Vidéo : Intégration impliquant des fonctions trigonométriques inverses

Dans cette vidéo, nous apprendrons à évaluer les intégrales donnant des fonctions trigonométriques inverses, par exemple, ∫ 1/(1 + 𝑥²) d𝑥.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous apprendrons comment utiliser la primitive des fonctions trigonométriques inverses pour intégrer des fonctions plus compliquées où il n’est pas immédiatement évident que la règle de substitution et l’intégration par parties peuvent aider. Il est donc important que vous ayez confiance en dérivant les fonctions trigonométriques inverses de la forme sinus inverse de 𝑥, tan inverse de 𝑥 et sécante inverse 𝑥.

Toute cette vidéo est rendue possible grâce au théorème fondamental de l’analyse. Rappelez-vous, la première partie de ce théorème dit que si une fonction 𝑓 est continue, alors la dérivée de l’intégrale d’une fonction 𝑓 par rapport à la variable 𝑡 sur un certain intervalle 𝑎 à 𝑥 est égale à la fonction 𝑓 par rapport à 𝑥. Essentiellement, il décrit la dérivée et l’intégrale comme des processus inverses. Et heureusement pour nous, cela signifie que si nous pouvons reconnaître le dérivé d’une fonction comme notre intégrande, avec un peu de manipulation, nous pouvons assez facilement intégrer des fonctions assez méchantes.

Donc, à ce stade, nous allons rappeler les résultats généraux pour les dérivées des principales fonctions trigonométriques inverses auxquelles nous ferons référence tout au long de cette vidéo. Le premier qui nous intéresse est la dérivée de la fonction sin inverse de 𝑥 sur 𝑎 pour les constantes réelles 𝑎. C’est un sur la racine carrée de 𝑎 au carré moins 𝑥 au carré. Et cela n’est valable que pour des valeurs de sin inverse de 𝑥 sur 𝑎 supérieures ou égales à moins 𝜋 sur deux et inférieures à 𝜋 sur deux. Avec des contraintes similaires sur la plage de la fonction tan inverse de 𝑥 sur 𝑎, nous obtenons que sa dérivée est 𝑎 sur 𝑎 au carré plus 𝑥 au carré.

Et enfin, nous savons que la dérivée de sec inverse de 𝑥 sur 𝑎 est 𝑎 sur 𝑥 fois la racine carrée de 𝑥 au carré moins 𝑎 au carré. Rappelez-vous maintenant que lorsque vous effectuez un calcul avec des fonctions trigonométriques, nous travaillons toujours avec des radians. Nous allons maintenant avoir un exemple simple de la façon dont ces dérivées peuvent nous aider à évaluer une fonction avec comme résultat une fonction trigonométrique inverse simple.

Évaluez l’intégrale définie entre les bornes un et racine trois de moins un sur un plus 𝑥 au carré par rapport à 𝑥.

Ici, nous avons une intégrale définie avec des limites de un et une racine carrée de trois. Cela signifie que nous allons devoir utiliser la deuxième partie du théorème fondamental de l’analyse pour l’évaluer. Cela nous dit que si 𝑓 est une fonction de valeur réelle sur un intervalle fermé 𝑎 à 𝑏 et que le grand 𝐹 est une primitive de 𝑓 dans cet intervalle fermé de telle sorte que le grand 𝐹 prime de 𝑥 est égal à 𝑓 de 𝑥. Alors si 𝑓 est Riemann intégrable sur l’intervalle fermé, alors on peut dire que l’intégrale définie entre 𝑎 et 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 est égale à grand 𝐹 de 𝑏 moins le grand 𝐹 de 𝑎. Essentiellement, nous pouvons évaluer l’intégrale ici en trouvant la primitive de cette fonction moins un sur un plus 𝑥 au carré et en l’évaluant entre la racine trois et une.

Maintenant, l’intégrale de moins un sur un plus 𝑥 au carré n’est pas particulièrement agréable. Mais en fait, nous constatons que nous pouvons supprimer tous les facteurs constants et nous concentrer sur l’intégrale elle-même. Donc, ici, nous prenons notre facteur constant moins un. Et nous cherchons maintenant à évaluer l’intégrale moins un sur un plus 𝑥 au carré entre un et la racine trois. Ensuite, nous constatons que nous avons le résultat standard pour la dérivée de tan inverse de 𝑥 sur 𝑎. C’est 𝑎 sur 𝑎 au carré plus 𝑥 au carré. Et cela, bien sûr, signifie que la primitive de 𝑎 sur 𝑎 au carré plus 𝑥 au carré doit être tan inverse de 𝑥 sur 𝑎.

