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Vidéo question :: Calcul du produit vectoriel de deux vecteurs représentés sur un quadrillage 3D Physique • Première secondaire

Le schéma illustre deux vecteurs, 𝐀 et 𝐁, dans un espace tridimensionnel. Les deux vecteurs se trouvent dans le plan 𝑥𝑦. Chacun des carreaux du quadrillage a une longueur de côté de 1. Calculez 𝐀 × 𝐁.

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Le schéma illustre deux vecteurs, 𝐀 et 𝐁, dans un espace tridimensionnel. Les deux vecteurs se trouvent dans le plan 𝑥𝑦. Chacun des carreaux du quadrillage a une longueur de côté de un. Calculez le produit vectoriel de 𝐀 croix 𝐁.

La question concerne les produits vectoriels, et en particulier on nous demande de déterminer le produit vectoriel de 𝐀 croix 𝐁. Les vecteurs 𝐀 et 𝐁 nous sont donnés sous la forme de flèches sur un schéma, et on nous dit que les deux vecteurs se trouvent dans le plan 𝑥𝑦. Nous allons commencer par rappeler la définition du produit vectoriel de deux vecteurs. Nous allons considérer deux vecteurs généraux, que nous appellerons 𝐂 et 𝐃, et supposons que ces deux vecteurs se trouvent dans le plan 𝑥𝑦. Alors, nous pouvons écrire ces vecteurs en fonction de leurs composantes sous la forme d’une composante 𝑥 avec un indice 𝑥 multiplié par 𝐢 chapeau plus une composante 𝑦 avec un indice 𝑦 multiplié par 𝐣 chapeau.

Rappelez-vous que 𝐢 qui est le vecteur unitaire dans la direction 𝑥 et 𝐣 qui est le vecteur unitaire dans la direction 𝑦. Ensuite, nous pouvons écrire le produit vectoriel de 𝐂 croix 𝐃 comme la composante 𝑥 de 𝐂 multipliée par la composante 𝑦 de 𝐃 moins la composante 𝑦 de 𝐂 multipliée par la composante 𝑥 de 𝐃, le tout multiplié par 𝐤 chapeau, où 𝐤 chapeau est le vecteur unitaire dans la direction 𝑧. En regardant cette expression générale pour le produit vectoriel de deux vecteurs qui se trouvent dans le plan 𝑥𝑦, nous voyons que si nous voulons calculer le produit vectoriel de 𝐀 croix 𝐁, alors nous allons avoir besoin de connaître les composantes 𝑥 et 𝑦 des vecteurs 𝐀 et 𝐁.

Maintenant, les vecteurs 𝐀 et 𝐁 nous sont tous deux donnés dans le schéma illustré dans la question. Et cette question nous dit aussi que les carreaux du quadrillage de ce diagramme ont une longueur de côté égale à un. Cela signifie que pour trouver les composantes 𝑥 et 𝑦 de nos vecteurs 𝐀 et 𝐁, tout ce que nous devons faire est de compter le nombre de carreaux correspondant à l’tendue de chaque vecteur dans chaque direction 𝑥 et 𝑦. Puisque chaque carreau a une longueur d’une unité, le nombre de carreaux nous donne directement les composantes 𝑥 et 𝑦 des vecteurs.

Commençons par faire cela pour le vecteur 𝐀. En traçant jusqu’à l’axe des 𝑥 à partir de la pointe du vecteur 𝐀 puis en comptant le long des carreaux, nous pouvons voir que le vecteur 𝐀 s’étend sur un, deux, trois, quatre, cinq carreaux dans le sens positif de la direction 𝑥. Et en traçant à partir de la pointe du vecteur 𝐀 jusqu’à l’axe des 𝑦, nous pouvons compter que 𝐀 s’étend sur une, deux unités dans le sens positif de la direction 𝑦. Nous pouvons donc écrire le vecteur 𝐀 en fonction de ses composantes comme sa composante 𝑥, cinq, multiplié par 𝐢 chapeau plus sa composante 𝑦, deux, multiplié par 𝐣 chapeau.

Faisons maintenant la même chose avec le vecteur 𝐁. En traçant de la pointe du vecteur 𝐁 à l’axe des 𝑥, nous voyons que 𝐁 s’étend sur un carreau dans le sens négatif de la direction 𝑥. Et en traçant vers l’axe des 𝑦, nous pouvons voir que 𝐁 s’étend sur un, deux, trois, quatre, cinq carreaux dans le sens positif de la direction 𝑦. Ainsi, nous pouvons écrire 𝐁 en fonction de ses composantes comme sa composante 𝑥, moins un, multipliée par 𝐢 chapeau plus sa composante 𝑦, cinq, multipliée par 𝐣 chapeau.

Maintenant que nous avons nos deux vecteurs 𝐀 et 𝐁 écrits sous forme de composantes, nous sommes prêts à utiliser cette expression ici pour calculer le produit vectoriel de 𝐀 croix 𝐁. En regardant notre expression générale pour le produit vectoriel, nous voyons que le premier terme est donné par la composante 𝑥 du premier vecteur du produit multiplié par la composante 𝑦 du deuxième vecteur dans le produit. Dans notre cas, le premier vecteur de notre produit est 𝐀 et le deuxième vecteur est 𝐁.

Donc, pour ce premier terme, nous avons besoin de la composante 𝑥 du vecteur 𝐀, qui est de cinq, multipliée par la composante 𝑦 du vecteur 𝐁, qui est également de cinq. Nous soustrayons ensuite un deuxième terme à ce premier. Ce deuxième terme est la composante 𝑦 du premier vecteur du produit multipliée par la composante 𝑥 du deuxième vecteur du produit. Donc, pour notre cas de figure, c’est la composante 𝑦 du vecteur 𝐀, qui est de deux, multipliée par la composante 𝑥 du vecteur 𝐁, qui est de moins un. Et comme nous l’avons dit, nous soustrayons ce deuxième terme du premier. Toute cette expression est ensuite multipliée par le vecteur unitaire 𝐤 chapeau.

La dernière étape restante est de calculer cette expression. Le premier terme, qui est de cinq multiplié par cinq, nous donne 25, tandis que le deuxième terme, deux multiplié par moins un, nous donne moins deux. Ensuite, lorsque nous calculons 25 moins moins deux, nous obtenons 27. Et donc notre réponse pour le produit vectoriel de 𝐀 croix 𝐁 est de 27𝐤 chapeau.

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