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Dans cette leçon, nous allons apprendre à représenter graphiquement des fonctions trigonométriques, telles que sinus et cosinus, et à en déduire les propriétés.
Nous allons commencer par regarder des angles remarquables sur le cercle trigonométrique. Il s’agit d’un cercle de rayon d’une unité dont le centre se trouve à l’origine du repère cartésien. On peut rappeler que les ordonnées 𝑦 des différents points qui se trouvent sur ce cercle correspondent au sinus des différents angles. Par exemple, ce point nous indique ici que le sinus de 30 degrés est égal à un demi, et ce point nous indique que le sinus de 45 degrés est racine deux sur deux.
Maintenant, nous pouvons dessiner le tableau donné pour relier la valeur d’entrée, 𝑥, en degrés à la valeur de sortie pour sinus de 𝑥. Bien sûr, puisque nous pouvons continuer à nous déplacer autour du cercle infiniment et dans les deux sens, nous pourrions étendre ce tableau dans les deux sens. Cela signifie que le sinus est une fonction périodique. En particulier, le sinus de 𝑥 a une période de 360 degrés, ou deux 𝜋 radians. Une caractéristique clé de sinus de 𝑥, qui est démontrée dans son graphique, est que la fonction a une valeur de zéro lorsque 𝑥 est égal à zéro degré, et qu’elle croît jusqu’à la valeur maximale un lorsque 𝑥 est égale à 90 degrés.
En traçant les points du tableau ci-dessus, nous pouvons approximer la courbe représentative de sinus de 𝑥. Comme nous l’avons vu, la fonction sinus étant périodique, nous pouvons l’étendre dans les deux sens en répétant le graphique sur chaque intervalle de 360 degrés, comme indiqué ici. Nous pouvons maintenant voir aussi que la fonction sinus a des racines ; c’est-à-dire qu’elle coupe l’axe des 𝑥 à tous les 180 degrés, en commençant par zéro. Nous pouvons également voir qu’il y a une symétrie par rotation autour de l’origine ; cela signifie que c’est une fonction impaire. Résumons brièvement tout cela.
La représentation graphique de la fonction sinus a les caractéristiques suivantes. Elle a une ordonnée à l’origine de zéro et a une valeur maximale de un et une valeur minimale de moins un. Elle a des racines tous les 180 degrés, à partir de zéro. Elle est périodique avec une période de 360 degrés ou deux 𝜋 radians. Enfin, c’est aussi une fonction impaire. Formellement, cela signifie que le sinus de moins 𝑥 est égal à moins sinus 𝑥. Informellement, cela signifie qu’elle a une symétrie par rotation par rapport à l’origine.
Maintenant, nous pouvons effectuer un processus similaire pour trouver les coordonnées sur la représentation graphique de 𝑦 est égal à cosinus de 𝑥. Cette fois, les abscisses 𝑥 des différents points qui se trouvent sur le cercle trigonométrique correspondent au cosinus des différents angles. En fait, le tableau des valeurs d’entrées-sorties ressemble à ceci. Cela nous donne la représentation graphique de la fonction cosinus entre zéro et 360 degrés. Contrairement à la représentation graphique du sinus, le cosinus commence à la valeur maximale un lorsque 𝑥 est égal à zéro degré et décroît à la valeur minimale moins un lorsque 𝑥 est égal à 180 degrés. Comme le sinus, le cosinus est une fonction périodique avec une période de 360 degrés. Et donc, nous pouvons étendre cette représentation graphique sur un intervalle plus grand en faisant des copies du graphique sur l’intervalle entre zéro et 360 degrés.
Résumons les principales caractéristiques. Le point d’intersection avec l’axe des 𝑦 de la fonction cosinus est un, qui est son maximum, et elle décroît jusqu’à une valeur minimale de moins un. Elle a des racines tous les 180 degrés, à partir de 90. Elle a une période de 360 degrés ou deux 𝜋 radians. Enfin, c’est une fonction paire. En d’autres termes, cosinus de moins 𝑥 est égal à cosinus de 𝑥, et la courbe est symétrique par rapport à l’axe des 𝑦.
