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Vidéo de question : Déterminer la longueur d’une corde dans un cercle Mathématiques

Sachant que 𝐴𝑀 = 200 cm et 𝑀𝐶 = 120 cm, calculez la longueur de 𝐴𝐵.

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Transcription de vidéo

Sachant que 𝐴𝑀 est égal à 200 centimètres et 𝑀𝐶 est égal à 120 centimètres, calculez la longueur du segment 𝐴𝐵.

Donc, on nous a donné la figure d’un cercle, puis quelques segments intérieurs. On nous dit aussi que 𝐴𝑀 est de 200 centimètres et 𝑀𝐶 est de 120 centimètres. Maintenant, 𝐴𝑀 n’était pas déjà tracé sur la figure, donc nous pouvons ajouter ce segment et l’étiqueter avec sa longueur. Nous pouvons également inclure la longueur de 𝑀𝐶. Il fait 120 centimètres. La longueur que nous cherchons à calculer est la longueur du segment 𝐴𝐵, que nous pouvons voir comme une corde de ce cercle.

Maintenant, un point clé sur la figure est que ces petites marques ont été ajoutées aux segments 𝐴𝐶 et 𝐶𝐵, ce qui indique qu’ils ont la même longueur. Cela signifie que le segment 𝑀𝐶, ou 𝑀𝐷 si nous allons jusqu’au cercle, divise le segment 𝐴𝐵 en deux parties égales. Cela nous indique en outre que l’angle où ces deux droites se rencontrent doit être un angle droit car si une droite tirée du centre d’un cercle au cercle divise une corde en deux, alors ce sera une bissectrice perpendiculaire de cette corde.

Donc, nous savons que 𝑀𝐷 est la bissectrice perpendiculaire à 𝐴𝐵. Et en traçant cet angle droit, nous voyons que nous avons maintenant un triangle rectangle 𝐴𝑀𝐶 dans lequel nous connaissons deux longueurs. Nous pouvons donc appliquer le théorème de Pythagore pour trouver la troisième longueur 𝐴𝐶. Et comme 𝐴𝐶 est la moitié de 𝐴𝐵, nous pourrons doubler cette valeur pour trouver la longueur totale de 𝐴𝐵.

Le théorème de Pythagore nous dit que dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux côtés les plus courts. Ainsi, si les deux côtés les plus courts sont étiquetés comme 𝑎 et 𝑏, et l’hypoténuse est étiquetée comme 𝑐, nous avons l’équation 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré est égal à 𝑐 au carré.

Dans notre triangle rectangle 𝐴𝑀𝐶, les deux côtés les plus courts sont 𝑀𝐶, qui est de 120, et 𝐴𝐶, que nous ne connaissons pas, et l’hypoténuse est de 200. Ainsi, en appliquant le théorème de Pythagore, nous avons l’équation 120 au carré plus 𝐴𝐶 au carré est égal à 200 au carré. Nous pouvons évaluer à la fois 120 au carré et 200 au carré, puis soustraire 14400 de chaque côté de l’équation, donnant 𝐴𝐶 au carré égale 25600. Pour résoudre 𝐴𝐶, on prend la racine carrée des deux côtés de l’équation, en ne prenant que la racine carrée positive car 𝐴𝐶 est une longueur. Nous trouvons que 𝐴𝐶 est égal à 160.

Enfin, rappelez-vous que l’on nous a demandé de trouver la longueur du segment 𝐴𝐵. Et comme 𝐴𝐶 est la moitié de 𝐴𝐵, nous pouvons trouver 𝐴𝐵 en doublant la valeur que nous venons de trouver. La longueur de 𝐴𝐵 est donc deux multipliée par 160, soit 320. En incluant les unités appropriées, nous avons que la longueur du segment 𝐴𝐵 est de 320 centimètres.

Il convient également de souligner que nous aurions pu travailler dans le triangle 𝐵𝐶𝑀 plutôt que dans le triangle 𝐴𝐶𝑀. La ligne 𝑀𝐵 est également un rayon du cercle tout comme la ligne 𝑀𝐴. Et donc, ces deux triangles sont congruents. Nous aurions pu appliquer le théorème de Pythagore dans ce triangle. Et cela aurait donné exactement le même résultat.

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