Vidéo : Lieux dans le plan complexe défini à l’aide du module

Dans cette vidéo, nous apprendrons à dessiner et interpréter des lieux dans le plan complexe exprimés en fonction de module.

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Dans cette vidéo, nous allons apprendre à dessiner et interpréter des lieux dans le plan complexe exprimés en fonction de module. Nous commencerons par regarder la géométrie dans le plan complexe avant de considérer les lieux et les équations d’un certain nombre de lieux différents. Ceux-ci comprendront des lieux circulaires, des bissectrices perpendiculaires et des lieux elliptiques.

Nous commençons par rappeler quelques définitions. Le lieu d’un point dit dans le plan complexe est l’ensemble de tous les points dits, qui satisfont une condition particulière. Nous savons également que le module d’un nombre complexe est la distance du point représentant ce nombre complexe tracé sur le plan d’Argand depuis l’origine. Pour un nombre complexe sous forme algébrique, 𝑧 est égal à 𝑎 plus 𝑏𝑖, son module est la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Dans notre premier exemple, nous considérerons simplement la géométrie du plan complexe.

Un nombre complexe 𝑤 se trouve à une distance de cinq racine deux de 𝑧 un, qui est neuf sur deux plus sept sur deux 𝑖, et à une distance de quatre racine cinq de 𝑧 deux, qui est moins neuf sur deux moins sept sur deux 𝑖. Le point 𝑤 se situe-t-il sur le cercle centré en l’origine qui passe par 𝑧 un et 𝑧 deux ?

Pour répondre à cette question, nous commencerons par considérer les propriétés des cercles. Les nombres complexes 𝑧 un et 𝑧 deux peuvent être tracés sur un diagramme d’Argand comme indiqué. 𝑧 un est représenté par le point dont les coordonnées cartésiennes sont neuf sur deux et sept sur deux. De même, 𝑧 deux a des coordonnées cartésiennes moins neuf sur deux et moins sept sur deux.

Remarquez comment 𝑧 un est égal à moins 𝑧 deux. Ils sont donc diamétralement opposés. Et le segment de droite qui relie 𝑧 un à 𝑧 deux doit former le diamètre du cercle. Nous pouvons utiliser des théorèmes de cercle pour déduire que cela signifie que 𝑤 se trouvera sur le cercle si le triangle formé par 𝑧 un, 𝑧 deux et 𝑤 est un triangle rectangle.

Pour vérifier s’il s’agit d’un triangle rectangle, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour vérifier si les longueurs des côtés données par 𝑎, 𝑏 et 𝑐 satisfont la formule 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré est égal au 𝑐 au carré, où 𝑐 est bien sûr le côté le plus long, l’hypoténuse, dans ce triangle.

Nous savons déjà que 𝑤 est à cinq racine de deux unités de 𝑧 un et qu’il est à quatre racine de cinq unités de 𝑧 deux. Nous devrons donc trouver la longueur du troisième côté du triangle. C’est la longueur du côté joignant 𝑧 un et 𝑧 deux. La distance de la longueur de ce côté sera le module de la différence entre ces deux nombres complexes. C’est le module de 𝑧 un moins 𝑧 deux.

Pour trouver leur différence, on trouve simplement la différence entre leurs parties réelles et leurs parties imaginaires. Les parties réelles, c’est neuf sur deux moins neuf sur deux. Et pour les parties imaginaires, c’est sept sur deux moins moins sept sur deux. Et cela signifie que la différence entre 𝑧 un et 𝑧 deux est de neuf plus sept 𝑖.

Rappelez-vous, nous cherchons à trouver le module de la différence entre ces deux nombres. C’est donc la racine carrée de neuf au carré plus sept au carré, qui est la racine carrée de 130.

Maintenant que nous connaissons les longueurs de ces trois côtés, nous pouvons vérifier s’ils satisfont le théorème de Pythagore. La racine 130 est plus longue que cinq racine deux et quatre racine cinq. Nous allons donc trouver la somme des carrés des deux longueurs plus courtes. Quatre racine cinq au carré est 50, et cinq racine deux au carré est 80. 50 plus 80 est 130, ce qui est en effet égal au carré de la racine 130.

Nous avons vu que ces trois côtés satisfont au théorème de Pythagore et forment donc les côtés d’un triangle rectangle. Cela signifie à son tour que la droite joignant 𝑧 un et 𝑧 deux forme le diamètre d’un cercle pour lequel 𝑤 se trouve sur la circonférence comme requis.

Cherchons à généraliser cette idée. Nous avons vu que la distance entre deux points est donnée par le module de leur différence. On peut donc dire que, pour un nombre complexe constant donné 𝑧 un, le lieu d’un point 𝑧, qui vérifie l’équation du module de 𝑧 moins 𝑧 un est égal à 𝑟, est un cercle centré en 𝑧 un de rayon 𝑟. Considérons maintenant un exemple d’application de cette définition.

