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Vidéo de question : Déterminer les composantes d’un vecteur donné sous forme polaire Mathématiques

Si 𝑂𝐴 = (7 ; 60°) est le vecteur position, en coordonnées polaires, du point 𝐴 par rapport à l’origine 𝑂 du repère, déterminez les coordonnées cartésiennes 𝑥𝑦 de 𝐴.

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Transcription de vidéo

Si 𝑂𝐴, qui est égal à sept, 60 degrés, est un vecteur position sous forme polaire du point 𝐴 par rapport à l’origine 𝑂, déterminez les coordonnées cartésiennes 𝑥𝑦 de 𝐴.

Tout d’abord, rappelons ce que signifie que le vecteur position est donné sous forme polaire. La forme polaire d’un vecteur 𝑟, 𝜃 signifie que 𝑟 est la norme du vecteur et 𝜃 est l’angle que le vecteur fait avec l’axe des 𝑥 positifs. Comme l’angle formé par le vecteur 𝑂𝐴 avec l’axe des positive positif est de 60 degrés, cela signifie que le vecteur est situé dans le premier quadrant. Il ressemble donc à ceci.

On nous demande de trouver les coordonnées 𝑥𝑦 du point 𝐴. Et pour ce faire, nous allons tracer un triangle rectangle sous le vecteur 𝑂𝐴. Dans ce triangle rectangle, nous connaissons l’un des autres angles, 60 degrés, et nous connaissons la longueur de l’un des côtés. En fait, c’est l’hypoténuse du triangle. 𝑂𝐴 est sept unités.

Les deux autres côtés du triangle donnent les valeurs de 𝑥 et 𝑦. Le côté horizontal du triangle donnera la coordonnée 𝑥 du point 𝐴. Et le côté vertical donnera la coordonnée 𝑦 du point 𝐴. Comme le triangle est à angle droit, nous pouvons appliquer la trigonométrie afin de calculer 𝑥 et 𝑦.

Je commencerai par étiqueter les trois côtés du triangle par rapport à l’angle de 60 degrés. 𝑦 est le côté opposé du triangle. 𝑥 est le côté adjacent. Et sept est l’hypoténuse. Maintenant, rappelons la définition de deux des rapports trigonométriques dans un triangle rectangle.

Premièrement, nous savons que le rapport sinus dans un triangle rectangle, sin de 𝜃, est égal à l’opposé divisé par l’hypoténuse. En substituant les valeurs de ce triangle, cela signifie que le sin de 60 degrés est égal à 𝑦 sur sept. Et donc nous avons une équation que nous pouvons résoudre afin de trouver la valeur de 𝑦.

Tout d’abord, nous devons multiplier les deux côtés de l’équation par sept. Maintenant, j’ai échangé les deux côtés de l’équation ici. Mais nous avons 𝑦 est égal à sept sin de 60 degrés. Et nous y reviendrons dans un instant.

Un autre rapport trigonométrique dans les triangles rectangles est le rapport cosinus. Cos de 𝜃 est égal à l’adjacent divisé par l’hypoténuse. En utilisant les valeurs de ce triangle, cela signifie que cos de 60 degrés est égal à 𝑥 sur sept. Et nous avons une équation que nous pouvons résoudre pour 𝑥 de la même manière que pour 𝑦. Nous devons multiplier les deux côtés par sept. Nous avons donc que 𝑥 est égal à sept cos de 60 degrés.

Maintenant, nous n’avons pas besoin d’une calculatrice pour répondre à cette question, car 60 degrés est un angle spécial pour lequel les rapports trigonométriques peuvent être exprimés exactement en termes de fractions. Et nous devons nous rappeler ce qu’ils sont. Voici un rappel. Le sin de 60 degrés est exactement égal à la racine carrée de trois sur deux. Et cos de 60 degrés est exactement égal à la fraction un demi.

Nous pouvons substituer les valeurs pour sin de 60 degrés et cos de 60 degrés dans les expressions de 𝑦 et 𝑥. 𝑦 est égal à sept multiplié par racine de trois sur deux. Et 𝑥 est égal à sept multiplié par un demi. Si j’écris maintenant les valeurs 𝑥 et 𝑦 sous la forme d’une paire de coordonnées, donc c’est 𝑥 la première et 𝑦 la seconde, alors nous avons que les coordonnées 𝑥𝑦 du point 𝐴 sont sept sur deux, sept racine de trois sur deux.

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