Nous allons maintenant considérer notre premier exemple dans lequel nous verrons comment utiliser ces propriétés pour nous aider à reconnaître les représentations graphiques de ces fonctions.
Lequel des énoncés suivants est la représentation graphique de 𝑦 égal à cosinus de 𝑥?
Rappelez-vous, l’une des caractéristiques clés de la représentation graphique de cosinus est qu’elle a une ordonnée à l’origine de un. Cela signifie que nous pouvons immédiatement ignorer toutes les représentations graphiques qui ne passent pas par le point zéro, un. Ainsi, nous pouvons immédiatement nous débarrasser des options (B), (D) et (E). Ensuite, nous savons que c’est une fonction périodique et qu’elle se répète tous les 360 degrés. L’option (C) semble avoir une période beaucoup plus courte ; en fait, elle se répète tous les 120 degrés, elle ne peut donc pas être celle-ci.
Cela ne laisse que l’option (A). Vérifions en regardant les autres propriétés. Certaines des racines de 𝑦 égale à cosinus de 𝑥 sont 90 degrés, 270 degrés et moins 90 degrés. Nous pouvons voir que l’option (A) passe par toutes ces valeurs sur l’axe des 𝑥. La courbe a des maximums à un et des minimums à moins un. C’est aussi une fonction paire, donc symétrique par rapport à l’axe des 𝑦. Par conséquent, nous avons confirmé que l’option (A) est bien la courbe de 𝑦 égale cosinus de 𝑥.
Dans cet exemple, nous avons vu qu’il est possible d’identifier la représentation graphique de cosinus de 𝑥 centrée à l’origine à partir de ses caractéristiques telles que son ordonnée à l’origine et sa périodicité. Les mêmes principes s’appliquent aux représentations graphiques de cosinus et de sinus lorsqu’elles sont observées à des valeurs de 𝑥 éloignées de l’origine. En particulier, nous pouvons utiliser la nature périodique de ces fonctions pour nous aider à déterminer l’emplacement des principales caractéristiques du graphique. Faisons la démonstration dans notre prochain exemple.
Considérez les figures suivantes. Partie (1) Quelle fonction la représentation graphique de la figure (a) représente-t-elle ? Est-ce (a) cosinus ou (b) sinus ? Partie (2) Affectez chaque région de la représentation graphique de la figure (a) au quadrant correspondant du cercle trigonométrique de la figure (b).
Pour répondre à la partie (1), récapitulons les valeurs de certaines des coordonnées des représentations graphiques des fonctions sinus et cosinus. Les coordonnées des points du cercle trigonométrique sont données par cosinus 𝜃, sinus 𝜃, où 𝜃 est l’angle dans le sens inverse des aiguilles d’une montre du rayon par rapport à l’axe des 𝑥 positif. Plus précisément, dans le graphique donné, nous pouvons voir que la valeur de la fonction est nulle lorsque l’angle est de deux 𝜋 radians ; c’est un tour complet. Les coordonnées du point sur le cercle trigonométrique qui correspondent à un angle de deux 𝜋 est un, zéro, ce qui signifie que cosinus de deux 𝜋 est un et sinus de deux 𝜋 est zéro. Le graphique donné indique que cette fonction prend la valeur de zéro à deux 𝜋, donc cela correspond à la fonction sinus. C’est l’option (B).
Pour répondre à la partie (2), nous pouvons utiliser les valeurs des ordonnées 𝑦 sur le cercle trigonométrique. Regardons la région A qui se situe entre trois 𝜋 sur deux et deux 𝜋, où deux 𝜋 est un tour complet et trois 𝜋 sur deux est les trois quarts de cela. Cela signifie que la région A doit se trouver ici, dans le quatrième quadrant. De même, cinq 𝜋 sur deux doivent faire un quart de tour de plus qu’un tour complet. Donc, la région B est ici, dans le premier quadrant. La région C est comprise entre cinq 𝜋 sur deux et trois 𝜋, un tour et demi, il s’agit donc du deuxième quadrant, ce qui signifie que la région D doit être dans le troisième quadrant. Ainsi, nous attribuons A au quadrant IV, B au quadrant I, C au quadrant II et D au quadrant III.
