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Vidéo de question : Déterminer le terme manquant d’une suite géométrique donnée Mathématiques

Pour la suite donnée, quel est le terme manquant ? −60, _, −2 160, 12 960, −77 760...

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Transcription de vidéo

Pour la suite donnée, quel est le terme manquant ? Nous avons une suite dont le premier terme est moins 60, dont le troisième terme est moins 2 160, le quatrième terme est 12 960 et le cinquième terme est moins 77 760.

Nous cherchons maintenant à trouver le deuxième terme de cette suite, nous devons donc commencer par déterminer le type de suite qui nous a été donné. Pour ce faire, nous examinerons la relation entre les troisième, quatrième et cinquième termes de cette suite. Maintenant, il y a un certain nombre de types différents de suites que nous pourrions examiner. Par exemple, nous pourrions avoir une suite quadratique ou même une suite de Fibonacci. Cependant, il est toujours judicieux de commencer par rechercher une suite arithmétique ou géométrique.

Rappelez-vous, une suite arithmétique est une suite dans laquelle la différence entre deux termes consécutifs est constante et une suite géométrique est caractérisée par une raison ou un rapport commun liant deux termes consécutifs. Bien sûr, la différence constante 𝑑 sera simplement la différence entre deux termes consécutifs quelconques de la suite, soit 𝑎 indice 𝑛 plus un moins 𝑎 indice 𝑛 où 𝑛 n’est pas inférieur à un. De même, le rapport commun est obtenu en divisant n’importe quel terme par le terme qui le précède. Ainsi, cette fois, nous calculerons 𝑎 indice 𝑛 plus un divisé par 𝑎 indice 𝑛.

Commençons donc par nous demander s’il y a une différence commune? Pour ce faire, nous allons soustraire le troisième terme du quatrième et puis le quatrième terme du cinquième. Si ces deux valeurs sont égales alors nous pouvons supposer que nous avons une suite arithmétique. La différence entre le troisième et le quatrième terme est de 15 120. Or, la différence entre le quatrième et le cinquième terme est moins 90 720. Celles-ci ne sont pas égales entre elles, il n’y a donc pas de différence commune et nous pouvons en déduire que ceci n’est pas une suite arithmétique.

Par la suite, nous nous demanderons s’il y a un rapport commun ? Divisons le quatrième terme par le troisième et le cinquième terme par le quatrième. Le rapport entre le troisième et le quatrième terme est moins six. De même, le rapport entre le quatrième et le cinquième terme est également égal à moins six. Puisqu’il existe un rapport commun, nous pouvons en déduire que la suite est certainement géométrique. Maintenant, nous faisons bien sûr une hypothèse à savoir que la suite continue à respecter ce modèle quelle que soit la direction dans laquelle nous nous dirigeons.

Alors, maintenant que nous avons choisi de définir cette suite comme géométrique, comment allons-nous trouver son deuxième terme? Bien, nous pouvons utiliser aussi bien la définition qu’une formule. La définition d’une suite géométrique, ou une partie de celle-ci est que chaque terme est déterminé en multipliant le terme précédent par ce rapport commun ou raison. Ainsi, pour arriver au deuxième terme, nous multiplions le premier terme par la raison. Pour arriver au troisième terme, nous multiplions le deuxième terme par la même raison et ainsi de suite. Alternativement, et cela vient de la définition même, le 𝑛 ième terme d’une suite géométrique est déterminé en multipliant le premier terme 𝑎 par la raison à la puissance 𝑛 moins un.

Quoi qu’il en soit, nous trouvons le deuxième terme en multipliant le premier terme par moins six. Ainsi, 𝑎 indice deux est égal à moins 60 fois moins six, ce qui donne 360. Bien que nous ayons précédemment fait une hypothèse sur le fait que le modèle continue à être respecté, nous pouvons le vérifier en multipliant 360 par moins six et en remarquant que nous obtenons la valeur du troisième terme. 𝑎 indice trois est 360 fois moins six, ce qui est en fait moins 2 160. Ainsi, une fois que nous avons établi que nous avions une suite géométrique de raison moins six, nous avons pu trouver que le terme manquant était 360.

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