Un nombre complexe 𝑧 satisfait l’équation du module de 𝑧 moins deux plus trois 𝑖 est égal à deux. 1) Décrivez le lieu de 𝑧 et donnez-lui une équation cartésienne. 2) Trouvez l’intervalle de l’argument de 𝑧 dans l’intervalle moins 𝜋 à 𝜋. 3) Trouvez l’intervalle du module de 𝑧.

Rappelez-vous, pour un nombre complexe constant 𝑧 un, le lieu d’un point 𝑧, qui satisfait l’équation donnée, est un cercle centré sur 𝑧 un avec un rayon 𝑟. Pour répondre à la première partie, nous réécrirons légèrement 𝑧 moins deux plus trois 𝑖 en factorisant moins un. Et nous obtenons 𝑧 moins deux moins trois 𝑖. Cela signifie que puisque notre nombre complexe 𝑧 satisfait cette équation, son lieu est un cercle de rayon deux, dont le centre est à deux moins trois 𝑖.

Et il y a deux façons de donner à cette équation cartésienne. Nous pourrions substituer 𝑧 égal à 𝑥 plus 𝑦𝑖 dans l’équation donnée. Alternativement, nous rappelons l’équation cartésienne d’un cercle centré en 𝑎𝑏 avec un rayon de 𝑟. C’est 𝑥 moins 𝑎 tous au carré plus 𝑦 moins 𝑏 le tout au carré est égal à 𝑟 au carré.

En prenant 𝑥 pour la partie réelle et 𝑦 pour la partie imaginaire, nous savons que, pour notre cercle, le rayon est de deux, 𝑎 est égal à deux et 𝑏 est égal à moins trois. En les substituant dans la formule, nous obtenons 𝑥 moins deux au carré plus 𝑦 moins moins trois au carré équivaut à deux au carré. Ainsi, l’équation cartésienne se simplifie en 𝑥 moins deux au carré plus 𝑦 plus trois au carré égale quatre.

Et maintenant, nous considérons la deuxième partie. Trouvez l’intervalle de l’argument de 𝑧 dans l’intervalle moins 𝜋 à 𝜋.

Nous allons commencer par dessiner le lieu donné sur un diagramme d’Argand. Rappelez-vous, c’est un cercle dont le centre se situe à deux, moins trois. Et son rayon est de deux unités. Cela signifie que l’axe imaginaire doit être tangent à ce cercle. Il est donc clair que la plus petite valeur possible pour l’argument doit être moins 𝜋 de deux radians. Mais qu’en est-il de sa valeur maximale ?

Eh bien, appelons cela 𝜃 moins 𝜋 sur deux. Et nous ajouterons une autre tangente au cercle. Nous appellerons cela au point 𝑏. Nous savons que les triangles 𝑂𝐵𝐶 et 𝐴𝑂𝐶 sont congrus. Ce sont des triangles rectangles qui partagent une hypoténuse de longueur égale. Ils ont également tous deux le rayon du cercle comme l’un de leurs côtés. Ils doivent donc être congruents. Cela signifie que ces angles aigus à 𝑂 doivent être égaux. Nous les appellerons 𝜃 divisé sur deux.

En utilisant la trigonométrie, nous pouvons voir que le tan de 𝜃 divisé sur deux doit être égal à 𝐴𝐶 divisé par 𝐴𝑂. 𝐴𝐶 est deux unités et 𝐴𝑂 est trois unités. Donc 𝜃 divisé sur deux doit être égal à l’arc tan des deux tiers. Et on peut donc dire que 𝜃 est égal à deux fois l’arctan des deux tiers. Et la valeur maximale est donc deux arctan de deux tiers moins 𝜋 sur deux. Et nous avons l’intervalle de l’argument.

Regardons donc la troisième partie. Trouvez l’intervalle du module de 𝑧.

Nous savons que la valeur minimale de 𝑧 se situera à ce point 𝐷. Et le maximum se situera au point 𝐸. Et c’est parce que le module est la distance entre le point représentant le nombre complexe sur le diagramme d’Argand et l’origine. Et nous connaissons en fait le rayon du cercle. Nous pouvons donc définir le minimum comme la longueur de 𝑂𝐶 moins le rayon et le maximum comme la longueur de 𝑂𝐶 plus le rayon.