Jusqu’à présent, nous n’avons examiné que les représentations graphiques de 𝑦 égal à sinus de 𝑥 et 𝑦 égal à cosinus de 𝑥. Alors, que se passe-t-il si nous multiplions l’une par un nombre réel constant ? Par exemple, prenez la fonction 𝑦 égale deux cosinus de 𝑥. Cela signifie que nous entrons la valeur de 𝑥 dans la fonction 𝑦 égale cosinus de 𝑥 puis multiplions ce résultat par deux. Cela signifie que toutes les valeurs de 𝑦 doubleraient. Ainsi, les maximums seraient maintenant deux, et les minimums seraient maintenant moins deux. Ainsi, multiplier entièrement la fonction cosinus par deux nous donne une dilatation verticale par ce facteur d’échelle. En fait, nous obtiendrons un résultat similaire en multipliant les fonctions sinus et cosinus par une seule valeur constante. Voyons en particulier ce qui se passe si nous multiplions par une constante différente.
Considérons la représentation graphique ci-dessous. Quelle fonction représente-t-elle ? Est-ce l’option (A) 𝑦 égale cosinus de 𝑥, (B) 𝑦 égale deux cosinus 𝑥, (C) 𝑦 égale moins sinus 𝑥, (D) 𝑦 égale sinus 𝑥, ou (E) 𝑦 égale moins cosinus 𝑥?
Dans cet exemple, on nous donne une représentation graphique et nous devons décider laquelle des options la représente. Puisque toutes les options incluent sinus ou cosinus ou des multiples constants de celles-ci, nous devrions commencer par examiner les caractéristiques de ces fonctions. Rappelons d’abord les points d’intersection avec l’axe des 𝑦 du sinus et du cosinus. La représentation graphique de la fonction sinus coupe l’axe des 𝑦 en zéro, tandis que la représentation graphique de la fonction cosinus le coupe en un. En comparant cela au graphique donné, nous voyons que l’ordonnée à l’origine est en zéro, ce qui signifie que 𝑦 égal à cosinus de 𝑥 ne peut pas être une option. En fait, nous pouvons voir que cela s’applique également aux autres options qui sont des multiples de cosinus de 𝑥.
En particulier, la représentation graphique de 𝑦 égale deux cosinus 𝑥 peut être trouvée en multipliant les valeurs de sortie de cosinus de 𝑥 par deux. Cela signifie que l’ordonnée à l’origine serait un fois deux, soit deux. De même, l’ordonnée à l’origine de 𝑦 égal à moins cosinus de 𝑥 est un fois moins un, qui est moins un. Ainsi, nous pouvons également ignorer les options (B) et (E). Regardons les deux autres options.
Les deux représentations graphiques passeront par l’axe des 𝑦 en zéro, puisque moins un fois zéro est zéro. Nous connaissons également certaines des valeurs clés de la fonction sinus. Pour l’équation 𝑦 est égal à sinus 𝑥, lorsque 𝑥 est égal à 𝜋 sur six, 𝑦 est égal à 0,5. Et lorsque 𝑥 est égal à 𝜋 sur deux, 𝑦 est égal à un. Notre représentation graphique passe par les points 𝜋 sur six, moins 0,5 et 𝜋 sur deux, moins un, ce qui signifie que les valeurs de sortie sont multipliées par moins un. Pour y parvenir, nous devons multiplier le sinus de 𝑥 par moins un. Ainsi, la représentation graphique a l’équation 𝑦 égale moins sinus de 𝑥. C’est l’option (C).
Récapitulons maintenant les points clés de cette leçon. Les représentations graphiques des fonctions sinus et cosinus sont périodiques, et chaque fonction a une période de 360 degrés ou deux 𝜋 radians. Nous avons vu que les deux ont des maximums et des minimums en un et moins un, respectivement. L’ordonnée à l’origine de la représentation graphique du sinus est zéro, alors que pour la représentation graphique du cosinus c’est un. Enfin, nous avons appris que le sinus est une fonction impaire et que le cosinus est une fonction paire.