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Vidéo question :: Développer un binôme de degré 𝑛 Mathématiques • Troisième secondaire

Développez (7 + 2𝑥) ³.

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Transcription de la vidéo

Développez sept plus deux 𝑥 le tout au cube.

Afin de développer cette expression, nous allons utiliser la formule du binôme de Newton. Voici la formule du binôme de Newton, nous allons voir comment l’utiliser. Elle peut sembler assez compliquée, mais ce que cela signifie en réalité, c’est que notre terme 𝑎 aura des puissances décroissantes et notre terme 𝑏 aura des puissances croissantes. Voyons alors comment cela fonctionne.

Mais avant cela, faisons attention à cette partie qui est un coefficient binomial. Cela représente ce par quoi chaque terme de notre développement va être multiplié, nous allons l’utiliser comme ceci. Cela nous montre que notre coefficient binomial est égal à factorielle de 𝑛 sur factorielle de 𝑛 moins 𝑘 multiplié par factorielle de 𝑘.

Et factorielle de 𝑛 est le produit de tous les entiers positifs inférieurs ou égaux à 𝑛. Voyons donc un exemple rapide de calcul d’un coefficient binomial. Bien, voici un exemple utilisant la formule ci-dessus pour le coefficient binomial deux parmi quatre. Nous avons factorielle de quatre, soit quatre multiplié par trois multiplié par deux multiplié par un, sur factorielle de 𝑛 moins 𝑘. Dans ce cas, cela va être égal à factorielle de quatre moins deux, donc factorielle de deux, donc deux multiplié par un, et cela multiplié par factorielle de 𝑘.

Ici, il s’agit de factorielle de deux, donc deux fois un, ce qui nous donne un coefficient binomial de six. Il est également utile de mentionner cette autre notation, 𝐶 𝑛 𝑘, ou sur certaines calculatrices, 𝑛 𝐶 𝑟. Et cela n’est qu’une autre façon de représenter le coefficient binomial.

Donc lorsque nous utilisons une calculatrice, nous saisissons quatre puis la touche 𝑛 𝐶 𝑟 puis deux, et cela nous donne la valeur de notre coefficient binomial, six. Très bien ! Nous connaissons maintenant la formule du binôme de Newton et ses parties. Nous pouvons continuer et développer notre expression.

Nous avons sept plus deux 𝑥 le tout au cube égale, eh bien, voici notre premier terme. Nous avons notre coefficient binomial – zéro parmi trois – où trois est la puissance de notre binôme, donc c’est notre 𝑛, et où zéro est notre premier terme.

Ce qu’il faut également garder à l’esprit, c’est que tout coefficient binomial avec un zéro en bas est toujours égal à un, et nous multiplions cela par sept au cube. La partie suivante – que nous n’écrivons pas en général, mais que nous écrivons ici pour montrer ce qui se passe– est notre terme deux 𝑥 à la puissance zéro. Puisque tout ce qui est à la puissance zéro est égal à un, cela revient à multiplier par un.

Et c’est ainsi parce que nos puissances commencent à zéro et progressent ensuite. Nous avons ensuite notre prochain terme où, comme nous pouvons le voir, le deux 𝑥 a vu son exposant augmenter. Celui-ci est maintenant simplement deux 𝑥 ou deux 𝑥 puissance un et notre sept a diminué de puissance puisqu’au lieu d’avoir sept au cube, nous avons maintenant sept au carré.

Et c’est la même chose avec notre prochain terme, la puissance de sept a encore diminué, nous avons maintenant simplement sept, sept à la puissance un, et la puissance de deux 𝑥 a augmenté pour donner deux 𝑥 au carré, ce qui nous amène à notre dernier terme – qui, encore une fois, n’est en général pas détaillé, mais on le fait ici pour montrer ce qui se passe. Nous avons sept à la puissance zéro, soit un, puis nous avons deux 𝑥 au cube.

Et puis en utilisant une calculatrice ou la formule que nous avons ici pour le coefficient binomial, nous pouvons simplifier et calculer chaque terme. Nous obtenons alors nos deux premiers termes, 343 puisqu’il s’agit de sept au cube, plus 294𝑥. Et puis nous faisons particulièrement attention au troisième terme, qui est plus 84 𝑥 au carré. Attention, c’est ici que les erreurs les plus courantes sont commises.

Nous avons tout d’abord trois, puisque cela est notre coefficient binomial, multiplié par sept puis multiplié par quatre 𝑥 au carré, et non deux 𝑥 au carré ; c’est là que beaucoup font l’erreur d’oublier de mettre le coefficient de 𝑥 au carré ainsi que le 𝑥 lui-même.

Donc cela est multiplié par quatre 𝑥 carré, ce qui nous donne 84 𝑥 carré. Il nous reste notre dernier terme, qui est huit 𝑥 au cube. Nous pouvons donc dire que lorsque nous développons sept plus deux 𝑥 le tout au cube, cela fait huit 𝑥 au cube plus 84 𝑥 au carré plus 294𝑥 plus 343. Et nous avons écrit l’expression de cette façon parce que la convention est d’écrire généralement les puissances de 𝑥 en ordre décroissant.

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