Maintenant, bien sûr, nous avons vu que le rayon est de deux. Le minimum est donc 𝑂𝐶 moins deux, et le maximum est la longueur de 𝑂𝐶 plus deux. Et nous pouvons utiliser la formule de distance ou la définition du module pour trouver la longueur de 𝑂𝐶. 𝐶 est au point deux, moins trois. Ainsi, la longueur de 𝑂𝐶 est la racine carrée de deux au carré plus moins trois au carré, qui est la racine 13. Et nous pouvons voir que l’intervalle du module de 𝑧 est l’ensemble des valeurs entre la racine 13 moins deux et la racine 13 plus deux. Nous pouvons également inverser ce processus et appliquer une géométrie de coordonnées standard pour nous permettre de décrire un lieu donné comme une équation en fonction de module.

Voyons à quoi cela pourrait ressembler.

La figure montre un lieu d’un point 𝑧 dans le plan complexe. Écrivez une équation pour le lieu sous la forme du module de 𝑧 moins 𝑎 est égal à 𝑏, où 𝑎 est un nombre complexe et 𝑏 est supérieur à zéro, et ce sont des constantes à trouver.

Rappelez-vous que le lieu d’un point 𝑧, qui satisfait l’équation du module de 𝑧 un est 𝑧 un est égal à 𝑟, est un cercle centré en 𝑧 un de rayon 𝑟. Nous devons donc trouver le centre et le rayon du cercle représenté sur notre diagramme.

On voit que la circonférence du cercle passe par trois points. Ce sont les points qui représentent les nombres complexes zéro, quatre 𝑖 et moins 10. Nous voyons que le sommet à 𝑧 un est droit. Et puis on sait donc que la droite joignant 𝑧 un et 𝑧 deux passe par le centre du cercle. C’est le diamètre du cercle.

Nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour calculer sa longueur. Et ainsi nous pourrons trouver le rayon. En notant le diamètre comme 𝑑, nous voyons que 𝑑 est égal à la racine carrée de 10 au carré plus quatre au carré. Et cela équivaut à deux racine 29. Son rayon est la moitié de cela. Le rayon de notre cercle est donc de racine 29 unités.

Nous savons également que le centre du cercle doit se situer au milieu du diamètre. Nous pourrions appliquer ici une géométrie de coordonnées standard. Ou nous pourrions rappeler le fait que le milieu de deux nombres complexes est la moitié de leur somme. Et nous voyons que le centre du cercle se situe au point qui représente un nombre complexe de moitié moins 10 plus quatre 𝑖. C’est moins cinq plus deux 𝑖. Nous avons donc un cercle dont le rayon est la racine 29 et dont le centre se situe à moins cinq plus deux 𝑖. Cela signifie que l’équation de notre cercle et donc l’équation du lieu donné est le module de 𝑧 moins cinq plus deux 𝑖 égal à la racine 29.

Dans l’exemple suivant, nous utilisons le fait qu’une équation donnée par le module de 𝑧 moins 𝑧 un est égale au module de 𝑧 moins 𝑧 deux représente une bissectrice perpendiculaire du segment de droite qui relie les points 𝑧 un à 𝑧 deux. Par exemple, le module de 𝑧 est égal au module de 𝑧 moins six 𝑖 représente le lieu de tous les points équidistants des points zéro, zéro et zéro, six. Regardons un exemple un peu plus compliqué.

Un nombre complexe 𝑧 satisfait le module de 𝑧 plus un plus 𝑖 est égal au module de 𝑧 moins deux moins six 𝑖. Décrivez le lieu de 𝑧 et donnez son équation cartésienne. Nous commencerons par factoriser les termes à l’intérieur de chaque module pour nous assurer que ce lieu ressemble à la forme générale.

Le module de 𝑧 moins 𝑧 un est égal au module de 𝑧 un moins 𝑧 deux. C’est le module de 𝑧 moins moins un moins 𝑖 est égal au module de 𝑧 moins deux plus six 𝑖. Cela signifie que le lieu de 𝑧 est donné par tous les points équidistants du moins un moins 𝑖 et deux plus six 𝑖. C’est la bissectrice perpendiculaire du segment de droite entre les deux points du plan d’Argand.

Nous pouvons trouver son équation cartésienne comme nous le ferions l’équation cartésienne de n’importe quelle droite, en trouvant d’abord son gradient. Le gradient du segment de droite entre ces points représentant nos deux nombres complexes est de six moins moins un sur deux moins moins un, qui est de sept tiers. Puisque le lieu des points représentant 𝑧 forme la bissectrice de la droite perpendiculaire de ce segment de droite, le gradient est trouvé en utilisant le fait que le produit des gradients de deux droites, qui sont perpendiculaires, est moins un. Son gradient est donc moins trois septièmes.

Nous savons également que cette droite passe par le milieu des points représentant nos deux nombres complexes. Et ce point médian est la moitié de la somme de ces deux nombres complexes. C’est la moitié de moins un moins 𝑖 plus deux plus six 𝑖. C’est un demi plus cinq sur deux 𝑖. En utilisant la formule 𝑦 moins 𝑦 un est égal à 𝑚 fois 𝑥 moins 𝑥 un, avec les coordonnées cartésiennes un demi, cinq sur deux, nous obtenons 𝑦 moins cinq sur deux est égal aux trois-septièmes fois moins 𝑥 moins un demi.