Maintenant, si nous comparons la fonction 𝑎 sur 𝑎 au carré plus 𝑥 au carré avec notre fonction un sur un plus 𝑥 au carré, nous pouvons voir que 𝑎 est égal à un. Donc, si nous disons que 𝑓 de 𝑥 est égal à un sur un plus 𝑥 au carré, alors la primitive grand 𝐹 de 𝑥 doit être tan inverse de 𝑥 sur un, qui est simplement tan inverse de 𝑥. Par la deuxième partie de notre théorème, nous pouvons donc dire que l’intégrale définie entre un et la racine trois de un sur un plus 𝑥 au carré par rapport à 𝑥 est égale à tan inverse de la racine trois moins tan inverse de un. Et bien sûr, nous avons retiré cette constante de moins un au début.

Nous savons alors que tan inverse de la racine trois est 𝜋 par trois, et tan inverse de un est 𝜋 sur quatre. Nous allons trouver la différence entre ces deux fractions en utilisant un dénominateur commun. Nous multiplions le numérateur et le dénominateur de notre première fraction sur quatre et le numérateur et le dénominateur de notre deuxième fraction par trois. Et nous cherchons à calculer moins quatre 𝜋 sur 12 moins trois 𝜋 sur 12. Quatre 𝜋 sur 12 moins trois 𝜋 sur 12 est 𝜋 sur 12. Donc, notre réponse ici est moins 𝜋 sur 12. Maintenant, nous venons de trouver le résultat général pour l’intégrale indéfinie de 𝑎 sur 𝑎 au carré plus 𝑥 au carré par rapport à 𝑥 pour les constantes réelles 𝑎. C’est tan inverse de 𝑥 sur 𝑎 plus une constante d’intégration 𝑐. Et plutôt que de sauter directement dans l’évaluation de grand 𝐹 de 𝑏 moins de grand 𝐹 de 𝑎, nous aurions bien sûr pu inclure cette étape supplémentaire en utilisant ces crochets.

Trouver la primitive générale grand 𝐺 de 𝑣 de la fonction 𝑔 de 𝑣 est égal à quatre cos 𝑣 plus trois sur cinq racine un moins 𝑣 au carré.

N’oubliez pas que la primitive est fondamentalement l’opposé de la dérivée. Et une autre façon d’y penser est de trouver la primitive grand 𝐺 de 𝑣. Nous pouvons trouver l’intégrale indéfinie de cette fonction. On dit donc que le grand 𝐺 de 𝑣 est égal à l’intégrale indéfinie des minuscules 𝑔 de 𝑣. Remplaçons 𝑔 de 𝑣 avec la fonction cos quatre 𝑣 plus trois plus cinq fois la racine carrée d’un moins 𝑣 carré. Nous rappelons ensuite une propriété clé des intégrales ; c’est-à-dire que l’intégrale de la somme de deux fonctions ou plus est égale à la somme de l’intégrale de chaque fonction respective. Et nous pouvons donc diviser notre intégrale. Et nous voyons que le grand 𝐺 de 𝑣 est égal à l’intégrale de quatre cos 𝑣 plus l’intégrale de trois plus cinq fois la racine carrée d’un moins 𝑣 au carré.

Une autre propriété clé que nous pouvons appliquer est que l’intégrale de certains temps constants d’une fonction est égale à cette fois constante l’intégrale de la fonction. Et nous pouvons donc réécrire ceci comme quatre fois l’intégrale de cos de 𝑣 plus les trois cinquièmes fois l’intégrale de un sur le carré d’un moins 𝑣 au carré. Maintenant, c’est génial car nous pouvons utiliser des résultats généraux pour les dérivées. Premièrement, nous savons que la dérivée de sin 𝑥 est cos de 𝑥. La primitive et donc l’intégrale de cos de 𝑣 est le sin de 𝑣. Et bien sûr, lorsqu’il s’agit d’intégrales définies, nous ajoutons une constante d’intégration. Appelons cela 𝐴. Cette première partie devient donc quatre fois le sin de 𝑣 plus 𝐴.

