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Sachant que la matrice 𝐵 égale zéro, moins deux 𝑥, moins 63, et 𝑧 plus 14, zéro, trois 𝑧, et moins trois 𝑦 plus six 𝑥, moins 12, zéro est antisymétrique, déterminez la valeur de 𝑥 + 𝑦 + 𝑧.
Sachant que cette matrice est antisymétrique, il est forcément vrai que la transposée de 𝐵 est égale à moins 𝐵. Cela est vrai pour toutes les matrices antisymétriques. Il s'agit d'une propriété très importante que nous allons utiliser pour répondre à cette question.
Pour l'utiliser, rappelons d'abord ce que signifie la matrice transposée de 𝐵. Pour une matrice 𝑛 par 𝑛, 𝐵 définie par 𝐵 égale 𝐵 𝑖𝑗, la transposée de 𝐵, notée 𝐵 T, est égale à 𝐵 𝑗𝑖. On remarque que la transposée d'une matrice échange les indices des lignes et des colonnes. Cela signifie que les lignes deviennent les colonnes et que les colonnes deviennent les lignes.
Pour utiliser cette propriété, nous allons donc devoir trouver la matrice transposée de 𝐵. Pour cela, on prend tout d'abord la première ligne de la matrice 𝐵, qui vaut zéro, moins deux 𝑥, moins 63. Et ces éléments deviennent la première colonne de la matrice transposée de 𝐵, comme ceci. Puis on prend les éléments de la deuxième ligne de la matrice 𝐵. Il s'agit de 𝑧 plus 14, zéro, trois 𝑧. Et ces valeurs deviennent la deuxième colonne de la matrice transposée de 𝐵. Et enfin, on prend les valeurs de la troisième ligne de la matrice 𝐵. Cela correspond à moins trois 𝑦 plus six 𝑥, moins 12, et zéro. Et ces valeurs deviennent les éléments de la troisième colonne de la matrice transposée de 𝐵. Cela nous donne la matrice transposée de 𝐵.
Nous allons maintenant utiliser cette propriété : la matrice transposée de 𝐵 est égale à moins la matrice 𝐵. Et rappelez-vous, cette propriété est vraie puisque nous savons que la matrice 𝐵 est antisymétrique. Nous venons de trouver la matrice transposée de 𝐵, et nous allons la poser égale à moins la matrice 𝐵. En rendant cette matrice négative, cela va changer le signe de chaque élément ou terme de la matrice. Ainsi les zéros restent les mêmes, et ces quatre éléments vont changer de signe. Il faut faire attention à ces deux éléments composés de deux parties, car le moins s'applique aux deux valeurs entre parenthèses.
Et maintenant, nous pouvons envisager d’égaliser ces deux matrices. Il suffit pour cela de comparer les éléments situés aux mêmes positions dans chaque matrice. Par exemple, puisque ces deux matrices sont égales, cela doit signifier que 𝑧 plus 14 est égal à deux 𝑥. Cela veut aussi dire que moins trois 𝑦 plus six 𝑥 égale 63 et que moins 12 égale moins trois 𝑧. Cette dernière est probablement un bon point de départ. Si moins 12 égale moins trois 𝑧, alors 𝑧 doit être égal à quatre.
On peut alors utiliser cela pour résoudre l'équation du haut : 𝑧 plus 14 égale deux 𝑥. Si on remplace 𝑧 par quatre, on obtient que quatre plus 14 égale deux 𝑥, ce qui donne 18 égale deux 𝑥. On obtient ainsi que 𝑥 égale neuf.
On peut alors utiliser cela pour résoudre la deuxième équation : moins trois 𝑦 plus six 𝑥 égale 63. On obtient donc que moins trois 𝑦 plus six multiplié par neuf égale 63. On sait que six multiplié par neuf est égale à 54. Si on soustrait maintenant 54 des deux membres de cette équation, on obtient que moins trois 𝑦 égale neuf.
Rappelez-vous que notre question nous demande de déterminer la valeur de 𝑥 plus 𝑦 plus 𝑧. Or, nous connaissons maintenant les valeurs de 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Donc 𝑥 plus 𝑦 plus 𝑧 égale neuf moins trois plus quatre. Et ça nous donne 10.