Et nous pouvons réorganiser cela. Et nous voyons que l’équation de notre droite est 𝑦 égale trois-septièmes moins 𝑥 plus 19 sur sept. Pour nos deux derniers exemples, nous considérerons le lieu d’un point 𝑧 qui forme un cercle différent de notre premier exemple et celui qui forme une ellipse. La première définition que nous devons savoir est que le lieu d’un point 𝑧, qui satisfait à l’équation le module de 𝑧 moins 𝑧 un est égal à 𝑘 fois le module de 𝑧 moins 𝑧 deux lorsque 𝑘 est supérieur à zéro et non égal à un, est un cercle. Nous devons également savoir que le lieu d’un point 𝑧, qui satisfait l’équation du module de 𝑧 moins 𝑧 un plus le module de 𝑧 moins 𝑧 deux est égal à 𝑎, où le module de 𝑧 un moins 𝑧 deux est inférieur à 𝑎, est une ellipse, avec des foyers 𝑧 un et 𝑧 deux et un grand axe de longueur 𝑏.

Un nombre complexe 𝑧 satisfait l’équation : le module de 𝑧 plus un moins 13𝑖 est égal à trois fois le module de 𝑧 moins sept moins cinq 𝑖. Trouvez l’équation cartésienne du lieu de 𝑧.

On sait que le lieu des points 𝑧 qui satisfont cette équation forment un cercle. Nous pouvons trouver son centre et son rayon en substituant la forme algébrique générale du nombre complexe dans cette équation. Nous laisserons 𝑧 égal à 𝑥 plus 𝑦𝑖. Sur le côté gauche, nous obtenons 𝑥 plus 𝑦𝑖 plus un moins 13𝑖. Et sur le côté droit, il devient 𝑥 plus 𝑦𝑖 moins sept moins cinq 𝑖. Nous pouvons rassembler des parties réelles et imaginaires.

Et ensuite, nous considérons la définition du module. Le module d’un nombre complexe est la racine carrée de la somme des carrés des parties réelles et imaginaires. Dans notre cas, c’est comme indiqué. Nous allons concilier les deux côtés de cette équation. Et ensuite, nous distribuons à l’intérieur de nos parenthèses et rassemblons tous les termes. Nous pouvons ensuite diviser par huit. Et nous avons 𝑥 au carré moins 16𝑥 plus 𝑦 au carré moins huit 𝑦 plus 62 est égal à zéro.

Nous pouvons ensuite compléter le carré. Et nous voyons que cela simplifie à 𝑥 moins huit tous au carré plus 𝑦 moins quatre tous au carré est égal à 18. Nous avons trouvé l’équation cartésienne du lieu de 𝑧. Et en fait, nous pouvons décrire ce lieu comme un cercle, ce que nous avons dit plus tôt. Cependant, nous savons maintenant qu’il a un centre au point dont les coordonnées cartésiennes sont huit, quatre. Et son rayon est racine 18, ce qui se simplifie en trois racine deux unités.

Un nombre complexe satisfait le module de 𝑧 plus le module de 𝑧 moins cinq moins trois 𝑖 est égal à huit. Décrivez le lieu de 𝑧.

Rappelez-vous que le lieu d’un point 𝑧 qui satisfait le module de 𝑧 moins 𝑧 un plus le module de 𝑧 moins 𝑧 deux est égal à 𝑎, où le module de 𝑧 un moins 𝑧 deux est inférieur à 𝑎, est une ellipse, avec un foyer à 𝑧 un et 𝑧 deux et un grand axe de longueur 𝑏. Nous pouvons réécrire légèrement notre équation pour être le module de 𝑧 moins zéro plus le module de 𝑧 moins cinq plus trois 𝑖 est égal à huit. Cela signifie que le lieu de 𝑧 est une ellipse. Il a des foyers à l’origine et cinq plus trois 𝑖. Et il a un axe majeur de huit unités de longueur.

Dans cette leçon, nous avons vu que nous pouvons utiliser notre compréhension de la géométrie et de la géométrie du plan complexe pour interpréter les lieux de points qui satisfont certaines équations. Nous avons vu que le lieu d’un point 𝑧, qui satisfait cette équation, est un cercle de rayon 𝑟. Le lieu des points qui satisfont à ces équations est la bissectrice perpendiculaire du segment de droite entre 𝑧 un et 𝑧 deux. Nous avons également vu la forme alternative pour le lieu des points qui sont un cercle, ainsi que le lieu des points qui sont une ellipse.

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