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Vidéo de question : Déterminer la primitive d’une fonction polynomiale Mathématiques

Déterminez l’expression générale d’une primitive générale d’une fonction définie par 𝑓(𝑥)=2𝑥²+3𝑥+3.

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Transcription de vidéo

Déterminez l’expression générale d’une primitive générale d’une fonction définie par 𝑓 de 𝑥 égale deux 𝑥 au carré plus trois 𝑥 plus trois.

Commençons par rappeler comment déterminer la dérivée d’un monôme de la forme 𝑎 fois 𝑥 puissance 𝑛. La première étape est de multiplier par la puissance de 𝑥, qui, dans notre cas, est 𝑛. La seconde étape consiste à diminuer de un la puissance de 𝑥, ce qui, dans notre cas, nous donne 𝑛 moins un. Maintenant que nous avons rappelé comment déterminer la dérivée d’un monôme, passons à la primitive. Pour déterminer la primitive, nous devons faire l’inverse de ce que nous avons fait pour déterminer la dérivée.

Ainsi, nous allons commencer par faire le contraire de ce que nous avions fait dans notre dernière étape et augmenter de un notre puissance de 𝑥. Nous devons ensuite faire le contraire de la première étape, c’est-à-dire que nous devons diviser par la puissance de 𝑥. Cependant, il faut prendre en compte le fait que lorsque nous avons déterminé la dérivée, nous avons multiplié par la puissance de 𝑥 initiale, celle qui n’avait pas encore été diminuée de un. Ainsi, le contraire de ce processus est de diviser par notre nouvelle puissance de 𝑥, celle qui a déjà été augmentée de un. Voyons quelques exemples pour nous assurer de n’avoir oublié aucune étape.

Prenons par exemple la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au cube. En appliquant nos règles de dérivation, nous obtenons que la dérivée de cette fonction est trois 𝑥 au carré. Considérons à présent la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au cube plus un. Si nous dérivons cette fonction, nous obtenons également trois 𝑥 au carré. En fait, quelle que soit la constante que nous additionnons ou que nous soustrayons à notre fonction, nous obtenons toujours la même dérivée. Nous pouvons représenter cette constante par la lettre 𝑐. Puisque les termes constants d’une fonction n’affectent pas sa dérivée, nous pouvons dire qu’ils disparaissent en quelque sorte dans le processus de dérivation.

Il faut donc être prudent lorsque nous réalisons le processus inverse de recherche de la primitive car, suivant cette logique, des constantes pourraient apparaître. C’est pourquoi nous devons ajouter une dernière étape à notre processus de recherche de primitive : additionner la constante 𝑐. Maintenant que nous avons nos trois étapes pour rechercher la primitive d’une fonction, nous pouvons les formaliser. Nous partons de la dérivée 𝑓 prime de 𝑥 d’une fonction de 𝑥, où 𝑓 prime de 𝑥 est égal à 𝑎𝑥 puissance 𝑛. Nous voulons déterminer la primitive de 𝑓 prime de 𝑥, c’est-à-dire déterminer 𝑓 de 𝑥.

Notre première étape va être d’augmenter de un la puissance de 𝑥 pour obtenir une nouvelle puissance égale à 𝑛 plus un. Notre deuxième étape est de diviser notre expression par notre nouvelle puissance, 𝑛 plus un. Notre troisième et dernière étape est d’additionner la constante 𝑐. Maintenant que nous avons formalisé ce processus, nous pouvons l’appliquer à la fonction donnée dans l’énoncé. La notation utilisée ici, que vous ne connaissez peut-être pas, indique simplement que nous cherchons la primitive par rapport à 𝑥. Nous allons appliquer nos étapes à tour de rôle en commençant pas notre premier terme, deux 𝑥 au carré.

Nous devons d’abord augmenter de un la puissance de 𝑥, ce qui nous donne deux 𝑥 puissance deux plus un. Bien sûr, cela donne deux 𝑥 au cube. Puis, nous divisons notre terme par cette nouvelle puissance, ce qui nous donne deux 𝑥 au cube sur trois. Nous reviendrons plus tard à notre dernière étape qui consiste à additionner la constante 𝑐. Pour l’heure, nous passons directement au deuxième terme de notre fonction, trois 𝑥. Nous commençons par augmenter de un la puissance de 𝑥, ce qui nous donne trois 𝑥 puissance un plus un. Soit trois 𝑥 au carré. Puis, nous divisons notre terme par notre nouvelle puissance de deux, ce qui nous donne trois 𝑥 au carré sur deux.

Nous passons directement à notre dernier terme, trois, que nous réécrivons sous la forme trois 𝑥 puissance zéro. Nous pouvons réécrire notre terme de cette manière car 𝑥 puissance zéro est égal à un. Ainsi, multiplier trois par 𝑥 puissance zéro revient à multiplier trois par un, ce qui est égal à trois. Une fois notre terme réécrit sous cette forme, nous pouvons augmenter de un la puissance de 𝑥, qui est égale à zéro, pour obtenir trois 𝑥 puissance zéro plus un. Bien sûr, cela est égal à trois 𝑥 puissance un. En divisant par notre nouvelle puissance, un, nous obtenons le même terme. Nous le réécrivons sous la forme trois 𝑥.

Enfin, vous aurez noté que pour chacun de nos termes, nous avons sauté la troisième étape et n’avons donc pas ajouté de constante. Il est vrai que nous aurions pu respecter cette étape pour chacun de nos termes et noter leurs constantes respectives 𝑐 un, 𝑐 deux et 𝑐 trois. Seulement, puisque ces constantes n’ont pas de valeur définie, nous pouvons opter pour une autre approche plus concise : poser que grand 𝐶 est égal à 𝑐 un plus 𝑐 deux plus 𝑐 trois. De cette manière, nous additionnons une seule constante à la fin de notre équation.

Nous avons à présent complété toutes les étapes. Nous avons montré que la primitive de la fonction donnée dans l’énoncé est égale à deux 𝑥 au cube sur trois plus trois 𝑥 au carré sur deux plus trois 𝑥 plus 𝐶.

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