Vidéo de la leçon: Droites parallèles dans un triangle

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer des longueurs inconnues dans un triangle contenant des droites parallèles à l’aide de la proportionnalité. Commençons donc avec ce triangle. On suppose que les trois mesures d’angle de ce triangle sont différentes. Puis on coupe ce triangle par une droite parallèle à un des côtés. Nous appelons ce triangle 𝐴𝐵𝐶. Et nous définissons le segment parallèle par 𝐷𝐸.

Nous avons commencé avec le triangle le plus grand, le triangle 𝐴𝐵𝐶. Mais à cause de cette droite le coupant, nous avons maintenant un deuxième triangle 𝐴𝐷𝐸, le plus petit triangle. Et si nous souhaitons comparer le triangle 𝐴𝐵𝐶 au triangle 𝐴𝐷𝐸, nous avons besoin d’informations sur leurs longueurs de côtés ou sur leurs angles.

Pour cela, nous étendons les droites parallèles et le segment AB. Cela devrait nous rappeler que lorsque deux droites parallèles sont coupées par une sécantes, leurs angles correspondants sont égaux. Le segment 𝐷𝐸 et le segment 𝐵𝐶 sont parallèles, ce qui signifie que le segment 𝐴𝐵 peut être considéré comme une sécante de ces deux droites parallèles et que l’angle en 𝐷 est un angle correspondant à l’angle en 𝐵. Ces angles sont donc égaux.

Pour les mêmes raisons, l’angle en 𝐸 est un angle correspondant à l’angle en 𝐶. Et ces deux angles sont donc aussi égaux. Ces deux triangles partagent l’angle en 𝐴. On peut donc dire que l’angle BAC est égal à l’angle DAE, que l’angle ABC est égal à l’angle ADE et que l’angle ACB est égal à l’angle AED.

Lorsque deux triangles ont leurs trois angles égaux, on peut dire que les deux triangles sont semblables. Cela signifie qu’ils ont la même forme mais pas la même taille. Et dans des triangles semblables, les côtés correspondants sont toujours proportionnels. C’est-à-dire que leurs longueurs sont toujours dans le même rapport.

Étudions les longueurs des côté correspondants pour ces deux triangles. Le côté 𝐴𝐵 dans le grand triangle correspond au côté 𝐴𝐷 dans le petit triangle. Ce rapport est égal à la longueur du côté 𝐴𝐶 dans le grand triangle sur la longueur du côté 𝐴𝐸 dans le petit triangle. Et pour les derniers côtés, le côté 𝐵𝐶 dans le grand triangle correspond au côté 𝐷𝐸 dans le petit triangle.

Pour ce rapport, le numérateur est une longueur de côté du grand triangle et le dénominateur est la longueur du côté correspondant dans le petit triangle. Et pour que cette proportion soit vraie, nous devons utiliser ce modèle dans les autres rapports: la longueur de côté du grand triangle au numérateur et la longueur du côté correspondant du petit triangle au dénominateur.

Nous pouvons cependant écrire ces proportions d’une autre manière. Si nous prenons la longueur de côté 𝐴𝐵 et l’autre longueur de côté 𝐵𝐶 dans le grand triangle, nous pouvons toujours établir un rapport. Cette fois, nous devons mettre au numérateur de l’autre membre la longueur du côté correspondant à 𝐴𝐵, qui est 𝐴𝐷. Et au dénominateur, la longueur du côté correspondant à 𝐵𝐶, soit 𝐷𝐸. Dans ce cas, nous avons posé le rapport des longueurs de côtés du grand triangle égal au rapport des longueurs des côté correspondants du petit triangle. Cela signifie que nous pouvons aligner les longueurs des côté correspondants comme cela ou comme cela, tant que nous restons cohérents pour chacune des fractions.

Ce que nous avons montré ici peut être résumé dans un théorème sur les triangles. Et il s’agit du théorème de Thalès. Il stipule que si une droite parallèle à un côté d’un triangle coupe les deux autres côtés, alors elle divise ces côtés proportionnellement. Cela est vrai parce que ces droites parallèles créent deux triangles semblables. Nous devons également noter que cette droite parallèle coupant les deux autres côtés peut être située n’importe où le long du triangle tant qu’elle est parallèle au troisième côté. Nous sommes donc maintenant prêts à étudier quelques exemples.

D’après le schéma, quel rapport parmi les suivants est égal à 𝐴𝐵 sur 𝐴𝐷? (A) 𝐴𝐵 sur 𝐷𝐵, (B) 𝐴𝐶 sur 𝐴𝐸, (C) 𝐴𝐶 sur 𝐸𝐶, (D) 𝐴𝐷 sur 𝐷𝐵 ou (E) 𝐴𝐸 sur 𝐸𝐶.

