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Vidéo de question : Trouver la forme trigonométrique des racines des nombres complexes Mathématiques

Déterminez les racines cubiques de 64, en donnant vos réponses sous forme trigonométrique.

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Transcription de vidéo

Déterminez les racines cubiques de 64, en donnant vos réponses sous forme trigonométrique.

Cette question nous demande en effet de résoudre l’équation 𝑧 au cube est égal à 64. La méthode pour résoudre ce problème est très similaire à la méthode que nous utiliserions pour résoudre l’équation 𝑧 au cube est égal à un. On dit que l’équation 𝑧 à la puissance 𝑛 est égale à un possède des racines, qui sont appelées les racines 𝑛-ièmes de l’unité. Ils sont, sous forme trigonométrique, 𝑧 est égal à cosinus deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 plus 𝑖 sinus deux 𝜋𝑘 sur 𝑛, où 𝑘 est égal à zéro, un, deux, et ainsi de suite jusqu’à 𝑛 moins un.

On commence par réorganiser l’équation sous la forme 𝑧 au cube est égal à 64 multiplié par un. Ensuite, on détermine la racine cubique des deux membres de l’équation. Rappelons que la racine 𝑛-ième du produit de deux nombres réels 𝑎 et 𝑏 est égale au produit de la racine 𝑛-ième de ces nombres. On peut donc écrire la racine cubique de 64 multipliée par un comme la racine cubique de 64 multipliée par la racine cubique de un. Eh bien, la racine cubique de 64 est quatre et la racine cubique de un, en d’autres termes, les racines cubiques de l’unité, sont données par cosinus de deux 𝑘𝜋 sur trois plus 𝑖 sinus de deux 𝑘𝜋 sur trois, où 𝑘 prend les valeurs zéro, un et deux.

Pour trouver les trois racines, on va maintenant poser 𝑘 égal à zéro, un et deux. Lorsque 𝑘 est égal à zéro, la racine, que nous appellerons 𝑧 un, est égale à quatre multipliée par cosinus de zéro plus 𝑖 sin de zéro. Le cosinus de zéro est égal à un et sinus de zéro est égal à zéro. Cela signifie que 𝑧 un est simplement égal à quatre. Lorsque 𝑘 est égal à un, la deuxième racine 𝑧 deux est égale à quatre multipliée par cosinus deux 𝜋 sur trois plus 𝑖 sinus deux 𝜋 sur trois. À ce stade, on peut chercher la valeur du cosinus de deux 𝜋 sur trois et sinus de deux 𝜋 sur trois. Cependant, comme la question nous dit de donner les réponses sous forme trigonométrique, on va la laisser telle quelle. Enfin, lorsque 𝑘 est égal à deux, la troisième racine 𝑧 trois est égale à quatre multipliée par cosinus quatre 𝜋 sur trois plus 𝑖 sinus quatre 𝜋 sur trois.

À ce stade, on pourrait penser qu’on a obtenu les trois racines. Cependant, on rappelle que la mesure principale de l’argument 𝜃 doit être supérieure à moins 𝜋 et inférieure ou égale à 𝜋. Ce n’est pas le cas avec quatre 𝜋 sur trois. Heureusement, en ajoutant ou en soustrayant des multiples de deux 𝜋 de l’argument, on peut en obtenir un qui se situe dans les limite de la mesure principale. Quatre 𝜋 sur trois moins deux 𝜋 est égal à moins deux 𝜋 sur trois, ce qui est en effet supérieur à moins 𝜋. On peut donc réécrire la troisième racine 𝑧 trois comme quatre multiplié par cosinus de moins deux 𝜋 sur trois plus 𝑖 sinus de moins deux 𝜋 sur trois.

Nous avons déterminé les trois racines cubiques de 64 comme requis. Ils sont quatre, quatre multipliés par cosinus deux 𝜋 sur trois plus 𝑖 sinus deux 𝜋 sur trois, et quatre multipliés par cosinus de moins deux 𝜋 sur trois plus 𝑖 sinus de moins deux 𝜋 sur trois.

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