Transcription de la vidéo
Les vecteurs propres et les valeurs propres sont lâun des sujets que
beaucoup dâĂ©lĂšves trouvent particuliĂšrement peu intuitifs. Des questions telles que « Pourquoi faisons-nous cela ? » et « Quâest-ce
que cela signifie réellement ? » Sont trop souvent laissées à la
dérive dans une mer de calculs sans réponse.
Et alors que je publie les vidéos de cette série, vous avez été nombreux
dans les commentaires Ă indiquer votre impatience de visualiser ce
sujet en particulier. Je suppose que la raison nâest pas que les trucs propres sont compliquĂ©es
ou mal expliquĂ©es. En fait, câest relativement simple, et je pense que la plupart des livres
expliquent trĂšs bien.
Le problĂšme est que cela nâa vraiment de sens que si vous avez une
compréhension visuelle solide pour la plupart des sujets qui le
précÚdent. Le plus important ici est que vous sachiez comment considérer les
matrices comme des transformations linéaires, mais vous devez
Ă©galement ĂȘtre Ă lâaise avec des Ă©lĂ©ments tels que les dĂ©terminants,
les systĂšmes dâĂ©quations linĂ©aires et les changements de base.
La confusion à propos des substances propres a généralement plus à voir
avec la fondation fragile de lâun de ces sujets quâavec les vecteurs
propres et les valeurs propres eux-mĂȘmes.
Pour commencer, considérons une transformation linéaire à deux dimensions
comme celle prĂ©sentĂ©e ici. Il dĂ©place le vecteur de base đ chapeau aux coordonnĂ©es trois, zĂ©ro et
đ chapeau Ă un, deux. Donc, il est reprĂ©sentĂ© avec une matrice dont les colonnes sont trois,
zéro et un, deux.
Concentrez-vous sur ce quâil fait sur un vecteur en particulier et sur
lâenvergure de ce vecteur, la droite passant par son origine et sa
pointe. La plupart des vecteurs vont perdre leur envergure pendant la
transformation. Je veux dire, cela semblerait ĂȘtre une coĂŻncidence si le lieu oĂč le
vecteur a atterri sâest Ă©galement trouvĂ© quelque part sur cette
droite. Mais certains vecteurs spéciaux restent sur leur propre étendue, ce qui
signifie que lâeffet de la matrice sur un tel vecteur consiste
simplement Ă lâĂ©tirer ou Ă lâĂ©craser comme un scalaire.
Pour cet exemple spĂ©cifique, le vecteur de base đ chapeau est lâun de
ces vecteurs spĂ©ciaux. Lâespace engendrĂ© par đ chapeau est lâaxe des đ„. Et Ă partir de la premiĂšre colonne de la matrice, nous pouvons voir que
đ chapeau passe Ă trois fois lui-mĂȘme, toujours sur cet axe des
đ„.
De plus, en raison de la façon dont les transformations linéaires
fonctionnent, est Ă©galement juste Ă©tirĂ© tout autre vecteur sur lâaxe
des đ„ dâun facteur trois et, par consĂ©quent, reste sur sa propre
direction. Un vecteur légÚrement plus sournois qui reste sur sa propre direction au
cours de cette transformation est moins un, un. Il finit par ĂȘtre Ă©tirĂ© par un facteur deux.
Et encore une fois, la linéarité va impliquer que tout autre vecteur sur
la diagonale traversĂ©e par ce type va simplement ĂȘtre Ă©tirĂ© par un
facteur deux. Et pour cette transformation, ce sont tous les vecteurs qui ont cette
propriĂ©tĂ© particuliĂšre de rester sur leur direction, ceux de lâaxe
đ„, allongĂ©s dâun facteur trois, et ceux de cette diagonale, dâun
facteur deux.
