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Vidéo question :: Utiliser les vecteurs dans l’espace Mathématiques • Troisième secondaire

Une mouche au point (2, 4, 7) se dirige vers un pot de confiture au point (0, −2, 10). Sachant qu’elle atteindra le pot de confiture dans 4 secondes, déterminez les composantes de sa vitesse.

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Transcription de la vidéo

Une mouche située au point deux, quatre, sept se dirige vers un pot de confiture ouvert situé au point zéro, moins deux, 10. Sachant qu’elle atteindra le pot de confiture dans 4 secondes, déterminez les composantes de sa vitesse.

Pour répondre à cette question, on va utiliser nos connaissances sur les vecteurs. On sait que le vecteur position de tout objet est égal au vecteur 𝐫 zéro plus 𝑡 fois le vecteur 𝐯, où 𝐫 zéro est le vecteur position initial et 𝐯 est le vecteur vitesse. Dans cette question, on sait que la mouche se trouve initialement au point de coordonnées deux, quatre, sept. Par conséquent, notre vecteur 𝐫 zéro est le vecteur de coordonnées deux, quatre, sept. La position finale de la mouche correspond au pot de confiture, qui se trouve en zéro, moins deux, 10. Par conséquent, notre vecteur 𝐫 est le vecteur de coordonnées zéro, moins deux, dix. Et puisque la mouche atteint le pot de confiture en quatre secondes, notre valeur de 𝑡 est quatre. On cherche à calculer le vecteur 𝐯.

En remplaçant par les valeurs qu’on connaît dans notre formule, on a que le vecteur zéro, moins deux, 10 est égal au vecteur deux, quatre, sept, plus quatre fois le vecteur 𝐯. On peut soustraire le vecteur deux, quatre, sept des deux côtés de cette équation. Pour additionner ou soustraire deux vecteurs, il suffit d’additionner ou de soustraire les coordonnées correspondantes. On a donc zéro moins deux, ce qui est égal à moins deux, puis moins deux moins quatre, ce qui est égal à moins six, et enfin 10 moins sept, ce qui est égal à trois. Le vecteur moins deux, moins six, trois est égal à quatre fois le vecteur 𝐯.

On peut ensuite diviser les deux membres de l’équation par quatre, ce qui revient à multiplier par un quart. Le vecteur 𝐯 est égal à un quart fois le vecteur moins deux, moins six, trois. Pour multiplier un vecteur par un scalaire, dans notre cas, un quart, on multiplie chaque coordonnée du vecteur par ce scalaire. Un quart multiplié par moins deux est égal à moins deux quarts, c’est-à-dire moins un demi. Un quart multiplié par moins six est égal à moins six quarts. Cela se simplifie en moins trois demis. Enfin, un quart multiplié par trois est égal à trois quarts.

Donc, le vecteur vitesse 𝐯 est le vecteur moins un demi, moins trois demi, trois quarts. Ce sont les trois coordonnées du vecteur vitesse de la mouche.

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