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Vidéo de question : Étude de la résultante de quatre forces coplanaires agissant sur un point Mathématiques

Quatre forces agissent sur une particule comme l’indique la figure. Calculez 𝑅, l’intensité de leur résultante, et déterminez 𝜃, l’angle compris entre leur résultante et l’axe des 𝑥. Arrondissez la réponse à l’unité d’arc près, si c’est nécessaire.

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Transcription de vidéo

Quatre forces agissent sur une particule comme l’indique la figue. Calculez 𝑅, l’intensité de leur résultante et déterminez 𝜃, l’angle compris entre leur résultante et l’axe des 𝑥. Arrondissez la réponse à l’unité d’arc près si c’est nécessaire.

Nous commençons par étiqueter nos quatre forces. Alors ces forces pointent dans des directions différentes. Donc elles sont des grandeurs vectorielles. Nous avons la force un, 𝐅 un ; force deux, 𝐅 deux ; 𝐅 trois ; et 𝐅 quatre. La résultante de ces forces est la somme vectorielle des quatre forces. C’est-à-dire 𝐅 un plus 𝐅 deux plus 𝐅 trois plus 𝐅 quatre. Mais comment décrit-on ces quatre forces ?

Eh bien, nous définissons 𝐢 comme le vecteur unitaire qui agit dans le sens horizontal, tandis que 𝐣 est le vecteur unitaire qui agit perpendiculairement à celui-ci, dans la direction des 𝑦 positive. Et ceci signifie que 𝐅 un est assez simple à décrire. C’est tout simplement huit 𝐢. Par contre les trois autres vecteurs force vont demander un peu plus de boulot.

Prenons la deuxième force, 𝐅 deux. Elle a une intensité de cinq newtons. Et elle agit sous un angle de 60 degrés par rapport à l’axe horizontal positif. Nous devons la décomposer en ses composantes horizontale et verticale. Et nous allons utiliser la trigonométrie à angle droit pour le faire. L’hypoténuse du triangle rectangle vaut cinq. Appelons le côté adjacent 𝑥 et le côté opposé 𝑦. Ensuite nous pouvons utiliser le rapport cosinus pour trouver 𝑥. Nous pouvons dire que cosinus de 60 degrés est le côté adjacent sur l’hypoténuse. C’est-à-dire 𝑥 sur cinq. Et donc 𝑥 est égal à cinq fois cosinus 60. Cosinus 60 est un demi, donc nous obtenons que 𝑥 est égal à cinq sur deux.

Nous faisons pareil pour 𝑦. Sinus de 60 est égal à 𝑦 sur cinq. Et donc 𝑦 est égal à cinq fois sinus 60. Cette fois cependant, sinus de 60 degrés est égal à la racine de trois sur deux. Et nous disons que 𝑦 est égal à cinq fois racine de trois sur deux. Donc le vecteur 𝐅 deux est cinq fois racine de deux 𝐢 plus cinq fois racine de trois sur deux 𝐣.

Et encore une fois, nous faisons pareil pour la force trois. Il faut pourtant redoubler l’attention avec la force trois. Nous allons trouver les côtés du triangle, mais nous observons que la composante horizontale sera négative. Elle agit dans la direction opposée. Cette fois, l’hypoténuse vaut trois. Nous obtenons un côté opposé qui vaut trois sinus 60 et le côté adjacent qui vaut trois cosinus 60. Cela nous donne une composante opposée ou verticale de trois fois racine de trois sur deux et une composante horizontale de trois sur deux. Mais rappelez-vous, ceci agit dans le sens négatif. Donc c’est en effet moins trois sur deux. Et nous obtenons finalement que le vecteur F trois est moins trois sur deux 𝐢 plus trois racine trois sur deux 𝐣.

Et puis pareil pour notre quatrième et dernier vecteur. Cette fois, nous observons que les composantes horizontale et verticale sont toutes les deux négatives. L’hypoténuse est six fois racine de trois. Ensuite nous retrouvons une composante verticale de six fois racine de trois cosinus 60 - qui est le côté adjacent - et une composante horizontale de six fois racine de trois sinus 60. Six racine trois cosinus 60 est trois racine trois. Donc la composante verticale est moins trois fois racine de trois. Alors six racine trois sinus 60 est égal à neuf. Donc la composante horizontale est moins neuf. Et finalement 𝐅 quatre est égale à moins neuf 𝐢 moins trois racine trois 𝐣.

Rappelez-vous, la résultante est la somme de toutes ces forces. Alors additionnons les composantes horizontale et verticale séparément. Les composantes verticales sont huit, cinq sur deux, moins trois sur deux et moins neuf. Alors que les composantes verticales sont cinq racine trois sur deux, trois racine trois sur deux, et moins trois racine trois. Ceci se simplifie, et nous obtenons zéro 𝐢 plus la racine trois 𝐣, ou simplement la racine trois 𝐣. Ainsi la force résultante agit uniquement dans le sens vertical.

Maintenant, bien sûr, nous cherchons à trouver l’intensité de cette résultante. Normalement, pour trouver l’intensité, nous allons utiliser le théorème de Pythagore. C’est bien la norme du vecteur. Dans ce cas cependant, puisque le vecteur n’agit que dans une direction, la norme est toute simplement racine trois. C’est la norme de la composante 𝐣. De même, comme elle agit dans la direction verticale, elle est perpendiculaire à l’axe des 𝑥 positif. Et donc l’angle 𝜃 entre la résultante et l’axe des 𝑥 est de 90 degrés. Et nous avons terminé. 𝑅 est racine de trois ou racine de trois newtons, et 𝜃 est 90 degrés.

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