Vidéo : Vecteurs propres et valeurs propres

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Vecteurs propres et valeurs propres

17:15

Transcription de vidéo

Les vecteurs propres et les valeurs propres sont l’un des sujets que beaucoup d’élèves trouvent particulièrement peu intuitifs. Des questions telles que « Pourquoi faisons-nous cela ? » et « Qu’est-ce que cela signifie réellement ? » Sont trop souvent laissées à la dérive dans une mer de calculs sans réponse.

Et alors que je publie les vidéos de cette série, vous avez été nombreux dans les commentaires à indiquer votre impatience de visualiser ce sujet en particulier. Je suppose que la raison n’est pas que les trucs propres sont compliquées ou mal expliquées. En fait, c’est relativement simple, et je pense que la plupart des livres expliquent très bien.

Le problème est que cela n’a vraiment de sens que si vous avez une compréhension visuelle solide pour la plupart des sujets qui le précèdent. Le plus important ici est que vous sachiez comment considérer les matrices comme des transformations linéaires, mais vous devez également être à l’aise avec des éléments tels que les déterminants, les systèmes d’équations linéaires et les changements de base.

La confusion à propos des substances propres a généralement plus à voir avec la fondation fragile de l’un de ces sujets qu’avec les vecteurs propres et les valeurs propres eux-mêmes.

Pour commencer, considérons une transformation linéaire à deux dimensions comme celle présentée ici. Il déplace le vecteur de base 𝑖 chapeau aux coordonnées trois, zéro et 𝑗 chapeau à un, deux. Donc, il est représenté avec une matrice dont les colonnes sont trois, zéro et un, deux.

Concentrez-vous sur ce qu’il fait sur un vecteur en particulier et sur l’envergure de ce vecteur, la droite passant par son origine et sa pointe. La plupart des vecteurs vont perdre leur envergure pendant la transformation. Je veux dire, cela semblerait être une coïncidence si le lieu où le vecteur a atterri s’est également trouvé quelque part sur cette droite. Mais certains vecteurs spéciaux restent sur leur propre étendue, ce qui signifie que l’effet de la matrice sur un tel vecteur consiste simplement à l’étirer ou à l’écraser comme un scalaire.

Pour cet exemple spécifique, le vecteur de base 𝑖 chapeau est l’un de ces vecteurs spéciaux. L’espace engendré par 𝑖 chapeau est l’axe des 𝑥. Et à partir de la première colonne de la matrice, nous pouvons voir que 𝑖 chapeau passe à trois fois lui-même, toujours sur cet axe des 𝑥.

De plus, en raison de la façon dont les transformations linéaires fonctionnent, est également juste étiré tout autre vecteur sur l’axe des 𝑥 d’un facteur trois et, par conséquent, reste sur sa propre direction. Un vecteur légèrement plus sournois qui reste sur sa propre direction au cours de cette transformation est moins un, un. Il finit par être étiré par un facteur deux.

Et encore une fois, la linéarité va impliquer que tout autre vecteur sur la diagonale traversée par ce type va simplement être étiré par un facteur deux. Et pour cette transformation, ce sont tous les vecteurs qui ont cette propriété particulière de rester sur leur direction, ceux de l’axe 𝑥, allongés d’un facteur trois, et ceux de cette diagonale, d’un facteur deux.

Tout autre vecteur va subir une rotation pendant la transformation, éliminé de la droite sur laquelle il s’étend. Comme vous l’avez peut-être deviné, ces vecteurs spéciaux sont appelés les vecteurs propres de la transformation et chaque vecteur propre est associé à ce que l’on appelle une valeur propre, qui est simplement le facteur avec lequel il est étiré ou écrasé au cours de la transformation.

Bien sûr, il n’y a rien de spécial entre l’étirement par rapport à l’écrasement ou le fait que ces valeurs propres sont positives. Dans un autre exemple, vous pourriez avoir un vecteur propre avec une valeur propre de moins un demi, ce qui signifie que le vecteur est inversé et écrasé par un facteur un demi. Mais l’important, c’est qu’il reste sur la droite qu’il dirige sans s’en détourner.

