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Vidéo question :: Dériver des fonctions trigonométriques en utilisant la règle de dérivation en chaîne Mathématiques • Troisième secondaire

On pose 𝑦=8 sec²(5𝑥)−6. Déterminez d𝑦/d𝑥.

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Transcription de la vidéo

On pose 𝑦 égal à huit fois le carré de la sécante de cinq 𝑥, moins six. Déterminez d𝑦 sur d𝑥.

On doit déterminer une expression de la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 où 𝑦 est égal à huit fois le carré de la sécante de cinq 𝑥, moins six. Il existe différentes façons de faire cela. Par exemple, on pourrait réécrire huit fois la sécante au carré de cinq 𝑥 sous la forme huit fois la sécante de cinq 𝑥 multiplié par la sécante de cinq 𝑥. Et on pourrait ensuite dériver cette expression en utilisant la règle du produit. De façon similaire, on pourrait aussi remarquer que la sécante au carré de cinq 𝑥 est la composée de deux fonctions : on prend d’abord la sécante de cinq 𝑥 et on l’élève ensuite au carré. On pourrait alors dériver cela en utilisant la règle de dérivation en chaîne, ce qui fonctionnerait tout aussi bien que la méthode précédente. Mais on va utiliser une méthode encore différente et déterminer notre dérivée en utilisant la règle de dérivation d’une puissance.

On rappelle que d’après la règle de dérivation d’une puissance, pour toute constante 𝑛 et pour toute fonction dérivable 𝑔 de 𝑥, la dérivée par rapport à 𝑥 de la fonction 𝑔 de 𝑥 élevée à la puissance 𝑛 est égale à 𝑛 fois 𝑔 prime de 𝑥 multiplié par la fonction 𝑔 de 𝑥 élevée à la puissance 𝑛 moins un. Il s’agit en fait simplement d’une application de la règle de dérivation en chaîne. Pour utiliser la règle de dérivation d’une puissance, il faut remarquer que la sécante au carré de cinq 𝑥 est la sécante de cinq 𝑥, le tout au carré.

Et il est intéressant de noter qu’avec cette méthode, c’est la seule dérivée que nous aurons besoin de calculer. En effet, on sait qu’on peut déterminer la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 terme par terme, et on sait également que la dérivée de la constante moins six est zéro. Et bien sûr, on peut sortir le facteur constant huit de notre dérivée. Donc, pour appliquer la règle de dérivation d’une puissance à la sécante de cinq 𝑥 élevée au carré, on pose 𝑔 de 𝑥 égale à notre fonction interne, la sécante de cinq 𝑥, et 𝑛 égal à notre puissance, c’est-à-dire deux. On peut voir que pour appliquer la règle de dérivation d’une puissance, il va nous falloir déterminer une expression de 𝑔 prime de 𝑥. Il s’agit de la dérivée de la sécante de cinq 𝑥 par rapport à 𝑥.

Et il existe plusieurs façons de déterminer cette dérivée. Par exemple, on pourrait réécrire la sécante de cinq 𝑥 sous la forme un sur le cosinus de cinq 𝑥, puis appliquer la règle de dérivation d’une puissance ou la règle du quotient. Mais une méthode plus facile consiste à utiliser l’une de nos dérivées trigonométriques usuelles. On sait que pour toute constante 𝑎, la dérivée de la sécante de 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑎 fois la tangente de 𝑎𝑥 multiplié par la sécante de 𝑎𝑥. Dans notre cas, la valeur de 𝑎 est cinq. Cela nous donne que 𝑔 prime de 𝑥 est égal à cinq fois la tangente de cinq 𝑥 fois la sécante de cinq 𝑥.

Nous sommes maintenant prêts à appliquer la règle de dérivation d’une puissance pour déterminer une expression de la dérivée, par rapport à 𝑥, du carré de la sécante de cinq 𝑥. On veut donc calculer 𝑛 fois 𝑔 prime de 𝑥 multiplié par 𝑔 de 𝑥 puissance 𝑛 moins un. En remplaçant 𝑛, 𝑔 de 𝑥 et 𝑔 prime de 𝑥 par nos valeurs, on obtient deux fois cinq fois la tangente de cinq 𝑥 fois la sécante de cinq 𝑥 multiplié par la sécante puissance deux moins un de cinq 𝑥. Et on peut bien sûr simplifier cette expression. Tout d’abord, dans notre puissance, deux moins est égal à un, et on sait qu’élever une expression à la puissance un ne change pas sa valeur.

On a alors sécante de cinq 𝑥 fois sécante de cinq 𝑥. Ce qui est donc égal à la sécante au carré de cinq 𝑥. Enfin, on peut remplacer notre deux fois cinq par 10. Donc, notre dérivée se simplifie en 10 fois la tangente de cinq 𝑥 multiplié par la sécante au carré de cinq 𝑥. Mais ce n’est pas encore fini. N’oublions pas en effet que nous avons seulement dérivé la sécante au carré de cinq 𝑥. Et on nous demande de dériver l’expression de 𝑦 en entier, donc on doit déterminer une expression de d𝑦 sur d𝑥. Il s’agit de la dérivée par rapport à 𝑥 de huit fois la sécante au carré de cinq 𝑥 moins six.

On peut dériver cette expression terme par terme. On a donc la dérivée de huit fois la sécante au carré de cinq 𝑥 par rapport à 𝑥 moins la dérivée de six par rapport à 𝑥. Six est une constante, donc sa dérivée par rapport à 𝑥 est bien sûr égale à zéro. En utilisant les propriétés des dérivées, on peut ensuite sortir le facteur constant huit de notre dérivée. On a déjà déterminé une expression de la dérivée de la sécante au carré de cinq 𝑥. Elle est égal à 10 fois la tangente de cinq 𝑥 fois la sécante au carré de cinq 𝑥.

En remplaçant cela dans notre expression, on obtient huit fois 10 fois la tangente de cinq 𝑥 multiplié par la sécante au carré de cinq 𝑥. Enfin, on peut remplacer huit fois 10 par 80. Par conséquent, en utilisant la règle de dérivation d’une puissance, on a montré que si 𝑦 est égal à huit fois le carré de la sécante de cinq 𝑥, moins six, alors la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à 80 fois la tangente de cinq 𝑥 fois la sécante au carré de cinq 𝑥.

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