Vidéo question :: Trouver la distance entre deux droites parallèles Mathématiques

Transcription de la vidéo

Déterminez au centième près la distance entre les droites parallèles d’équations 𝑥 est égal à six plus 𝑡, 𝑦 est égal à huit plus deux 𝑡, 𝑧 est égal à sept plus trois 𝑡 et 𝑥 moins deux sur trois est égal à 𝑦 moins trois sur six est égal à 𝑧 moins un sur neuf.

D’accord, nous avons donc ces deux droites parallèles, mais disons que celle-ci est la première droite et celle-ci est la deuxième droite. Nous voulons connaître la distance entre les droites, c’est-à-dire la distance la plus courte possible ou la distance perpendiculaire entre elles. Nous appellerons cela 𝑑. Pour trouver cette distance, il y a trois choses que nous devons savoir. Nous devrons connaître les coordonnées d’un point sur la première droite. Nous l’appellerons 𝑃 un. Nous devrons également connaître les coordonnées d’un point sur la droite deux. Nous l’appellerons 𝑃 deux. Et enfin, nous devrons connaître les composantes d’un vecteur de même direction que ces deux droites. Nous appellerons ce vecteur 𝐬. Si nous pouvons trouver ces trois informations, alors nous pouvons utiliser cette relation pour calculer la distance entre les droites.

Dans cette équation, le vecteur 𝐬 est en effet un vecteur de même direction que les deux droites, et le vecteur 𝐏 un 𝐏 deux ressemblerait à ceci sur notre figure. Cela va du point 𝐏 un au point 𝐏 deux. Commençons maintenant à déterminer le vecteur 𝐏 un 𝐏 deux en déterminant un point sur la droite un et un point sur la droite deux. En commençant par la première droite, nous voyons que cela nous est donné sous forme paramétrique. Nous avons des équations distinctes pour les coordonnées 𝑥, 𝑦 et 𝑧 de chaque point de la première droite. Il est possible de combiner ces trois équations en ce qu’on appelle la forme vectorielle d’une droite. Et nous le ferions en disant que 𝑥, 𝑦 et 𝑧 sont des composantes d’un vecteur égal à un autre vecteur qui commence à l’origine d’un repère cartésien et va au point six, huit, sept puis se déplace vers le haut et le bas de la droite dans cette direction multipliée par le facteur d’échelle 𝑡.

Nous obtenons deux informations importantes de cette forme vectorielle de l’équation de la droite. Premièrement, on peut dire que la droite passe par le point six, huit, sept. Nous avons résolu alors pour notre point 𝑃 un. Parallèlement à cela, nous savons que ce vecteur avec les composantes un, deux, trois est de la même direction que la droite un. Cela signifie qu’elle est de la même direction que la droite deux également. Et par conséquent, celles-ci peuvent être notre vecteur 𝐬 avec les composantes un, deux, trois. En sachant tout cela à propos de la droite un, nous pouvons maintenant libérer de l’espace et commencer à travailler avec notre équation donnée pour la droite deux.

Maintenant que nous connaissons 𝑃 un ainsi que 𝐬, tout ce que nous devons résoudre est un point quelque part sur la droite deux. L’équation de cette droite est écrite sous forme symétrique. Cela signifie que notre droite est exprimée en utilisant une série d’égalités. Ces égalités sont toutes vraies car ces trois fractions sont toutes égales au même facteur d’échelle que nous pouvons appeler 𝑡 deux. Donc, 𝑥 moins deux sur trois est égal à 𝑡 deux comme 𝑦 moins trois sur six comme 𝑧 moins un sur neuf. Tout cela nous permet de réécrire l’équation de la droite deux sous forme paramétrique. Par exemple, puisque 𝑥 moins deux sur trois est égal à 𝑡 deux, il doit être vrai que 𝑥 est égal à trois fois 𝑡 deux plus deux. De la même manière, 𝑦 est égal à six fois 𝑡 deux plus trois, tandis que 𝑧 est égal à neuf fois 𝑡 deux plus un. Nous avons réécrit la droite deux sous forme paramétrique, car il est plus facile de voir un point par lequel passe cette droite.

Si nous considérons à nouveau la combinaison de ces trois équations en une équation vectorielle, à gauche nous aurons un vecteur avec les composantes 𝑥, 𝑦, 𝑧, tandis qu’à droite nous multiplions notre facteur d’échelle 𝑡 deux par un vecteur de même direction que la droite avec les composantes trois, six, neuf. Et il s’ajoute à cela un vecteur qui va de l’origine d’un repère cartésien à un point appartenant à la droite. En d’autres termes, le point avec les coordonnées deux, trois, un se trouve le long de la droite deux.

Maintenant que nous savons tout cela, nous pouvons aller de l’avant avec le calcul de notre vecteur 𝐏 un 𝐏 deux. Ce sera le vecteur du point 𝑃 un soustrait du point 𝑃 deux. Et en substituant dans nos valeurs pour 𝑃 un et 𝑃 deux, nous trouvons qu’il s’agit d’un vecteur avec des composantes moins quatre, moins cinq, moins six. À ce stade, nous sommes prêts à calculer ce produit vectoriel de 𝐏 un 𝐏 deux et du vecteur 𝐬. C’est égal au déterminant de cette matrice. Ici, dans la ligne supérieure, nous avons les vecteurs unitaires 𝐢, 𝐣 et 𝐤, puis en dessous de ceux des composantes 𝑥, 𝑦 et 𝑧 correspondantes de 𝐏 un 𝐏 deux et des components 𝑥, 𝑦 et 𝑧 de 𝐬.

La composante 𝐢 de ce vecteur est égale au déterminant de cette matrice d’ordre deux. Moins cinq fois trois moins moins six fois deux égale moins trois. La composante moins 𝐣 est égale au déterminant de cette matrice. Moins quatre fois trois moins moins six fois un égale moins six. Et enfin, la composante 𝐤 de notre produit vectoriel est égale au déterminant de cette matrice d’ordre deux. Moins quatre fois deux moins moins cinq fois un revient à moins trois. Alors c’est notre produit vectoriel, et nous pouvons l’écrire plutôt sous forme vectorielle avec les composantes moins trois, six, moins trois.

D’accord, maintenant que nous connaissons le produit vectoriel du vecteur 𝐏 un 𝐏 deux et 𝐬, nous sommes prêts à déterminer 𝑑 en calculant la norme de ce produit vectoriel et en divisant par la norme de 𝐬. En écrivant tout cela, la norme de 𝐏 un 𝐏 deux 𝐬 est égale à la racine carrée de moins trois au carré plus six au carré plus moins trois au carré, tandis que la norme du vecteur 𝐬 est égale à la racine carrée de un au carré plus deux au carré plus trois au carré. En tapant cette fraction sur notre calculatrice, arrondie au centième près, notre réponse est 1,96. C’est la distance la plus courte entre ces deux droites parallèles.