Sur ce schéma, le segment 𝐸𝐷 est parallèle au segment 𝐶𝐵. Ils forment donc deux triangles semblables. Le triangle 𝐴𝐸𝐷 est semblable au triangle 𝐴𝐶𝐵. Et dans des triangles semblables, les longueurs des côté correspondants sont proportionnelles. Nous nous intéressons au rapport 𝐴𝐵 sur 𝐴𝐷. 𝐴𝐵 représente une longueur de côté du grand triangle et 𝐴𝐷 la longueur du côté correspondant dans le petit triangle. Cela signifie que nous recherchons le rapport d’une longueur de côté du grand triangle sur la longueur du côté correspondant dans le petit triangle.

La réponse (A) est 𝐴𝐵 sur 𝐷𝐵. Mais 𝐷𝐵 n’appartient pas au petit triangle, ce qui signifie que la réponse (A) n’est pas correcte. L’option (B) est la longueur de 𝐴𝐶, qui appartient au grand triangle sur la distance de 𝐴 à 𝐸. 𝐴𝐸 est la longueur du côté correspondant à 𝐴𝐶 dans le petit triangle. Les deux rapports sont donc égaux. Mais vérifions les autres réponses au cas où.

Nous trouvons à nouveau la longueur de 𝐴𝐶, mais le dénominateur est 𝐸𝐶. Et 𝐸𝐶 n’appartient pas au petit triangle, ce qui en fait une réponse incorrect. Qu’en est-il de la réponse (D)? 𝐴𝐷 est une longueur de côté du petit triangle et 𝐷𝐵 n’appartient pas à un des deux triangles semblables. Et nous voyons de nouveau que 𝐴𝐸 appartient au petit triangle mais que 𝐸𝐶 n’appartient à aucun des triangles semblables. Le seul rapport égal à 𝐴𝐵 sur 𝐴𝐷 dans cette liste est 𝐴𝐶 sur 𝐴𝐸.

L’exemple suivant est très similaire mais nous devons cette fois calculer une longueur de côté inconnue.

Calculez la valeur de 𝑥.

En observant le schéma, nous voyons un grand triangle coupé par le segment 𝐷𝐸. Et ce segment 𝐷𝐸 est parallèle au côté 𝐵𝐶. Quand un triangle est coupé par un segment parallèle à un de ses côtés, deux triangles semblables sont créés. Comme le segment 𝐷𝐸 est parallèle à 𝐵𝐶, le petit triangle 𝐴𝐷𝐸 est semblable au grand triangle 𝐴𝐵𝐶. On peut donc dire que 𝐴𝐷 sur 𝐴𝐵 est égal à 𝐷𝐸 sur 𝐵𝐶. Pour des triangles semblables, les longueurs des côtés correspondants sont en effet proportionnelles.

La longueur de 𝐴𝐷 est égale à 10 mais qu’en est-il de 𝐴𝐵? Et c’est là que nous devons être très prudents. La longueur de 𝐴𝐵 n’est pas égale à 11. La longueur de 𝐴𝐵 est la distance totale du sommet 𝐴 au sommet 𝐵, qui est égale à 21. Donc 𝐴𝐷 sur 𝐴𝐵 égale 10 sur 21. Nous savons que la longueur de 𝐷𝐸 est également égale à 10. Nous obtenons donc la proportion 10 sur 21 égale 10 sur 𝐵𝐶. Et cela signifie que 𝐵𝐶 doit être égal à 21 pour que ces longueurs de côté soient proportionnelles. Comme la longueur de 𝐵𝐶 est égale à 21, la valeur inconnue 𝑥 est égale à 21.

Le prochain exemple est un autre cas de recherche de longueur inconnue dans un triangle.

Sur le schéma ci-dessous, les segments 𝑋𝑌 et 𝐵𝐶 sont parallèles. Si 𝐴𝑋 égale 18, 𝑋𝐵 égale 24 et 𝐴𝑌 égale 27, quelle est la longueur du segment 𝑌𝐶?

La première chose que nous pouvons faire est d’ajouter au schéma les informations données dans l’énoncé. Nous savons que 𝐴𝑋 égale 18, 𝑋𝐵 égale 24 et 𝐴𝑌 égale 27. La longueur inconnue est de 𝑌 à 𝐶, ici. Appelons-la 𝑚. Avant de commencer à calculer 𝑚, voyons ce que nous reconnaissons sur la figure. Le segment 𝑋𝑌 coupe le triangle 𝐴𝐵𝐶 et est parallèle au segment BC. Nous savons que si une droite est parallèle à un côté d’un triangle et que la droite coupe les deux autres côtés, alors la droite divise ces côtés proportionnellement. C’est-à-dire qu’elle crée deux triangles semblables. Nous pouvons donc dire que le plus petit triangle, le triangle 𝐴𝑋𝑌, est semblable au plus grand triangle, le triangle 𝐴𝐵𝐶. Et que les longueurs des côtés correspondants sont donc proportionnelles. Si nous établissons un rapport des longueurs de côté du petit triangle, nous pouvons dire que 𝐴𝑋 sur 𝐴𝑌 est égal à 𝐴𝐵 sur 𝐴𝐶.

