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Vidéo de question : Identifier les caractéristiques des graphiques des fonctions logarithmes Mathématiques

Complétez : Toutes les courbes représentatives des fonctions logarithmes, 𝑓(𝑥) = log_𝑎 𝑥, de toute base positive 𝑎 ≠ 1 passent par le point de coordonnées _.

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Transcription de vidéo

Complétez. Toutes les courbes représentatives des fonctions logarithmes, 𝑓 de 𝑥 égale log de base 𝑎 de 𝑥, de toute base positive 𝑎 différente de un, passent par le point de coordonnées _.

Pour répondre à cette question, il serait utile de commencer par identifier ce que nous savons de cette fonction logarithme. Supposons que nous réécrivions notre fonction logarithme comme une équation 𝑏 égale logarithme de base 𝑎 de 𝑥. Cela revient à dire que 𝑎 puissance 𝑏 égale 𝑥. Et donc, nous pourrions identifier le point par lequel toute fonction de cette forme doit passer. Et cela découle de la connaissance de certaines règles relatives à l'utilisation des puissances. Supposons que l'exposant 𝑏 soit nul ; alors quelle que soit la valeur de 𝑎, 𝑥 sera toujours 𝑎 puissance zéro. Mais bien évidemment, on nous dit que 𝑎 est positif, donc différent de zéro. Et il est supérieur à zéro, et différent de un.

Or, si on élève un nombre de cette forme à la puissance zéro, on obtient effectivement un. Ainsi, étant donné ce critère pour 𝑎, peu importe sa valeur dans ce cas, lorsque nous l'élevons à zéro, on obtient un. Ce qui correspond au point de coordonnées un, zéro sur le graphique de notre fonction. Et donc, toutes les courbes des fonctions logarithmes de cette forme doivent passer par le point un, zéro.

On peut maintenant envisager cela d'une autre manière. Pensons au graphique d'une fonction exponentielle 𝑦 égale 𝑎 puissance 𝑥. Ces graphiques passent toujours par le point zéro, un. On sait donc que la fonction logarithmique est la réciproque de la fonction exponentielle. Cela veut dire que nous pouvons faire correspondre le graphique de la fonction exponentielle à celui de la fonction logarithme par symétrie par rapport à la droite 𝑦 égale 𝑥. Le point zéro, un se transforme alors en point un, zéro. Donc, puisque tous les graphiques de la forme 𝑦 égale 𝑎 à la puissance 𝑥 passent par le point zéro, un, tous les graphiques de la forme 𝑦 égale logarithme de base 𝑎 de 𝑥 passent par le point un, zéro.

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