Ensuite, nous savons que si le sin inverse de 𝑥 sur 𝑎 est supérieur ou égal à moins 𝜋 sur deux et inférieur ou égal à 𝜋 sur deux, alors sa dérivée est égale à un sur la racine carrée de 𝑎 au carré moins 𝑥 au carré. Maintenant, dans notre exemple, 𝑎 au carré est égal à un. Donc 𝑎 doit également être égal à un. Ainsi, la primitive de un sur la racine carrée d’un moins 𝑣 au carré et, par conséquent, l’intégrale de cette fonction est le sin inverse de 𝑥 sur un. Et nous ajoutons une autre constante d’intégration 𝐵. Maintenant, bien sûr, le sin inverse de 𝑥 sur un peut être écrit comme le sin inverse de 𝑥.

En répartissant nos parenthèses et en combinant les constantes en une nouvelle constante grand 𝐶, nous constatons que la dérivée générale grand 𝐺 de 𝑣 est égal à quatre sin de 𝑣 plus les trois cinquièmes du sin inverse de 𝑣 plus 𝐶. Et dans cet exemple, nous avons vu que l’intégrale indéfinie de un sur la racine carrée de 𝑎 au carré moins 𝑥 au carré par rapport à 𝑥 est le sin inverse de 𝑥 sur 𝑎 plus 𝑐.

Nous allons maintenant regarder un exemple qui nécessite juste un peu plus manipulation.

Évaluez l’intégrale indéfinie de un sur la racine carrée de quatre 𝑥 au carré moins 16 par rapport à 𝑥.

À première vue, il peut sembler que cela résulte simplement d’une fonction trigonométrique inverse. Cependant, une fois que nous savons que la dérivée de sec inverse de 𝑥 sur 𝑎 est 𝑎 sur 𝑥 fois la racine carrée de 𝑥 au carré moins 𝑎 au carré, lorsque la sécante inverse de 𝑥 sur 𝑎 est supérieure à zéro, inférieure à 𝜋, mais pas égal à 𝜋 par deux. Notre intégrande n’est pas tout à fait de cette forme. Nous avons remarqué en particulier que nous avons quatre 𝑥 au carré au lieu de seulement 𝑥 au carré. Nous allons donc devoir effectuer quelques manipulations. Nous allons commencer par multiplier le numérateur et le dénominateur de notre fraction par deux. Rappelez-vous maintenant que cela ne change pas réellement l’intégrande car c’est l’équivalent de la multiplication par un.

Nous cherchons donc à évaluer l’intégrale indéfinie de deux sur deux 𝑥 fois le carré de quatre 𝑥 au carré moins 16. Maintenant, nous remarquons que quatre 𝑥 au carré et 16 sont tous les deux des carrés. Cela signifie que nous pouvons écrire quatre 𝑥 au carré moins 16 comme deux 𝑥 au carré moins quatre au carré. Et maintenant, nous remarquons que nous pouvons faire une substitution. Si nous posons 𝑢 égal à deux 𝑥 au carré, alors à l’intérieur de notre signe racine carrée, nous aurons 𝑢 au carré moins quatre au carré. Notez que c’est beaucoup plus proche de la formule que nous recherchons. Si 𝑢 est égal à deux 𝑥, alors nous savons que d𝑢 par d𝑥 doit être égal à deux. Et nous pouvons dire de manière équivalente que d𝑢 doit être égal à deux 𝑥.

Eh bien remarquez, nous pouvons maintenant remplacer deux d𝑥 par d𝑢. Nous pouvons remplacer deux 𝑥 et deux 𝑥 par 𝑢, et notre fonction est maintenant dans la forme que nous recherchons. Nous devons intégrer une fois et demie la racine carrée de 𝑢 au carré moins quatre au carré par rapport à 𝑢. En regardant notre dérivée d’origine, nous avons remarqué que l’inverse de 𝑥 sur 𝑎 est la primitive de 𝑎 sur 𝑥 fois la racine carrée de 𝑥 au carré moins 𝑎 au carré. Dans notre exemple, 𝑎 doit être égal à quatre. Maintenant, le numérateur, bien sûr, de notre fraction est un sur quatre. Donc, notre intégrale sera un quart de sec inverse de 𝑢 sur quatre plus 𝑐. Notre dernière étape est un retour sur notre substitution, et nous remplaçons 𝑢 par deux 𝑥. Et nous voyons que notre intégrale indéfinie est un quart de sec inverse de 𝑥 sur deux plus la constante d’intégration 𝑐.