Tout autre vecteur va subir une rotation pendant la transformation,
Ă©liminĂ© de la droite sur laquelle il sâĂ©tend. Comme vous lâavez peut-ĂȘtre devinĂ©, ces vecteurs spĂ©ciaux sont appelĂ©s
les vecteurs propres de la transformation et chaque vecteur propre
est associĂ© Ă ce que lâon appelle une valeur propre, qui est
simplement le facteur avec lequel il est étiré ou écrasé au cours de
la transformation.
Bien sĂ»r, il nây a rien de spĂ©cial entre lâĂ©tirement par rapport Ă
lâĂ©crasement ou le fait que ces valeurs propres sont positives. Dans un autre exemple, vous pourriez avoir un vecteur propre avec une
valeur propre de moins un demi, ce qui signifie que le vecteur est
inversĂ© et Ă©crasĂ© par un facteur un demi. Mais lâimportant, câest quâil reste sur la droite quâil dirige sans sâen
détourner.
Pour avoir un aperçu des raisons pour lesquelles cela pourrait ĂȘtre
utile, envisagez une rotation en trois dimensions. Si vous pouvez trouver un vecteur propre pour cette rotation, un vecteur
qui reste sur sa propre direction, ce que vous avez trouvĂ© est lâaxe
de rotation. Et il est beaucoup plus facile de penser Ă une rotation 3D en termes
dâaxe de rotation et dâangle de rotation plutĂŽt que de penser Ă la
matrice complÚte trois sur trois associée à cette
transformation.
Dans ce cas, la valeur propre correspondante devrait ĂȘtre Ă©gale Ă un, car
les rotations nâĂ©tirent jamais ni nâĂ©crasent rien. La longueur du vecteur resterait donc la mĂȘme. Ce modĂšle apparaĂźt beaucoup en algĂšbre linĂ©aire.
Pour toute transformation linéaire décrite par une matrice, vous pouvez
comprendre ce quâelle fait en lisant les colonnes de cette matrice
en tant que points dâatterrissage pour les vecteurs de base. Mais souvent, un meilleur moyen de comprendre le cĆur de la
transformation linéaire, moins dépendant de votre systÚme de
coordonnées particulier, consiste à trouver les vecteurs propres et
les valeurs propres.
Je ne couvrirai pas ici tous les détails sur les méthodes de calcul des
vecteurs propres et des valeurs propres, mais je vais essayer de
donner un aperçu des idées de calcul les plus importantes pour la
compréhension conceptuelle.
Symboliquement, voici Ă quoi ressemble lâidĂ©e dâun vecteur propre. đŽ est la matrice reprĂ©sentant une transformation, avec đŻ comme vecteur
propre et đ un nombre, Ă savoir la valeur propre
correspondante. Quâest-ce que cette expression dit est que le produit matrice-vecteur, đŽ
fois đŻ, donne le mĂȘme rĂ©sultat que la mise Ă lâĂ©chelle du vecteur
propre đŻ par une certaine valeur đ.
Donc, trouver les vecteurs propres et leurs valeurs propres de la matrice
đŽ se rĂ©sume Ă trouver les valeurs de đŻ et đ qui rendent cette
expression vraie. Câest un peu gĂȘnant de travailler avec au dĂ©but parce que le cĂŽtĂ© gauche
représente la multiplication matrice-vecteur, mais le cÎté droit ici
est la multiplication scalaire-vecteur.
Alors commençons par la réécriture de ce cÎté droit comme une sorte de
multiplication matrice-vecteur, en utilisant une matrice qui a pour
effet de mettre Ă lâĂ©chelle tout vecteur avec un facteur đ. Les colonnes dâune telle matrice reprĂ©senteront ce qui se passe pour
chaque vecteur de base, et chaque vecteur de base est simplement
multipliĂ© par đ, de sorte que cette matrice aura le nombre đ sur
la diagonale, avec des zéros partout ailleurs.
