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Vidéo question :: Vérifier les relations entre les produits cartésiens de deux ensembles donnés Mathématiques • Troisième préparatoire

Si 𝑋 = {37, 18, 39} et 𝑌 = {9, 12}, est-ce que (𝑌 × 𝑌) ⊂ (𝑋 × 𝑋)?

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Transcription de la vidéo

Si 𝑋 est l’ensemble des éléments 37, 18 et 39 et 𝑌 est l’ensemble des éléments neuf et 12, le produit de 𝑌 fois 𝑌 est-il un sous-ensemble du produit de 𝑋 fois 𝑋?

Le produit des 𝑌 contient des paires ordonnées à partir des éléments de 𝑌 et le produit des 𝑋 contient des paires ordonnées à partir des éléments de 𝑋. Et aucun des éléments de 𝑌 n’est dans 𝑋.

Bien, commençons par regarder les produits. Afin de créer cet ensemble produit de 𝑌 par 𝑌, nous devons utiliser les éléments de 𝑌. Or, les éléments de 𝑌 sont neuf et 12. Nous devons donc créer des paires ordonnées en utilisant ces éléments.

Commençons donc par utiliser le neuf. Et nous pouvons compléter neuf avec lui-même ou avec 12 pour former des paires. Donc, neuf, neuf serait une paire ordonnée et neuf, 12 serait une paire ordonnée. Commençons maintenant par 12. Nous pouvons associer 12 avec lui-même ou avec neuf. Nous avons donc 12, neuf et 12, 12. Et cela compléterait le produit de 𝑌 par 𝑌.

Et maintenant pour le produit de 𝑋 par lui-même . 𝑋 contient les éléments 37, 18 et 39. Commençons donc par 37. 37 peut être associé à lui-même, à 18 ou à 39. Voyons maintenant 18 comme le premier de la paire ordonné. Donc, 18 pourrait être associé à 37. Il peut être associé à lui-même ou à 39. Maintenant, prenons 39, il peut être associé à 37. Il pourrait être associé à 18 ou à lui-même.

Donc, la question est de savoir si le produit des 𝑌 est un sous-ensemble du produit des 𝑋, donc ce signe indique un sous-ensemble. Ainsi, pour que la partie des 𝑌 soit un sous-ensemble du produit des 𝑋, tous les éléments de 𝑌 fois 𝑌 doivent également se trouver dans le produit des 𝑋.

Nous avons donc neuf, neuf dans le produit des 𝑌. Et cela ne se trouve pas dans le produit des 𝑋. Neuf, 12 est également absent. Alors qu’en est-il de 12, neuf ? Cela ne fonctionnera pas car il ne se trouve pas dans l’ensemble bleu formé des paires ordonnées et 12, 12 non plus.

Et comme nous l’avons dit précédemment, c’est parce que les éléments qui se trouvent dans 𝑌 initialement, neuf et 12, ne se trouvent pas dans l’ensemble 𝑋, ce qui signifie que cela ne changera pas pour les produits. Par conséquent, la réponse sera non.

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