Dans notre dernier exemple, nous allons regarder une intégrale qui implique une manipulation en complétant le carré et une petite substitution intelligente.

Évaluez l’intégrale indéfinie d’un sur 𝑥 carré moins 𝑥 plus un par rapport à 𝑥.

Maintenant, ce n’est pas du tout une fonction intéressante à intégrer. Nous allons donc devoir faire quelque chose d’un peu intelligent. Ce n’est certainement pas le produit de deux fonctions. Nous n’allons donc pas utiliser l’intégration par parties. Mais si nous faisons quelque chose de spécial au dénominateur, nous pouvons réellement utiliser l’intégration par changement de variable. Nous allons compléter le carré du dénominateur de l’expression 𝑥 au carré moins 𝑥 plus un. Rappelez-vous, nous divisons par deux le coefficient de 𝑥. Ici, c’est moins un, donc la moitié est négative. Nous avons donc 𝑥 moins un demi au carré entre parenthèses. Moins un demi au carré représente un quart, donc nous soustrayons ce quart. Et nous voyons que notre expression équivaut à 𝑥 moins un demi au carré plus trois quarts. Et maintenant, c’est l’intégrale que nous cherchons à évaluer.

Ensuite, nous devons repérer que nous savons que l’intégrale indéfinie de 𝑎 sur 𝑎 au carré plus 𝑥 au carré. C’est tan inverse de 𝑥 sur 𝑎. Donc, pour nous assurer que notre fonction ressemble un peu à ceci, nous allons effectuer une substitution. Nous allons poser 𝑥 moins un demi égal à 𝑢. Ensuite, cette partie sera 𝑢 au carré. La dérivée de 𝑥 moins la moitié est un. Donc d𝑢 par d𝑥 est égal à un, ce qui signifie que d𝑢 est égal à d𝑥. On peut donc remplacer d𝑥 par d𝑢 et 𝑥 moins un demi par 𝑢. Et nous voyons que nous cherchons en fait à trouver l’intégrale indéfinie d’un sur 𝑢 carré plus trois quarts.

Maintenant, cela ne ressemble toujours pas à ce que nous recherchons. Nous avons besoin qu’il soit 𝑎 au carré du dénominateur. Eh bien, les trois quarts sont les mêmes que la racine carrée des trois quarts au carré. Donc 𝑎 ici est égal à la racine carrée des trois quarts. Et bien sûr, puisque les nombres de notre fraction sont un et non la racine carrée des trois quarts, l’intégrale est une divisée par la racine carrée des trois quarts fois tan inverse de 𝑢 sur la racine carrée des trois quarts plus 𝑐. Un divisé par la racine carrée de trois quarts est deux racines trois sur trois. Et puis nous revenons à notre substitution 𝑢 égale 𝑥 moins une moitié. Et nous remplaçons cela dans notre résultat. Et enfin, nous distribuons nos parenthèses. L’intégrale indéfinie de un sur 𝑥 carré moins 𝑥 plus un par rapport à 𝑥 est deux racine trois sur trois fois tan inverse de la racine trois sur trois fois deux 𝑥 moins un plus la constante d’intégration 𝑐.

Dans cette vidéo, nous avons vu que nous pouvons utiliser le concept de primitive pour intégrer des fonctions qui ont des résultats trigonométriques inverses. L’intégrale de un sur la racine carrée de 𝑎 au carré moins 𝑥 au carré est sin inverse de 𝑥 sur 𝑎. L’intégrale de 𝑎 sur 𝑎 au carré plus 𝑥 au carré est tan inverse de 𝑥 sur 𝑎. Et l’intégrale de 𝑎 sur 𝑥 fois la racine carrée de 𝑥 au carré moins 𝑎 au carré est sec inverse de 𝑥 sur 𝑎. Nous avons également vu que parfois nous devons effectuer certaines manipulations et une substitution intelligente pour obtenir nos résultats.

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