La façon courante dâĂ©crire ce type est de factoriser ce đ et dâ Ă©crire
comme đ fois đŒ, oĂč đŒ est la matrice identitĂ© avec des uns sur la
diagonale. Les deux cÎtés ressemblant à la multiplication matrice-vecteur, nous
pouvons soustraire ce cĂŽtĂ© droit et factoriser le đŻ.
Nous avons maintenant une nouvelle matrice đŽ moins đ fois lâidentitĂ©,
et nous cherchons un vecteur đŻ tel que cette nouvelle matrice fois
đŻ donne le vecteur nul. Maintenant, cela sera toujours vrai si đŻ est lui-mĂȘme le vecteur nul,
mais câest ennuyeux. Ce que nous voulons, câest un vecteur propre non nul. Et si vous avez regardĂ© les chapitres 5 et 6, vous saurez que le produit
dâune matrice dont le vecteur est diffĂ©rent de zĂ©ro peut ĂȘtre nul si
la transformation associĂ©e Ă cette matrice place lâespace dans une
dimension inférieure. Et cette réduction correspond à un déterminant nul pour la matrice.
Pour ĂȘtre concret, disons que votre matrice đŽ comporte des colonnes
deux, un et deux, trois et pensons à soustraire une quantité
variable đ de chaque Ă©lĂ©ment sur la diagonale. Maintenant, imaginez pouvoir modifier đ, tourner un bouton pour changer
sa valeur. Ă mesure que cette valeur de đ change, la matrice elle-mĂȘme change et le
déterminant de la matrice change donc.
Le but ici est de trouver une valeur de đ qui fera que ce dĂ©terminant
sâannule, ce qui signifie que la transformation modifiĂ©e Ă©crase
lâespace en une dimension infĂ©rieure. Dans ce cas, le point critique vient quand đ est Ă©gal Ă un. Bien sĂ»r, si nous avons choisi une autre matrice, la valeur propre
pourrait ne pas ĂȘtre nĂ©cessairement un. Le point critique pourrait ĂȘtre atteint pour une autre valeur de đ.
Donc, câest beaucoup, mais dĂ©mĂȘlons ce que cela dit. Lorsque đ est Ă©gal Ă un, la matrice đŽ moins đ fois lâidentitĂ© occupe
lâespace sur une droite. Cela signifie quâil existe un vecteur non nul đŻ tel que đŽ moins đ fois
lâidentitĂ© fois đŻ soit Ă©gal au vecteur nul. Et rappelez-vous, la raison pour laquelle nous nous soucions de cela,
câest parce que cela signifie đŽ fois đŻ est Ă©gale Ă đ fois đŻ, que
vous pouvez lire en disant que le vecteur đŻ est un vecteur propre
de đŽ restant sur sa propre direction au cours de la transformation
đŽ.
Dans cet exemple, la valeur propre correspondante est un. Donc, đŻ resterait simplement en place. Faites une pause et rĂ©flĂ©chissez si vous devez vous assurer que cette
façon de raisonner est agréable.
Câest le genre de chose que jâai mentionnĂ© dans lâintroduction. Si vous nâaviez pas une connaissance solide des dĂ©terminants et de la
raison pour laquelle ils se rapportent Ă des systĂšmes dâĂ©quations
linéaires ayant des solutions non nulles, une expression comme
celle-ci semblerait totalement hors de propos. Pour voir cela en action, reprenons lâexemple depuis le dĂ©but.
Avec la matrice dont les colonnes sont trois, zéro et un, deux, pour
savoir si une valeur đ est une valeur propre, on le soustrais de la
diagonale de cette matrice et on calcule le déterminant. En faisant cela, nous obtenons un certain polynÎme du second degré en
đ : trois moins đ fois deux moins đ.
