Vidéo question :: Calculer une série arithmétique Mathématiques

Transcription de la vidéo

Calculez la somme des termes de 𝑟 égale trois à k égale 22 de trois k plus quatre.

Commençons par étudier ce genre de question. Ce type de notation peut parfois surprendre les étudiants ; ils ne savent pas trop ce que cela signifie. Le premier signe ici 𝛴 signifie « somme de ». Et cette valeur en dessous de 𝛴 nous indique la première valeur de notre variable, donc dans le cas présent, notre première valeur de 𝑟 est trois. Et le 22 au-dessus de 𝛴, nous indique la valeur finale de notre variable. Très bien ! Alors maintenant que nous savons ce que cela signifie, nous pouvons résoudre le problème.

Pour résoudre ce problème, nous devons utiliser cette formule. Nous savons que la somme de 𝑛 termes est égale à 𝑛 sur deux multiplié par deux 𝑎 plus 𝑛 moins un r. Bien, alors regardons ce que signifient ces lettres. Nous avons 𝑎, qui est notre premier terme, r, qui est notre raison, c’est-à-dire la différence entre deux termes consécutifs, et 𝑛, qui est notre nombre de termes.

Bien, alors maintenant que nous connaissons la formule et ce que sont chacune des variables, nous pouvons commencer à résoudre le problème. Pour cela, nous devons tout d’abord calculer 𝑎, r et 𝑛. Nous allons commencer par 𝑎. C’est notre premier terme, donc nous pouvons dire que 𝑎 est lorsque k est égal à un. Nous pouvons calculer ce que vaut 𝑎 en remplaçant 𝑎 par trois k plus quatre, ce qui nous donne 𝑎 égale sept.

Très bien ! Nous avons donc trouvé 𝑎. Maintenant, nous pouvons passer au calcul de r. Pour calculer r, nous savons déjà que 𝑎 un, notre premier terme, égale sept. Ce que nous devons faire maintenant, c’est trouver 𝑎 deux, notre deuxième terme, afin que nous puissions déterminer la différence entre les deux. Pour cela, nous remplaçons en fait k par deux dans trois k plus quatre, ce qui nous donne 𝑎 deux, notre deuxième terme, égale 10. Et maintenant, nous calculons simplement la différence entre les deux termes, soit 10 moins sept, ce qui est égal à trois.

Très bien ! Nous avons donc déterminé la raison. Nous l’avons fait en calculant le deuxième terme et le premier terme, puis en soustrayant le premier terme du deuxième terme, mais en fait, nous aurions pu la trouver sans calcul, parce que si nous regardons notre expression trois k plus quatre, nous pouvons voir que notre coefficient de k est en fait trois. Et dans ce genre de situation, le coefficient de k ou quelle que soit la lettre de la variable, est la raison parce que c’est ce que par quoi nous allons multiplier l’indice du terme à chaque fois.

Alors maintenant, nous allons calculer la somme des 22 premiers termes, si vous regardez bien, nous écrivons 22. Voyons cela. Alors, nous savons que le 𝑛 va être égal à 22 parce que nous examinons la somme des 22 premiers termes. Nous pouvons alors remplacer nos autres valeurs. Nous avons donc la somme des 22 premiers termes égale 22 divisé par deux, multiplié par deux fois sept puisque 𝑎 est égal à sept plus 22 moins un puisque 𝑛 est égal à 22 multiplié par trois puisque r est égal à trois. Très bien ! Nous pouvons maintenant calculer cela, et cela nous donne 11 multiplié par 77. Donc la somme des 22 premiers termes est égale à 847.

Très bien ! Alors maintenant, avons-nous résolu le problème ? Eh bien, en fait, non, et c’est là l’erreur la plus courante. Nous avons trouvé la somme des 22 premiers termes, mais si nous revenons à notre question initiale, on nous demande la somme des termes pour k égale trois jusqu’à k égale 22. Nous voulons donc les termes de trois à 22. Donc nous devons faire une étape de plus parce que la somme des termes de trois à 22 est égale à la somme des 22 premiers termes moins la somme des deux premiers termes et il nous restera alors les termes du troisième au 22ème.

Par conséquent, nous pouvons dire que la somme des termes de k égale trois jusqu’à k égale 22 de trois k plus quatre est égale à 847 moins 10 plus sept, et cela est égal à 10 plus sept parce que nous avons besoin de la somme des deux premiers termes. Nous avions déjà déterminé les deux premiers termes, le premier terme est égal à sept et le deuxième terme est égal à 10. Nous les avons donc additionnés pour obtenir leur somme, ce qui nous donne 847 moins 17.

Nous aurions également pu déterminer la somme des deux premiers termes en utilisant la formule ci-dessus et en remplaçant par 𝑛 égale deux. Et maintenant, nous avons notre résultat final qui est 847 moins 17, soit 830. Nous pouvons donc dire que la somme des termes de trois jusqu’à 22 de trois k plus quatre est égale à 830.