Vidéo question :: Dérivation en un point de combinaisons de fonctions polynômiales et racines à l’aide de la règle du produit Mathématiques

Transcription de la vidéo

Trouvez la dérivée première de la fonction 𝑦 égale à neuf 𝑥 au carré moins sept multiplié par la racine carrée de deux 𝑥 plus un en 𝑥 égale à zéro.

La question veut que nous trouvions la dérivée première de notre fonction 𝑦 de 𝑥 au point où 𝑥 est égal à zéro. Et nous pouvons voir que notre fonction 𝑦 de 𝑥 est le produit de deux fonctions. C’est le produit de neuf 𝑥 au carré moins sept et de la racine carrée de deux 𝑥 plus un. Donc, pour trouver la dérivée du produit de deux fonctions, nous allons utiliser la règle du produit.

La règle du produit nous dit que si nous avons deux fonctions 𝑢 et 𝑣, alors la dérivée du produit 𝑢 fois 𝑣 est égale à 𝑣 fois 𝑢 prime plus 𝑢 fois 𝑣 prime. Ainsi, nous allons définir notre fonction 𝑢 de 𝑥 comme étant égale à neuf 𝑥 au carré moins sept et nous allons définir notre fonction 𝑣 de 𝑥 comme étant la racine carrée de deux 𝑥 plus un. Donc, pour utiliser la règle du produit, nous devons trouver les expressions de 𝑢 prime et de 𝑣 prime. Commençons par trouver une expression pour 𝑢 prime de 𝑥.

𝑢 prime de 𝑥 est la dérivée par rapport à 𝑥 de neuf 𝑥 au carré moins sept. Nous pouvons évaluer ceci en utilisant la règle de dérivation des puissances. Cela nous donne que 𝑢 prime de 𝑥 est égal à 18𝑥. Nous voulons maintenant trouver une expression de 𝑣 prime de 𝑥; cependant, nous ne pouvons pas le faire directement. Nous voyons que notre fonction 𝑣 de 𝑥 est la composée de deux fonctions. Il s’agit de la racine carrée d’une fonction affine. Cela signifie que pour évaluer cette dérivée, nous allons devoir utiliser la règle de dérivation en chaîne.

Nous rappelons que la règle de dérivation en chaîne nous dit que si nous avons deux fonctions 𝑓 et 𝑔, alors la dérivée de la composée de 𝑓 par 𝑔 de 𝑥 est égale à 𝑔 prime de 𝑥 fois 𝑓 prime de 𝑔 de 𝑥. Ainsi, pour utiliser la règle de dérivation en chaîne, nous allons devoir définir notre fonction 𝑔 de 𝑥 comme étant notre fonction sous la racine. C’est la fonction affine deux 𝑥 plus un. Ensuite, en utilisant cette définition pour 𝑔 de 𝑥, nous voyons que 𝑣 de 𝑥 est égal à la racine carrée de 𝑔 de 𝑥. Donc, nous prenons la racine carrée de 𝑔. Nous allons donc définir notre fonction 𝑓 de 𝑔 comme étant simplement la racine carrée de 𝑔. En utilisant ces définitions de 𝑓 et de 𝑔, nous avons réécrit 𝑣 de 𝑥 comme égal à la composée de 𝑓 par 𝑔 de 𝑥.

Nous sommes maintenant prêts à appliquer la règle de dérivation en chaîne. la règle de dérivation en chaîne nous dit que 𝑣 prime de 𝑥 est égal à 𝑔 prime de 𝑥 fois 𝑓 prime de 𝑔 de 𝑥. Nous devons maintenant trouver des expressions pour 𝑓 prime de 𝑥 et pour 𝑔 prime de 𝑥. Commençons par 𝑔 prime de 𝑥. 𝑔 de 𝑥 est une fonction affine. Ainsi, la dérivée de 𝑔 de 𝑥 est égale au coefficient de 𝑥 qui est égal à deux. Nous voulons maintenant trouver 𝑓 prime de 𝑔. C’est la dérivée de 𝑓 de 𝑔 par rapport à 𝑔.

Pour ce faire, nous utiliserons nos propriétés des exposants pour réécrire la racine carrée de 𝑔 comme étant égale à 𝑔 à la puissance un demi. Nous pouvons ainsi trouver 𝑓 prime de 𝑔 en utilisant la règle de dérivation des puissances. Nous multiplions par l’exposant de 𝑔, c’est-à-dire un demi et puis nous réduisons cet exposant de un. Et encore une fois, en utilisant nos propriétés des exposants, nous pouvons réécrire un demi fois 𝑔 à la puissance moins un demi c’est à dire un divisé par deux racine de 𝑔.

En remplaçant par ces expressions dans la formule donnée par la règle de dérivation en chaîne, nous avons montré que 𝑣 prime de 𝑥 est égal à deux fois un divisé par deux racine carrée de deux 𝑥 plus un. Et rappelez-vous que nous prenons la racine carrée de deux 𝑥 plus un car nous évaluons 𝑓 prime de 𝑔 en 𝑔 de 𝑥. Et que 𝑔 de 𝑥 est égal à deux 𝑥 plus un. Et nous pouvons simplifier légèrement cette expression. Nous allons éliminer le facteur deux qui est commun au numérateur et au dénominateur. Cela nous donne donc que 𝑣 prime de 𝑥 est égal à un sur racine carrée de deux 𝑥 plus un.

Nous avons donc maintenant toutes les informations dont nous avons besoin pour appliquer la règle du produit à notre fonction 𝑦 de 𝑥. Elle nous dit que 𝑦 prime de 𝑥 est égal à 𝑣 de 𝑥 fois 𝑢 prime de 𝑥 plus 𝑢 de 𝑥 fois 𝑣 prime de 𝑥. En remplaçant par nos expressions de 𝑢 de 𝑥, 𝑣 de 𝑥, 𝑢 prime de 𝑥 et 𝑣 prime de 𝑥, nous avons que 𝑦 prime de 𝑥 est égal à racine carrée de deux 𝑥 plus un fois 18𝑥 plus neuf 𝑥 au carré moins sept multiplié par un sur racine carrée de deux 𝑥 plus un. Nous pourrions être tentés à ce stade de commencer à simplifier. Cependant, rappelez-vous qu’on nous demande seulement de trouver la dérivée lorsque 𝑥 est égal à zéro. Donc, au lieu de simplifier, nous pouvons simplement remplacer 𝑥 par zéro dans notre expression de 𝑦 prime de 𝑥.

En remplaçant 𝑥 par zéro, nous obtenons que 𝑦 prime de zéro est égal à la racine carrée de deux fois zéro plus un multiplié par 18 fois zéro plus neuf fois zéro au carré moins sept multiplié par un divisé par la racine carrée de deux fois zéro plus un. Et nous pouvons à présent calculer cette expression. Dans notre premier terme, nous multiplions par zéro et donc notre premier terme est égal à zéro. Ensuite, nous savons que neuf fois zéro au carré et deux fois zéro sont tous deux égaux à zéro. Ce terme se simplifie donc pour nous donner moins sept multiplié par un, ce qui est égal à moins sept.

Par conséquent, nous avons montré que la dérivée en 𝑥 égal à zéro de la fonction 𝑦 égale à neuf 𝑥 au carré moins sept racine carrée de deux 𝑥 plus un est égale à moins sept.