’endroit où le mince tube de la poche d’égouttement est relié à l’aiguille qui va dans le patient. On a appelé l’aire de la section transversale de cette canule 𝐴 deux. Et dans l’énoncé du problème, cette valeur nous est donnée comme étant de 0,0225 centimètres carrés. En revenant à la question, on voit que, dans ce cas, comme précédemment, on cherche à trouver l’intensité d’une force. Appelons cette force la force de la solution saline sur la canule 𝐹 deux. Et cette force 𝐹 deux sera égale à la pression, que l’on peut appelée 𝑃 deux, sur la canule multipliée par l’aire de sa section transversale.
On nous donne cette aire, 𝐴 deux. Mais qu’en est-il de la pression 𝑃 deux ? Autrement dit, quelle est la pression qui agit sur la canule à l’extrémité de ce long tube en provenance de la poche ? Et bien, puisque cette aire dans ce tube mince situé au bas de la poche d’égouttement jusqu’à la canule est un système fermé d’un fluide incompressible, cela signifie que la pression de la solution saline dans tout ce tube et jusqu’à la canule sera la même. On peut considérer ceci comme étant un tronçon de tuyau traversé par un fluide. Puisque le tuyau est très mince et a un diamètre constant, la pression du fluide est constante en tout point.
Cela nous est utile car cela signifie que 𝑃 deux, la pression au niveau de la canule, est du même ordre de grandeur que 𝑃 un, la pression au bas de la poche. Et cette pression, comme on l’a vu, était égale à 𝜌, la masse volumique du fluide, multipliée par l’accélération due à la gravité multipliée par la hauteur du fluide dans la poche. Donc, on peut utiliser les mêmes valeurs qu’auparavant pour caractériser la pression au niveau de la canule.
En insérant 𝜌, 𝑔, ℎ, ainsi que 𝐴 deux, on voit que l’on se retrouve avec le même problème que précédemment où on a des unités différentes, mètres et centimètres, pour les longueurs. Une fois de plus, pour contourner ce problème, on va devoir convertir les centimètres en mètres. On a vu que 15 centimètres est égal à 0,15 mètre. Par ailleurs, 0,0225 centimètres carrés est égal à 0,0225 divisé par 10000 mètres carrés. On est donc maintenant prêt à calculer la valeur de la force 𝐹 deux. À trois décimale près, celle-ci vaut 0,007 newtons. Il s’agit de l’intensité de la force exercée par la solution saline sur la canule.