Pour avoir un aperçu des raisons pour lesquelles cela pourrait être utile, envisagez une rotation en trois dimensions. Si vous pouvez trouver un vecteur propre pour cette rotation, un vecteur qui reste sur sa propre direction, ce que vous avez trouvé est l’axe de rotation. Et il est beaucoup plus facile de penser à une rotation 3D en termes d’axe de rotation et d’angle de rotation plutôt que de penser à la matrice complète trois sur trois associée à cette transformation.

Dans ce cas, la valeur propre correspondante devrait être égale à un, car les rotations n’étirent jamais ni n’écrasent rien. La longueur du vecteur resterait donc la même. Ce modèle apparaît beaucoup en algèbre linéaire.

Pour toute transformation linéaire décrite par une matrice, vous pouvez comprendre ce qu’elle fait en lisant les colonnes de cette matrice en tant que points d’atterrissage pour les vecteurs de base. Mais souvent, un meilleur moyen de comprendre le cœur de la transformation linéaire, moins dépendant de votre système de coordonnées particulier, consiste à trouver les vecteurs propres et les valeurs propres.

Je ne couvrirai pas ici tous les détails sur les méthodes de calcul des vecteurs propres et des valeurs propres, mais je vais essayer de donner un aperçu des idées de calcul les plus importantes pour la compréhension conceptuelle.

Symboliquement, voici à quoi ressemble l’idée d’un vecteur propre. 𝐴 est la matrice représentant une transformation, avec 𝐯 comme vecteur propre et 𝜆 un nombre, à savoir la valeur propre correspondante. Qu’est-ce que cette expression dit est que le produit matrice-vecteur, 𝐴 fois 𝐯, donne le même résultat que la mise à l’échelle du vecteur propre 𝐯 par une certaine valeur 𝜆.

Donc, trouver les vecteurs propres et leurs valeurs propres de la matrice 𝐴 se résume à trouver les valeurs de 𝐯 et 𝜆 qui rendent cette expression vraie. C’est un peu gênant de travailler avec au début parce que le côté gauche représente la multiplication matrice-vecteur, mais le côté droit ici est la multiplication scalaire-vecteur.

Alors commençons par la réécriture de ce côté droit comme une sorte de multiplication matrice-vecteur, en utilisant une matrice qui a pour effet de mettre à l’échelle tout vecteur avec un facteur 𝜆. Les colonnes d’une telle matrice représenteront ce qui se passe pour chaque vecteur de base, et chaque vecteur de base est simplement multiplié par 𝜆, de sorte que cette matrice aura le nombre 𝜆 sur la diagonale, avec des zéros partout ailleurs.

La façon courante d’écrire ce type est de factoriser ce 𝜆 et d’ écrire comme 𝜆 fois 𝐼, où 𝐼 est la matrice identité avec des uns sur la diagonale. Les deux côtés ressemblant à la multiplication matrice-vecteur, nous pouvons soustraire ce côté droit et factoriser le 𝐯.

Nous avons maintenant une nouvelle matrice 𝐴 moins 𝜆 fois l’identité, et nous cherchons un vecteur 𝐯 tel que cette nouvelle matrice fois 𝐯 donne le vecteur nul. Maintenant, cela sera toujours vrai si 𝐯 est lui-même le vecteur nul, mais c’est ennuyeux. Ce que nous voulons, c’est un vecteur propre non nul. Et si vous avez regardé les chapitres 5 et 6, vous saurez que le produit d’une matrice dont le vecteur est différent de zéro peut être nul si la transformation associée à cette matrice place l’espace dans une dimension inférieure. Et cette réduction correspond à un déterminant nul pour la matrice.

Pour être concret, disons que votre matrice 𝐴 comporte des colonnes deux, un et deux, trois et pensons à soustraire une quantité variable 𝜆 de chaque élément sur la diagonale. Maintenant, imaginez pouvoir modifier 𝜆, tourner un bouton pour changer sa valeur. À mesure que cette valeur de 𝜆 change, la matrice elle-même change et le déterminant de la matrice change donc.

Le but ici est de trouver une valeur de 𝜆 qui fera que ce déterminant s’annule, ce qui signifie que la transformation modifiée écrase l’espace en une dimension inférieure. Dans ce cas, le point critique vient quand 𝜆 est égal à un. Bien sûr, si nous avons choisi une autre matrice, la valeur propre pourrait ne pas être nécessairement un. Le point critique pourrait être atteint pour une autre valeur de 𝜆.