Afin de déterminer la longueur inconnue, nous devons substituer avec soin les informations que nous connaissons dans ce rapport. Tout d’abord, 𝐴𝑋 égale 18 et 𝐴𝑌 égale 27. Mais nous devons être prudents avec 𝐴𝐵. Pour trouver 𝐴𝐵, nous devons ajouter 18 et 24, ce qui fait 42. Et que peut-on dire de la longueur 𝐴𝐶? Eh bien, 𝐴𝐶 est composé de 𝐴𝑌 et 𝑌𝐶. 𝐴𝑌 mesure 27 et 𝑌𝐶 mesure 𝑚, la valeur inconnue. On substitue donc 27 plus 𝑚, la longueur inconnue, à la longueur du segment 𝐴𝐶.

On peut maintenant effectuer un produit en croix pour calculer la valeur inconnue. 18 fois 27 plus 𝑚 égale 27 fois 42. 27 fois 42 égale 1 134. On peut maintenant diviser les deux membre par 18, ce qui donne 27 plus 𝑚 égale 63. Et lorsque l’on soustrait 27 aux deux membres, on obtient que la longueur de côté inconnue 𝑚 est égale à 36. En revenant au schéma, nous avons montré que 𝑌𝐶 est égal à 36.

Dans le dernier exemple, nous allons étudier une figure contenant un parallélogramme et un triangle.

𝐹𝐷𝐸𝐶 est un parallélogramme, où 𝐹 et 𝐷 sont les milieux respectifs des segments 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶, et 𝐶𝐸 est égal à six centimètres. Déterminez la longueur de 𝐵𝐶.

Commençons par ajouter les informations données dans l’énoncé à notre schéma. Si 𝐹𝐷𝐸𝐶 est un parallélogramme, ses côtés opposés sont parallèles, ce qui signifie que 𝐹𝐷 est parallèle à 𝐶𝐸 et que 𝐹𝐶 est parallèle à 𝐷𝐸. Nous savons également que 𝐶𝐸 mesure six centimètres. Et d’après les propriétés des parallélogrammes, nous savons que les longueurs des côtés opposés sont égales. Cela signifie que 𝐷𝐹 doit également mesurer six centimètres.

Mais notre longueur de côté inconnue est 𝐵𝐶. Nous avons donc besoin d’informations supplémentaires. Si 𝐶𝐸 est parallèle à 𝐹𝐷, nous pouvons également dire que 𝐵𝐸 est parallèle à 𝐹𝐷. Et comme le segment BC est parallèle au segment 𝐹𝐷, alors nous avons une droite parallèle à un côté du triangle. Et cette droite coupe les deux autres côtés, ce qui signifie que le segment 𝐹𝐷 crée deux triangles semblables. Le petit triangle, le triangle 𝐴𝐷𝐹, est semblable au grand triangle, le triangle 𝐴𝐶𝐵. Et dans des triangles semblables, les longueurs des côté correspondants sont proportionnelles. Le côté 𝐴𝐷 du petit triangle correspond au côté 𝐴𝐶 du grand triangle. Et ce rapport doit être égal à la longueur de FD du petit triangle sur la longueur de 𝐵𝐶 du grand triangle.

Si nous essayons alors de substituer les informations que nous connaissons, nous ne remplaçons que la longueur de 𝐹𝐷, qui est de six centimètres. Mais nous pouvons tirer plus d’informations du milieu 𝐷. 𝐷 divise le segment 𝐴𝐶 en deux. Nous pouvons donc dire que 𝐴𝐶 est égal à deux fois 𝐴𝐷. Cela signifie que le rapport du petit triangle au grand triangle est de un sur deux car le grand triangle est deux fois plus grand que le petit triangle. Et si les longueurs de côté du grand triangle sont le double de celles du petit triangle et que 𝐹𝐷 est égal à six centimètres, nous savons que 𝐵𝐶 doit être égal à 12 centimètres, car deux fois six égale 12.

Avant de terminer, récapitulons quelques points clés de cette vidéo. Si une droite parallèle à un côté d’un triangle coupe les deux autres côtés, alors elle crée deux triangles semblables. Dans des triangles semblables, les longueurs des côté correspondants sont proportionnelles. Pour cet exemple, le triangle 𝐴𝐷𝐹 est semblable au triangle 𝐴𝐵𝐶. Par conséquent, la longueur du côté 𝐴𝐷 sur la longueur du côté 𝐴𝐵 est égale à la longueur du côté 𝐴𝐹 sur la longueur du côté 𝐴𝐶.