Puisque đ ne peut ĂȘtre quâune valeur propre, si ce dĂ©terminant vaut
zéro, vous pouvez en conclure que les seules valeurs propres
possibles sont đ est Ă©gal Ă deux et đ est Ă©gal Ă trois. Pour dĂ©terminer quels sont les vecteurs propres ayant rĂ©ellement lâune de
ces valeurs propres, disons que đ en vaut deux, connectez cette
valeur de đ Ă la matrice, puis dĂ©terminez pour quels vecteurs cette
matrice altĂ©rĂ©e en diagonale envoie sur zĂ©ro. Si vous calculiez cela de la mĂȘme maniĂšre que nâimporte quel autre
systÚme linéaire, vous verriez que les solutions sont tous les
vecteurs de la droite diagonale engendrée par moins un, un.
Cela correspond au fait que la matrice non modifiée trois, zéro, un, deux
a pour effet dâĂ©tirer tous ces vecteurs dâun facteur deux. Maintenant, une transformation 2D ne doit pas nĂ©cessairement avoir de
vecteurs propres. Par exemple, considĂ©rons une rotation de 90 degrĂ©s. Cela nâa pas de vecteurs propres puisquâil fait pivoter chaque vecteur
hors de sa propre direction.
Si vous essayez rĂ©ellement de calculer les valeurs propres dâune rotation
comme celle-ci, remarquez ce qui se passe. Sa matrice a les colonnes zĂ©ro, un et mois un, zĂ©ro. Soustrayez đ des Ă©lĂ©ments diagonaux et cherchez quand le dĂ©terminant
vaut zéro.
Dans ce cas, vous obtenez le polynĂŽme đ au carrĂ© plus un. Les seules racines de ce polynĂŽme sont les nombres imaginaires đ et
moins đ. Le fait quâil nây ait pas de solutions rĂ©elles indique quâil nây a pas de
vecteurs propres.
Un autre exemple assez intĂ©ressant, qui mĂ©rite dâĂȘtre retenu au fond de
votre esprit, est un cisaillement. Cela laisse đ chapeau en place et dĂ©place đ chapeau par lĂ . Donc, sa matrice a les colonnes un, zĂ©ro et un, un.
Tous les vecteurs de lâaxe đ„ sont des vecteurs propres dont la valeur
propre est un, car ils restent fixes. En fait, ce sont les seuls vecteurs propres. Lorsque vous soustrayez đ des diagonales et calculez le dĂ©terminant, ce
que vous obtenez est un moins đ carrĂ©, et la seule racine de cette
expression est đ est Ă©gal Ă un.
Cela correspond à ce que nous voyons géométriquement, à savoir que tous
les vecteurs propres ont pour valeur propre un. Gardez toutefois Ă lâesprit quâil est Ă©galement possible dâavoir une
seule valeur propre, mais avec plus quâune simple droite pleine de
vecteurs propres. Un exemple simple est une matrice qui agrandit tout par deux. La seule valeur propre est deux. Mais chaque vecteur du plan devient un vecteur propre avec cette valeur
propre.
Câest maintenant un autre bon moment pour faire une pause et rĂ©flĂ©chir Ă
certaines de ces questions avant de passer au dernier sujet.
Je voudrais terminer ici avec lâidĂ©e dâune base propre, qui sâappuie
fortement sur les idĂ©es de la derniĂšre vidĂ©o. Regardez ce qui se passe. Si nos vecteurs de base, comme câĂ©tait le cas avant, Ă©taient des vecteurs
propres.
Par exemple, peut-ĂȘtre que đ chapeau est mis Ă lâĂ©chelle par moins un et
đ chapeau est mis Ă lâĂ©chelle par deux. En Ă©crivant leurs nouvelles coordonnĂ©es sous forme de colonnes dâune
matrice, notez que ces multiples scalaires, un et moins deux, qui
sont les valeurs propres de đ chapeau et de đ chapeau, se situent
sur la diagonale de notre matrice et que toute autre entrée est
égale à zéro.