Donc, c’est beaucoup, mais démêlons ce que cela dit. Lorsque 𝜆 est égal à un, la matrice 𝐴 moins 𝜆 fois l’identité occupe l’espace sur une droite. Cela signifie qu’il existe un vecteur non nul 𝐯 tel que 𝐴 moins 𝜆 fois l’identité fois 𝐯 soit égal au vecteur nul. Et rappelez-vous, la raison pour laquelle nous nous soucions de cela, c’est parce que cela signifie 𝐴 fois 𝐯 est égale à 𝜆 fois 𝐯, que vous pouvez lire en disant que le vecteur 𝐯 est un vecteur propre de 𝐴 restant sur sa propre direction au cours de la transformation 𝐴.

Dans cet exemple, la valeur propre correspondante est un. Donc, 𝐯 resterait simplement en place. Faites une pause et réfléchissez si vous devez vous assurer que cette façon de raisonner est agréable.

C’est le genre de chose que j’ai mentionné dans l’introduction. Si vous n’aviez pas une connaissance solide des déterminants et de la raison pour laquelle ils se rapportent à des systèmes d’équations linéaires ayant des solutions non nulles, une expression comme celle-ci semblerait totalement hors de propos. Pour voir cela en action, reprenons l’exemple depuis le début.

Avec la matrice dont les colonnes sont trois, zéro et un, deux, pour savoir si une valeur 𝜆 est une valeur propre, on le soustrais de la diagonale de cette matrice et on calcule le déterminant. En faisant cela, nous obtenons un certain polynôme du second degré en 𝜆 : trois moins 𝜆 fois deux moins 𝜆.

Puisque 𝜆 ne peut être qu’une valeur propre, si ce déterminant vaut zéro, vous pouvez en conclure que les seules valeurs propres possibles sont 𝜆 est égal à deux et 𝜆 est égal à trois. Pour déterminer quels sont les vecteurs propres ayant réellement l’une de ces valeurs propres, disons que 𝜆 en vaut deux, connectez cette valeur de 𝜆 à la matrice, puis déterminez pour quels vecteurs cette matrice altérée en diagonale envoie sur zéro. Si vous calculiez cela de la même manière que n’importe quel autre système linéaire, vous verriez que les solutions sont tous les vecteurs de la droite diagonale engendrée par moins un, un.

Cela correspond au fait que la matrice non modifiée trois, zéro, un, deux a pour effet d’étirer tous ces vecteurs d’un facteur deux. Maintenant, une transformation 2D ne doit pas nécessairement avoir de vecteurs propres. Par exemple, considérons une rotation de 90 degrés. Cela n’a pas de vecteurs propres puisqu’il fait pivoter chaque vecteur hors de sa propre direction.

Si vous essayez réellement de calculer les valeurs propres d’une rotation comme celle-ci, remarquez ce qui se passe. Sa matrice a les colonnes zéro, un et mois un, zéro. Soustrayez 𝜆 des éléments diagonaux et cherchez quand le déterminant vaut zéro.

Dans ce cas, vous obtenez le polynôme 𝜆 au carré plus un. Les seules racines de ce polynôme sont les nombres imaginaires 𝑖 et moins 𝑖. Le fait qu’il n’y ait pas de solutions réelles indique qu’il n’y a pas de vecteurs propres.

Un autre exemple assez intéressant, qui mérite d’être retenu au fond de votre esprit, est un cisaillement. Cela laisse 𝑖 chapeau en place et déplace 𝑗 chapeau par là. Donc, sa matrice a les colonnes un, zéro et un, un.

Tous les vecteurs de l’axe 𝑥 sont des vecteurs propres dont la valeur propre est un, car ils restent fixes. En fait, ce sont les seuls vecteurs propres. Lorsque vous soustrayez 𝜆 des diagonales et calculez le déterminant, ce que vous obtenez est un moins 𝜆 carré, et la seule racine de cette expression est 𝜆 est égal à un.

Cela correspond à ce que nous voyons géométriquement, à savoir que tous les vecteurs propres ont pour valeur propre un. Gardez toutefois à l’esprit qu’il est également possible d’avoir une seule valeur propre, mais avec plus qu’une simple droite pleine de vecteurs propres. Un exemple simple est une matrice qui agrandit tout par deux. La seule valeur propre est deux. Mais chaque vecteur du plan devient un vecteur propre avec cette valeur propre.

