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Vidéo question :: Construire des fonctions exponentielles équivalentes dans des bases différentes à partir d’un graphe Mathématiques • Deuxième secondaire

Laquelle des expressions suivantes ne décrit pas la courbe donnée ? [A] 𝑁 = 15 ⋅ 4 ^ (𝑡) ⋅ 3 ^ (- 𝑡) ? [B] 𝑁 = 15 ⋅ (9/16) ^ (𝑡 / 2) [C] 𝑁 = 15 ⋅ (16/9) ^ (𝑡 / 2) [D] 𝑁 = 15 ⋅ (4/3) ^ (𝑡) [E] 𝑁 = 15 ⋅ (3/4) ^ (- 𝑡).

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Transcription de la vidéo

Laquelle des expressions suivantes ne décrit pas la courbe donnée ? Est-ce (A), 𝑁 est égal à 15 fois quatre à la puissance 𝑡 fois trois à la puissance moins 𝑡 ? Est-ce (B), 𝑁 est égale à 15 multiplié par neuf seizièmes à la puissance 𝑡 sur deux ? Est-ce (C), 𝑁 est égal à 15 multiplié par seize neuvièmes à la puissance 𝑡 sur deux ? Est-ce (D), 𝑁 est égal à 15 multiplié par quatre tiers à la puissance 𝑡 ? Est-ce (E), 𝑁 est égal à 15 multiplié par les trois quarts à la puissance moins 𝑡 ?

Il existe plusieurs façons de résoudre ce problème car on nous donne cinq options. Une façon serait de substituer les coordonnées du graphique dans chacune des équations. Nous pourrions alors déterminer laquelle des expressions de 𝑁 ne décrit pas le graphique présenté. Alternativement, nous pourrions essayer de résoudre le problème algébriquement, ce que nous ferons en premier. Nous le ferons en simplifiant les cinq expressions de 𝑁, puis nous identifierons laquelle est différente des quatre autres.

Les cinq expressions de 𝑁 commencent par la constante 15. Cela signifie que nous allons nous concentrer sur le reste des expressions. Commençons par l’option (A). Nous avons quatre à la puissance 𝑡 multiplié par trois à la puissance moins 𝑡. Une des règles des exposants stipule que 𝑥 à la puissance moins 𝑛 est égal à un sur 𝑥 à la puissance 𝑛. Nous pouvons donc réécrire l’expression comme quatre à la puissance 𝑡 multipliée par un sur trois à la puissance 𝑡, qui à son tour est égale à quatre à la puissance 𝑡 sur trois à la puissance 𝑡.

Ensuite, nous rappelons que le quotient de deux valeurs élevées à la même puissance est égal au quotient des valeurs élevé à cette puissance. Quatre à la puissance 𝑡 divisé par trois à la puissance 𝑡 est donc égal à quatre tiers à la puissance 𝑡. Cela signifie que l’expression de 𝑁 dans l’option (A) est la même que l’expression de 𝑁 dans l’option (D).

Considérons maintenant la deuxième partie de l’expression de 𝑁 dans l’option (E). Nous avons trois quarts à la puissance moins 𝑡. D’après la règle des exposants négatifs, 𝑎 sur 𝑏 à la puissance moins 𝑛 est égal à 𝑏 sur 𝑎 à la puissance 𝑛. Puisque l’opposé de trois quarts est quatre tiers, trois quarts à la puissance moins 𝑡 est égal à quatre tiers à la puissance 𝑡. Cela signifie que l’option (E) est une expression équivalente aux options (A) et (D).

Enfin, nous devons considérer les options (B) et (C), où nous avons une fraction élevée à la puissance 𝑡 sur deux. Pour simplifier ces termes, nous rappelons que 𝑥 à la puissance 𝑎 sur 𝑏 est égal à la racine 𝑏-ième de 𝑥 le tout élevé à la puissance 𝑎. Neuf seizièmes à la puissance 𝑡 sur deux est donc égal à la racine carrée de neuf seizièmes élevée à la puissance 𝑡. Nous pouvons prendre la racine carrée du numérateur et du dénominateur de la fraction séparément. Nous avons donc la racine carrée de neuf sur la racine carrée de 16 élevée à la puissance 𝑡. Puisque la racine carrée de neuf vaut trois et que la racine carrée de 16 vaut quatre, cela se simplifie en trois quarts à la puissance 𝑡.

Cette expression est différente des options (A), (D) et (E). Nous avons trois quarts élevés à la puissance 𝑡 et pas quatre tiers à la puissance 𝑡. Cela suggère que cette réponse est l’intrus et ne décrit donc pas le graphique présenté. L’option (C), en revanche, correspond aux expressions de (A), (D) et (E). Seize neuvièmes à la puissance 𝑡 sur deux est égal à quatre tiers à la puissance 𝑡.

Nous allons maintenant vérifier que l’option (B) ne décrit pas le graphique en choisissant un point qui se trouve dessus. Bien que nous puissions choisir n’importe quel point qui se trouve sur la courbe, il est judicieux de choisir un point avec des coordonnées entières. En conséquence, nous choisirons le point un, 20. En substituant 𝑡 est égal à un dans l’expression de 𝑁, nous avons 15 multiplié par neuf seizièmes à la puissance un demi. Comme déjà mentionné, élever une fraction à la puissance un demi revient à prendre la racine carrée de cette fraction. En prenant la racine carrée du numérateur et du dénominateur séparément, nous avons 𝑁 est égal à 15 multiplié par trois quarts. Cela équivaut à 11,25, ce qui est différent de 20. Ainsi, 𝑁 est égal à 15 multiplié par neuf seizièmes à la puissance 𝑡 sur deux ne passe pas par le point un, 20. Cela confirme que l’expression ne décrit pas le graphique présenté. La bonne réponse est l’option (B).

Il convient de noter à ce stade que si nous substituons 𝑡 est égal à un dans les options (A), (C), (D) et (E), nous obtenons une valeur de 𝑁 égale à 20. Cela signifie que ces quatres courbes passent par le point de coordonnées un, 20. Le graphique présenté est d’équation 𝑁 est égale à 15 multiplié par quatre tiers à la puissance 𝑡 ou toute autre forme équivalente.

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