Chaque fois quâune matrice a des zĂ©ros partout ailleurs que la diagonale,
elle est appelĂ©e, assez raisonnablement, une matrice diagonale. Et la façon dâinterprĂ©ter cela est que tous les vecteurs de base sont des
vecteurs propres, les entrées en diagonale de cette matrice étant
leurs valeurs propres.
Il y a beaucoup de choses qui rendent les matrices diagonales beaucoup
plus agrĂ©ables Ă utiliser. Lâun des plus importants est quâil est plus facile de calculer ce qui se
passera si vous multipliez cette matrice par lui-mĂȘme un grand
nombre de fois. Comme chacune de ces matrices ne met Ă lâĂ©chelle que chaque vecteur de
base selon une valeur propre, appliquer cette matrice plusieurs
fois, disons 100 fois, va simplement correspondre Ă la mise Ă
lâĂ©chelle de chaque vecteur de base par la puissance cent de la
valeur propre correspondante.
Au contraire, essayez de calculer la puissance cent dâune matrice non
diagonale. Vraiment, essayez-le un instant. Câest un cauchemar. Bien entendu, vous aurez rarement la chance dâavoir vos vecteurs de base
Ă©galement vecteurs propres. Mais si votre transformation comporte de nombreux vecteurs propres, tels
que celui du début de cette vidéo, suffisamment pour que vous
puissiez choisir un ensemble couvrant tout lâespace, vous pouvez
modifier votre systÚme de coordonnées pour que ces vecteurs propres
soient vos vecteurs de base.
Jâai parlĂ© de changement de base dans la derniĂšre vidĂ©o, mais je vais
vous expliquer de maniĂšre trĂšs rapide comment exprimer la
transformation actuellement écrite dans notre systÚme de coordonnées
en un systÚme différent.
Prenez les coordonnées des vecteurs que vous souhaitez utiliser comme
nouvelle base, ce qui, dans ce cas, désigne nos deux vecteurs
propres. DĂ©finissez ensuite ces coordonnĂ©es dans les colonnes dâune matrice,
appelĂ©e matrice de changement de base. Lorsque vous prenez en sandwich la transformation dâorigine, en plaçant
la matrice de changement de base Ă sa droite et lâinverse de la
matrice de changement de base à sa gauche, le résultat sera une
matrice reprĂ©sentant cette mĂȘme transformation, mais dans la
perspective des coordonnées du nouveau systÚme de vecteurs de
base.
LâintĂ©rĂȘt de faire cela avec les vecteurs propres est que cette nouvelle
matrice est garantie dâĂȘtre diagonale, avec les valeurs propres
correspondantes sur cette diagonale. Cela est dĂ» au fait quâil sâagit de travailler dans un systĂšme de
coordonnĂ©es oĂč les vecteurs de base sont dilatĂ©s lors de la
transformation.
Un ensemble de vecteurs de base, qui sont Ă©galement des vecteurs propres,
est appelé, encore assez raisonnablement, une base propre. Ainsi, si, par exemple, vous deviez calculer la puissance cent de cette
matrice, il serait beaucoup plus facile de passer par une base
propre, de calculer la puissance cent de ce systĂšme, puis de revenir
Ă notre base canonique.
Vous ne pouvez pas faire cela avec toutes les transformations. Par exemple, un cisaillement nâa pas assez de vecteurs propres pour
couvrir tout lâespace. Mais si vous parvenez Ă trouver une base propre, les opĂ©rations
matricielles seront vraiment agréables.
Pour ceux dâentre vous qui souhaitent rĂ©soudre un casse-tĂȘte assez
astucieux pour voir Ă quoi cela ressemble en action et comment il
peut ĂȘtre utilisĂ© pour produire des rĂ©sultats surprenants, je vais
laisser un texte ici Ă lâĂ©cran. Cela demande un peu de travail, mais je pense que cela vous plaira.
La prochaine et derniÚre vidéo de cette série sera sur des espaces
vectoriels abstraits. Ă plus tard.