C’est maintenant un autre bon moment pour faire une pause et réfléchir à certaines de ces questions avant de passer au dernier sujet.

Je voudrais terminer ici avec l’idée d’une base propre, qui s’appuie fortement sur les idées de la dernière vidéo. Regardez ce qui se passe. Si nos vecteurs de base, comme c’était le cas avant, étaient des vecteurs propres.

Par exemple, peut-être que 𝑖 chapeau est mis à l’échelle par moins un et 𝑗 chapeau est mis à l’échelle par deux. En écrivant leurs nouvelles coordonnées sous forme de colonnes d’une matrice, notez que ces multiples scalaires, un et moins deux, qui sont les valeurs propres de 𝑖 chapeau et de 𝑗 chapeau, se situent sur la diagonale de notre matrice et que toute autre entrée est égale à zéro.

Chaque fois qu’une matrice a des zéros partout ailleurs que la diagonale, elle est appelée, assez raisonnablement, une matrice diagonale. Et la façon d’interpréter cela est que tous les vecteurs de base sont des vecteurs propres, les entrées en diagonale de cette matrice étant leurs valeurs propres.

Il y a beaucoup de choses qui rendent les matrices diagonales beaucoup plus agréables à utiliser. L’un des plus importants est qu’il est plus facile de calculer ce qui se passera si vous multipliez cette matrice par lui-même un grand nombre de fois. Comme chacune de ces matrices ne met à l’échelle que chaque vecteur de base selon une valeur propre, appliquer cette matrice plusieurs fois, disons 100 fois, va simplement correspondre à la mise à l’échelle de chaque vecteur de base par la puissance cent de la valeur propre correspondante.

Au contraire, essayez de calculer la puissance cent d’une matrice non diagonale. Vraiment, essayez-le un instant. C’est un cauchemar. Bien entendu, vous aurez rarement la chance d’avoir vos vecteurs de base également vecteurs propres. Mais si votre transformation comporte de nombreux vecteurs propres, tels que celui du début de cette vidéo, suffisamment pour que vous puissiez choisir un ensemble couvrant tout l’espace, vous pouvez modifier votre système de coordonnées pour que ces vecteurs propres soient vos vecteurs de base.

J’ai parlé de changement de base dans la dernière vidéo, mais je vais vous expliquer de manière très rapide comment exprimer la transformation actuellement écrite dans notre système de coordonnées en un système différent.

Prenez les coordonnées des vecteurs que vous souhaitez utiliser comme nouvelle base, ce qui, dans ce cas, désigne nos deux vecteurs propres. Définissez ensuite ces coordonnées dans les colonnes d’une matrice, appelée matrice de changement de base. Lorsque vous prenez en sandwich la transformation d’origine, en plaçant la matrice de changement de base à sa droite et l’inverse de la matrice de changement de base à sa gauche, le résultat sera une matrice représentant cette même transformation, mais dans la perspective des coordonnées du nouveau système de vecteurs de base.

L’intérêt de faire cela avec les vecteurs propres est que cette nouvelle matrice est garantie d’être diagonale, avec les valeurs propres correspondantes sur cette diagonale. Cela est dû au fait qu’il s’agit de travailler dans un système de coordonnées où les vecteurs de base sont dilatés lors de la transformation.

Un ensemble de vecteurs de base, qui sont également des vecteurs propres, est appelé, encore assez raisonnablement, une base propre. Ainsi, si, par exemple, vous deviez calculer la puissance cent de cette matrice, il serait beaucoup plus facile de passer par une base propre, de calculer la puissance cent de ce système, puis de revenir à notre base canonique.

Vous ne pouvez pas faire cela avec toutes les transformations. Par exemple, un cisaillement n’a pas assez de vecteurs propres pour couvrir tout l’espace. Mais si vous parvenez à trouver une base propre, les opérations matricielles seront vraiment agréables.

Pour ceux d’entre vous qui souhaitent résoudre un casse-tête assez astucieux pour voir à quoi cela ressemble en action et comment il peut être utilisé pour produire des résultats surprenants, je vais laisser un texte ici à l’écran. Cela demande un peu de travail, mais je pense que cela vous plaira.

La prochaine et dernière vidéo de cette série sera sur des espaces vectoriels abstraits. À plus tard.

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